怎样建立数学模型怎样建立数学模型石家庄经济学院数理学院石家庄经济学院数理学院康康 娜娜20092009年年6 6月月2 2日日现代数学：现代数学： 在理论上更抽象；在理论上更抽象； 在方法上更加综合；在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。在应用上更为广泛。一、一、现代科技人员应具有的数学能力现代科技人员应具有的数学能力*数学很重要的一方面在于数学知识与数数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用学方法的应用. . * *更重要的方面是数学的思维方式的确立更重要的方面是数学的思维方式的确立. .21世纪科技人才应具备的数学素质与能力世纪科技人才应具备的数学素质与能力 数数学学运运算算能能力力 逻逻辑辑推推理理能能力力数数学学建建模模能能力力数数据据处处理理能能力力空空间间想想象象能能力力抽抽象象思思维维能能力力更更新新数数学学知知识识能能力力使使用用数数学学软软件件能能力力二、建模范例二、建模范例森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最之和最小小森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最之和最小小关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.模型假设模型假设3）f1(x)与与B(t2)成成正比，系数正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt与与t成成正比，系数正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度）2）t1 t t2, 降为降为 - x( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度）4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径r与与t 成正比成正比面积面积B与与t2成正比，成正比，dB/dt与与t成正比成正比.模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求x使使C(x)最小最小结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中其中c1,c2,c3,t1, , 为已知参为已知参数数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估可估计计,c1,t1, x c3, x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度. , 可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x为了选修课程门数最少，应学习哪些课程为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？例例2 选课策略选课策略要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 课号课号课名课名学分学分所属类别所属类别先修课要求先修课要求1微积分微积分5数学数学2线性代数线性代数4数学数学3最优化方法最优化方法4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构3数学；计算机数学；计算机计算机编程计算机编程5应用统计应用统计4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟3计算机；运筹学计算机；运筹学计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程2计算机计算机8预测理论预测理论2运筹学运筹学应用统计应用统计9数学实验数学实验3运筹学；计算机运筹学；计算机微积分；线性代数微积分；线性代数选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？0-1规划模型规划模型 决策变量决策变量 目标函数目标函数 xi=1选修课号选修课号i 的的课程（课程（xi=0不选）不选）选修课程总数最少选修课程总数最少约束条件约束条件最少最少2门数学课，门数学课，3门运筹学课，门运筹学课，2门计算机课。门计算机课。课号课号课名课名所属类别所属类别1微积分微积分数学数学2线性代数线性代数数学数学3最优化方法最优化方法数学；运筹学数学；运筹学4数据结构数据结构数学；计算机数学；计算机5应用统计应用统计数学；运筹学数学；运筹学6计算机模拟计算机模拟计算机；运筹学计算机；运筹学7计算机编程计算机编程计算机计算机8预测理论预测理论运筹学运筹学9数学实验数学实验运筹学；计算机运筹学；计算机先修课程要求先修课程要求最优解：最优解： x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它为其它为0；6门课程，总学分门课程，总学分210-1规划模型规划模型 约束条件约束条件x3=1必有必有x1=x2=1模型求解（模型求解（LINGO） 课号课号课名课名先修课要求先修课要求1微积分微积分2线性代数线性代数3最优化方法最优化方法微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构计算机编程计算机编程5应用统计应用统计微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程8预测理论预测理论应用统计应用统计9数学实验数学实验微积分；线性代数微积分；线性代数学分最多学分最多多目标优化的处理方法多目标优化的处理方法：化成单目标优化。化成单目标优化。两目标两目标( (多目标多目标) )规划规划 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少课程最少以以学分最多为目标，不学分最多为目标，不管课程多少。管课程多少。以以课程最少课程最少为目标，不为目标，不管学分多少。管学分多少。最优解如上，最优解如上，6门课门课程，总学分程，总学分21。最优解显然是选修所最优解显然是选修所有有9门课程门课程。多目标规划多目标规划 在在课程最少的前提下课程最少的前提下以以学分最多为目标。学分最多为目标。最优解：最优解： x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它为其它为0；总总学分由学分由21增至增至22。注意：最优解不唯一！注意：最优解不唯一！课号课号课名课名学分学分1微积分微积分52线性代数线性代数43最优化方法最优化方法44数据结构数据结构35应用统计应用统计46计算机模拟计算机模拟37计算机编程计算机编程28预测理论预测理论29数学实验数学实验3 LINGO无法告诉优化无法告诉优化问题的解是否唯一。问题的解是否唯一。可将可将x9=1易为易为x6=1增加约束增加约束 ，以学分最多为目标求解。以学分最多为目标求解。多目标规划多目标规划 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。最优解：最优解： x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它为其它为0；总学分总学分28。课号课号课名课名学分学分1微积分微积分52线性代数线性代数43最优化方法最优化方法44数据结构数据结构35应用统计应用统计46计算机模拟计算机模拟37计算机编程计算机编程28预测理论预测理论29数学实验数学实验3 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）美国原子能委员会（现为核管理委员会）美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英英尺的海里尺的海里. .他们这种做法他们这种做法安全安全吗？吗？ 分析：分析：可从各个角度去分析造成危险的可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能. . 联想：联想：安全安全 、危险、危险问题的关键问题的关键 * *圆桶至多能承受多大的圆桶至多能承受多大的冲撞速度冲撞速度？( (40英英尺尺/ /秒秒);); * *圆桶和海底碰撞时的速度有多大？圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 新问题：新问题：求这一种桶沉入求这一种桶沉入300英尺的海英尺的海底时的末速度底时的末速度. .（原问题是什么（原问题是什么? ?）可利用的数据条件：可利用的数据条件： 圆桶的总重量圆桶的总重量 W=527.327（磅）磅） 圆桶受到的浮力圆桶受到的浮力 B =470.327（磅）磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C= =0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：移满足的微分方程： 方程的解为方程的解为 计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间撞时间t0 0 ? ?分析：分析：考虑圆桶的极限速度考虑圆桶的极限速度713.86（英尺（英尺/ /秒）秒）40（英尺（英尺/ /秒）秒） 原问题得到解决了吗原问题得到解决了吗? ?极限速度极限速度与圆桶的与圆桶的承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！ 结论：结论：解决问题的方向是正确的解决问题的方向是正确的.解决思路：解决思路：避开求避开求t0的难点的难点 令令v(t)=v(y(t),其中其中 y=y(t)是圆桶下沉深度是圆桶下沉深度. 代入（代入（1）得）得两边积分得函数方程：两边积分得函数方程： 若能求出函数若能求出函数v=v(y), ,就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(.(试一试试一试)*用用数值方法数值方法求出求出v(300)的近似值为的近似值为v(300)45.41( (英尺英尺/ /秒秒) )40( (英尺英尺/ /秒秒) ) * * 分析分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而是一个单调上升函数，而v增大增大, ,y也增大也增大, ,可求出函数可求出函数 y =y(v) 令令 v=40( (英尺英尺/ /秒秒) )，g=32.2( (英尺英尺/ /秒秒),),算出算出y=238.4 ( (英尺英尺) )300( (英尺英尺) )问题的实际解答：问题的实际解答：美国原子能委员会处理放射性废物的做美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，法是极其危险的，必须改变必须改变.