2.2.2事件的相互独事件的相互独立性（一）立性（一）高二数学高二数学 选修选修2-3什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？两个互斥事件两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是有一个发生的概率公式是什么？什么？若若A与与A为对立事件，则为对立事件，则P（A）与）与P（A）关系关系如何？如何？不可能同时发生的两个事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；叫做互斥事件；如果两个互斥如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件，这样的两个互斥事件叫对立事件叫对立事件.P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P()=1复习回顾复习回顾(4).条件概率条件概率设事件设事件A和事件和事件B，且，且P(A)0,在已知事件在已知事件A发发生的条件下事件生的条件下事件B发生的概率，叫做发生的概率，叫做条件概率条件概率。记作记作P(B|A).(5).条件概率计算公式条件概率计算公式:复习回顾复习回顾注意条件：必须注意条件：必须 P(A)0问题探究：问题探究：下面看一例下面看一例 在大小均匀的在大小均匀的5个鸡蛋中有个鸡蛋中有3个红皮蛋，个红皮蛋，2个白皮个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 我们知道，当事件我们知道，当事件A的发生对事件的发生对事件B的发生有影的发生有影响时，条件概率响时，条件概率P(B|A)和概率和概率P(B)一般是不相等的，一般是不相等的，但有时事件但有时事件A的发生，看上去对事件的发生，看上去对事件B的发生没有影的发生没有影响，响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚对抛掷第二枚硬币的结果（事件硬币的结果（事件B）没有影响，这时没有影响，这时P(B|A)与与P(B)相等吗相等吗？复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入1、事件的相互独立性、事件的相互独立性相互独立事件及其同时发生的概率相互独立事件及其同时发生的概率设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事则称事件件A与事件与事件B相互独立相互独立。即事件即事件A（或（或B）是否发生是否发生,对事件对事件B（或（或A）发生的发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。如果事件如果事件A与与B相互独立，那么相互独立，那么A与与B，A与与B，A与与B是不是是不是相互独立的相互独立的注：注：区别：区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。发生的概率没有影响。相互独立相互独立P(B)P(A)P(A)P(B)2、相互独立事件同时发生的概率公式：、相互独立事件同时发生的概率公式：“第一、第二次都取到红皮蛋第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件，是一个事件，它的发生就是事件它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作同时发生，将它记作AB 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。等于每个事件的概率的积。一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这相互独立，那么这n个个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P（An）两个相互独立事件两个相互独立事件A,B同时发生同时发生,即事件即事件AB发生的概生的概率率为： 练习练习1.1.判断下列事件是否为相互独立事件判断下列事件是否为相互独立事件. .篮球比赛的篮球比赛的“罚球两次罚球两次”中，中， 事件事件A A：第一次罚球，球进了第一次罚球，球进了. . 事件事件B B：第二次罚球，球进了第二次罚球，球进了. .袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. .事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球第一次从中任取一个球是白球. .事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球第二次从中任取一个球是白球. .袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. . 事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球. . 事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. . 判断两事件的相互独立性，常常通过对事物的本判断两事件的相互独立性，常常通过对事物的本质进行分析就可判断；在不易直接判断时，才采取计质进行分析就可判断；在不易直接判断时，才采取计算概率的方法判断算概率的方法判断 新课讲授新课讲授3对于事件对于事件A与与B及它们的和事件与积事及它们的和事件与积事件有下面的关系件有下面的关系：典题例证技法归纳典题例证技法归纳例例1题题型探究型探究型探究型探究题型一事件独立性的判断题型一事件独立性的判断 一个家庭中有若干个小孩一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩假定生男孩和生女孩是等可能的是等可能的,令令A一个家庭中既有男孩又有女孩一个家庭中既有男孩又有女孩,B一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形对下述两种情形,讨讨论论A与与B的独立性的独立性(1)家庭中有两个小孩家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩家庭中有三个小孩课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测x课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测例例2题型二两个相互独立事件的概率题型二两个相互独立事件的概率例题讲解例题讲解例例1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券奖券上定价值的商品可以获得一张奖券奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动的中奖概率都是的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以，求两次抽奖中以下事件的概率：下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码；恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码至少有一次抽到某一指定号码解解:(1)记记“第一次抽奖抽到某一指定号码第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件B，则，则“两次抽奖都抽到某一指定号两次抽奖都抽到某一指定号码码”就是事件就是事件AB。（1）“都抽到某一指定号码都抽到某一指定号码”；由于两次的抽奖结果是互不影响的由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此因此A和和B相互独立相互独立.于是由独立性可得于是由独立性可得,两次抽奖都抽两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025例题解析例题解析（2）“恰有一次抽到某一指定号码恰有一次抽到某一指定号码”；解解:“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用可以用表示。由于事件表示。由于事件与与互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：定义，所求的概率为：（2）“至少有一次抽到某一指定号码至少有一次抽到某一指定号码”；解解:“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用可以用表示。由于事件表示。由于事件与与两两互斥，根据概率加法公式和相互独立两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：事件的定义，所求的概率为：另解：另解：(逆向思考逆向思考)至少有一次抽中的概率为至少有一次抽中的概率为附附1 1：用数学符号语言表示下列关系：用数学符号语言表示下列关系：若若A A、B B、C C为相互独立事件，则为相互独立事件，则 A A、B B、C C同时发生；同时发生； A A、B B、C C都不发生；都不发生； A A、B B、C C中恰有一个发生；中恰有一个发生； A A、B B、C C中至少有一个发生的概率中至少有一个发生的概率； A A、B B、C C中至多有一个发生中至多有一个发生. .注注: :(1)(1)若事件若事件 A1 1，A2 2 ， ，A An 中任意两个事件相互中任意两个事件相互独立，独立，则称事件则称事件 A1 1，A2 2 ， ，An 两两相互独立两两相互独立. .(2)设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 则称事件则称事件 A1 1，A2 2 ， ，An 相互独立相互独立. .ABC A AB BC C A AB BC CA AB BC CA AB BC C 1 1P( )P( ) A AB BC C A AB BC C A AB BC C A AB BC C A AB BC C则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )附附2.2.若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“=1- - p1 pn 例题讲解例题讲解练习：练习：甲、乙二射击运动员分别对一目标甲、乙二射击运动员分别对一目标射击射击1次，甲射中的概率为次，甲射中的概率为0.8，乙射中的，乙射中的概率为概率为0.9，求：，求：(1) 2人都射中目标的概率；人都射中目标的概率；(2) 2人中恰有人中恰有1人射中目标的概率；人射中目标的概率；(2) 2人至少有人至少有1人射中目标的概率；人射中目标的概率；(4) 2人至多有人至多有1人射中目标的概率？人射中目标的概率？练习练习: : 已知诸葛亮解出问题的概率为已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,0.8,臭皮匠臭皮匠老大解出问题的概率为老大解出问题的概率为0.5,0.5,老二为老二为0.45,0.45,老三为老三为0.4,0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？较，谁大？ 略解略解: : 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以所以，合三个臭皮匠之力把握就大过，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮诸葛亮. .巩固练习巩固练习生产一种零件，甲车间的合格率是生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率乙车间的合格率是是97,从它们生产的零件中各抽取从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品件，都抽到合格品的概率是多少？的概率是多少？解：解：设从甲车间生产的零件中抽取设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为件得到合格品为事件事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，那么，2件都是合格品就是事件件都是合格品就是事件AB发生，又事件生，又事件A与与B相互独相互独立，所以抽到合格品的概率立，所以抽到合格品的概率为答：抽到合格品的概率是答：抽到合格品的概率是例例3题型三相互独立事件概率的实际应用题型三相互独立事件概率的实际应用【名名师点点评】解决此解决此类问题应注意注意:(1)恰当用事件的恰当用事件的“并并”“交交”表示所求事件表示所求事件;(2)“串串联”时系系统无故障易求概率无故障易求概率,“并并联”时系系统有故障易求有故障易求概率概率,求解求解时注意注意对立事件概率之立事件概率之间的的转化化互动探究互动探究3在本例中在本例中试判断三个元件判断三个元件连成怎成怎样的的电路路,才能使才能使电路中不路中不发生故障的概率最大？生故障的概率最大？请画出此画出此时电路路图,并并说明理由明理由解解:如如图1,2,这两种情况下两种情况下,不不发生故障的概率最大生故障的概率最大,证明如下明如下:图1中不中不发生故障事件生故障事件为(A1A2)A3,不不发生故障概率生故障概率为P2P(A1A2)A3P(A1A2)P(A3)例题讲解例题讲解练习：练习：.在一段线路中并联着在一段线路中并联着3个自动控制的个自动控制的常开开关，只要其中有常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，个开关能够闭合，线路就能正常工作线路就能正常工作 假定在某段时间内每假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在，计算在这段时间内线路正常工作的概率这段时间内线路正常工作的概率. 由题意，这段时间内由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相个开关是否能够闭合相互之间没有影响。互之间没有影响。所以这段事件内线路正常工作的概率是所以这段事件内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973解：解：分别记这段时间内开关分别记这段时间内开关能够闭合为事件能够闭合为事件A,B,C.根据相互独立事件的概率乘法式这根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内段时间内3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是巩固练习巩固练习2、在一段时间内，甲地下雨的概率是、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨，乙地下雨的概率是的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率）其中至少有一方下雨的概率.P=0.20.30.06P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.443.某战士射击中靶的概率为某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次若连续射击两次.求求:(1)两次都中靶的概率两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率至少有一次中靶的概率:(3)至多有一次中靶的概率至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率目标被击中的概率.分析分析:设事件设事件A为为“第第1次射击中靶次射击中靶”.B为为“第第2次射击中次射击中靶靶”.又又A与与B是互斥事件是互斥事件.“两次都中靶两次都中靶”是指是指“事件事件A发生且事件发生且事件B发生发生”即即AB P( AB）= P（A）P（B）= （2）“至少有一次中靶至少有一次中靶”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(中中,中中)即即AB+AB+AB.求求P(AB+AB+AB)（3）“至多有一次中靶至多有一次中靶”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(中中,中中)即即AB+AB+AB.求求P(AB+AB+AB)（4）“目标被击中目标被击中”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(中中,中中)即即AB+AB+AB.求求P(AB+AB+AB)练习练习2练习：练习：. .甲甲, , 乙两人同时向敌人炮击乙两人同时向敌人炮击, ,已知甲击中敌机的已知甲击中敌机的概率为概率为0.6, 0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 0.5, 求敌机被击中的求敌机被击中的概率概率. .解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 ,B= 乙击中敌机乙击中敌机 ,C=敌机被击中敌机被击中 依依题设题设,由于由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以敌机的可能性，所以 A与与B独立独立, ,进而进而= 0.8课堂小结课堂小结 两个事件相互独立，是指它们其中一两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响率没有影响. 一般地，两个事件不可能一般地，两个事件不可能既既互斥又相互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的生为前提的. 相互独立事件同时发生的概率等于每相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积个事件发生的概率的积，这一点与互斥事，这一点与互斥事件件的概率和也是不同的的概率和也是不同的.课堂小结课堂小结求求较较复复杂杂事事件件概概率率正向正向反向反向对立事件的概率对立事件的概率分类分类分步分步P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)独立事件一定不互斥独立事件一定不互斥.互斥事件一定不独立互斥事件一定不独立.理清题意理清题意, , 判断各事件之间的关系判断各事件之间的关系( (等可能等可能; ;互斥互斥; ;互独互独; ; 对对立立). ). 注意关键词，注意关键词， 如如“至多至多” “至少至少” “同时同时” “恰有恰有”. .(考虑加法公式考虑加法公式,转化为互斥事件转化为互斥事件)(考虑乘法公式考虑乘法公式,转化为互独事件转化为互独事件) A、B互斥A、B独立常见类型如下：常见类型如下：解题步骤：解题步骤：1.用恰当的字母标记事件用恰当的字母标记事件,如如“XX”记为记为A,“YY”记为记为B.2.理清题意理清题意,判断各事件之间的关系判断各事件之间的关系(等可能等可能;互斥互斥;互独互独;对立对立).关键词关键词如如“至多至多”“至少至少”“同时同时”“恰有恰有”.求求“至多至多”“至少至少”事件概率时事件概率时,通常考虑它们的对立事件的通常考虑它们的对立事件的概率概率.3.寻找所求事件与已知事件之间的关系寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件所求事件”分几类分几类(考虑加法公式考虑加法公式,转化为互斥事件转化为互斥事件)还是分几步组成还是分几步组成(考虑乘法公式考虑乘法公式,转化为互独事件转化为互独事件)4.根据公式解答根据公式解答