机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三节第三节 函数的极限函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质三、函数极限的性质四、小结四、小结 思考题思考题1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【数列极限】【数列极限】 整标函数整标函数【函数的极限】【函数的极限】有有两大类情形两大类情形2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 单击任意点开始观察单击任意点开始观察一、自变量一、自变量x时时, , f (x)的极限的极限1. .【引例】引例】单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察 观察完毕观察完毕3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :【问题【问题2】 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.”.是在是在 x 的过的过程中实现的程中实现的即即x时时, f(x)0.2.【直观定义】【直观定义】在在x时，函数值时，函数值f (x)无限接近于一无限接近于一个确定的常数个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x时的极限时的极限.4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. .【精确定义】【精确定义】如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数( (不论它多么小不论它多么小) )，总存在，总存在着正数着正数X ，使得当，使得当|x| X 时，恒有时，恒有|f (x) -A| 00, , 总存在总存在 d d 00, , 使得当使得当0| |x- -x0 | |d d ,恒有恒有| |f (x) - -A|e e成立，则称成立，则称x x0时函数时函数f (x)以常以常数数 A为极限为极限，记为记为【注意】【注意】意味着意味着（但不是函数关系，（但不是函数关系，因因不唯一）不唯一）10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. .【几何意义】【几何意义】Flash动画演示动画演示11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例2】【证】【证】【例【例3】【证】【证】12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例4】【证】【证】 函数在点函数在点x=1 1处没有定义处没有定义. .但不影响考察该点但不影响考察该点极限的存在性极限的存在性13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例5】【证】【证】14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5. .【单侧极限】【单侧极限】【例如】【例如】15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【左极限】【左极限】【右极限】【右极限】【注意】【注意】16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,【例【例6】【证】【证】【极限存在定理】【极限存在定理】17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、函数极限的性质三、函数极限的性质1. .【唯一性】【唯一性】【注】【注】以下仅以以下仅以 形式为代表给出函数极形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。限的一些定理，其它形式类推之。【证明】【证明】（略）（自证）（略）（自证）18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【定理【定理2】【证】【证】有有则定理则定理2得证得证2. .【局部有界性】【局部有界性】19机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. .【局部保号性】【局部保号性】【证】【证】有有【证完】【证完】容易推得下面更强的结论：容易推得下面更强的结论：【定理【定理3 】20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【定理【定理3* *】【推论】【推论】【证明】【证明】 利用定理利用定理3反证之（反证之（略略）. .21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. .【子列收敛性】【子列收敛性】( (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )【定义】【定义】【定理【定理4】22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【分析】【分析】【证】【证】23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例如】【例如】【证完】【证完】综合上述画线部分即得综合上述画线部分即得24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系（海因定理）（海因定理）函数极限存在的函数极限存在的充要条件充要条件是它的任何子列的是它的任何子列的极限都存在极限都存在, ,且相等且相等. .【说明】【说明】常用海因定理来判断函数在某变化过程常用海因定理来判断函数在某变化过程中的中的极限不存在极限不存在【推广】【推广】25机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例7】（补）】（补）【证】【证】二者不相等二者不相等, ,26机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、小结四、小结【数列、函数极限的统一定义】【数列、函数极限的统一定义】( (见下表见下表) )27机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 28机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题】【思考题】29机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题解答】【思考题解答】左极限存在左极限存在, ,右极限存在右极限存在, ,不存在不存在. .30