线性微分方程通解的结构 第四节第四节一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质三、二阶线性微分方程解的结构三、二阶线性微分方程解的结构 第九九章 2 2一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程 二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程二阶二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程n 阶线性微分方程：阶线性微分方程：3 3二、二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质4 4证证00性质性质25 5性质性质3性质性质4 (非齐次线性方程非齐次线性方程解的叠加原理解的叠加原理) 6 6例例1的解，的解，解解7 7问题问题1三、二阶线性微分方程解的结构三、二阶线性微分方程解的结构回顾：回顾：8 8问题问题2答答: :不一定不一定. .的解，的解，例如：例如：是某二阶齐次线性方程的解是某二阶齐次线性方程的解,也是齐次线性方程的解也是齐次线性方程的解 并不是通解并不是通解.但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 还需引入还需引入函数的函数的线性相关线性相关与与线性无关线性无关概念概念. 9 9定义定义是定义在是定义在区间区间 I 上的上的n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关；否则称为；否则称为 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数1010例例3下列各函数组在给定区间上是线性相关下列各函数组在给定区间上是线性相关还是线性无关？还是线性无关？线性无关线性无关解解1111例例4故该函数组在任何区间故该函数组在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;解解证明：函数组证明：函数组I上线性无关上线性无关.证证 (用反证法用反证法)假设：假设：1212n 个零点个零点, 故故这与这与矛盾！矛盾！1313特别地特别地, ,对于两个函数的情形：对于两个函数的情形：定理定理例如：例如：1414注注.可以证明：可以证明：朗斯基行列式朗斯基行列式15151.齐次线性微分方程解的结构齐次线性微分方程解的结构推论推论n个线性无关的特解，则此方程的通解为个线性无关的特解，则此方程的通解为方程：方程：1616验证：验证：例例51717定理定理 (二阶非齐次线性方程二阶非齐次线性方程(2)的解的结构的解的结构)2. 非齐线性微分方程解的结构非齐线性微分方程解的结构1818例例61919例例7解解(1)(2)2020齐次线性方程齐次线性方程(2)的通解为：的通解为：原方程原方程(1)的通解为：的通解为：2121求二阶非齐次线性微分方程求二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解的通解的的关键：关键：(1) 确定与其相对应的二阶齐次线性方程确定与其相对应的二阶齐次线性方程(2) (1) 的两个线性无关的解的两个线性无关的解;(2) 求求(2) 的一个特解的一个特解.注注.2222内容小结内容小结解的叠加原理解的叠加原理函数组线性相关与线性无关函数组线性相关与线性无关1、二阶线性微分方程解的性质、二阶线性微分方程解的性质2、二阶线性微分方程解的结构、二阶线性微分方程解的结构2323思考题思考题2424思考题解答：思考题解答：代入原方程，得代入原方程，得25252626备用题备用题例例6-1 .解解