实例：一例：一块长方形的金属板，四个方形的金属板，四个顶点的坐点的坐标是是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐在坐标原点原点处有一个火焰，它有一个火焰，它使金属板受使金属板受热假定板上恣意一点假定板上恣意一点处的温度与的温度与该点到点到原点的原点的间隔成反比在隔成反比在(3,2)处有一个青蛙，有一个青蛙，问这只青只青蛙蛙应沿什么方向爬行才干最快到达沿什么方向爬行才干最快到达较凉爽的地点？凉爽的地点？问题的本的本质：应沿由沿由热变冷冷变化最化最骤烈的方向即烈的方向即梯度方向爬行梯度方向爬行8.7 方方导游数和梯度游数和梯度问题的提出的提出？8.7.1 方方导游数游数 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题如如图当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，能否存在？能否存在？记为记为定定义方方导游数游数. .沿恣意方向的方沿恣意方向的方导游数存在不能保游数存在不能保证偏偏导数存在数存在,反之也然。反之也然。证明明由于函数可微，那么增量可表示由于函数可微，那么增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方故有方导游数游数解解解解由方由方导游数的游数的计算公式知算公式知故故推行可得三元函数方推行可得三元函数方导游数的定游数的定义解解令令故故方向余弦方向余弦为故故8.7.2 梯梯 度度 grad是是gradient 梯度梯度 的的缩缩写写 对于二元函数于二元函数梯度的性质：梯度的性质：(1) (1) 梯度的方向是函数增梯度的方向是函数增长最快的方向最快的方向. .结论结论 此梯度也是一个向量，其方向与此梯度也是一个向量，其方向与获得最大方得最大方导游数的方向一致，其模游数的方向一致，其模为方方导游数的最大游数的最大值.例如：例如： 函数函数如下如下图.在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面等高线等高线 梯度与等高梯度与等高线的关系：的关系： 梯度的方向与梯度的方向与过点点P的等高的等高线上的法向量的一上的法向量的一个方向一个方向一样，且指向等高，且指向等高线(函数函数值)添加的方向添加的方向.又由于沿梯度方向又由于沿梯度方向的方的方导游数游数等高线的画法等高线的画法播放播放例如例如,解解 由梯度由梯度计算公式得算公式得故故1、方、方导游数的概念游数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方、方导游数与梯度的关系游数与梯度的关系留意方留意方导游数与普通所游数与普通所说偏偏导数的区数的区别留意梯度是一个向量留意梯度是一个向量小小 结思索思索题解答解答思索题思索题练练 习习 题题练习题答案练习题答案