110 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性初等函数的连续性定理反函数的连续性定理、复合函数的连续性定理基本的连续函数、初等函数的连续性在求函数极限中的应用1一、连续函数的和、积及商的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性 定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数 =f(x0)+g(x0)=F(x0)，这就证明了两个在点x0连续的函数之和在点x0连续类似地可证明有限个函数之和的情形 证明 考虑两个在点x0连续的函数f(x)、g(x)的和：F(x)=f(x)+g(x)由函数的连续性定义，有2一、连续函数的和、积及商的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性 定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数 定理3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零 定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数3 例1 函数 x2 、 sin x 和cos x 都在区间(-，+)内连续 由定理3， tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的 由定理1，x2+sin x、 x2+cos x、sinx +cos x在区间(-，+)内都是连续的 由定理2，x2 sin x、 x2 cos x 、sin x cos x在区间(-，+)内都是连续的4二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性加且连续，所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1,1上也是单调增加且连续的1反函数的连续性反函数的连续性 定理4 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数x=j(y)也在对应的区间 Iy=y|y=f(x)，xI x上单调增加（或单调减少）且连续5 同样，y=arccos x 在区间-1，1上也是单调减少且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区间(-，+)内单调减少且连续 总之，反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的62复合函数的连续性复合函数的连续性而函数y=f(u)在点u=a连续，那么注1： 把定理5 中的x x 0换成x ，可得类似的定理注2： 在定理5中，因为有所以有7所以2复合函数的连续性复合函数的连续性而函数y=f(u)在点u=a连续，那么8 注：在定理6的条件下有 定理6 设函数u=j(x)在点x=x0连续，且j(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u=u0连续，那么复合函数=fj(x)在点x=x0也是连续的2复合函数的连续性复合函数的连续性而函数y=f(u)在点u=a连续，那么910三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ；三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性基本的连续函数：反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ；指数函数：a x (a0，a 1)；对数函数：log ax (a0，a 1)； 证明 指数函数ax (a0，a1)对于一切实数x 都有定义，且在区间(-，+)内是单调的和连续的，它的值域为(0，+)由定理4，对数函数logax (a0，a1)作为指数函数ax的反函数在区间(0，+)内单调且连续11幂函数：xm 三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ；三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性基本的连续函数：反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ；指数函数：a x (a0，a 1)；对数函数：log ax (a0，a 1)；12因此，幂函数xm可看作是由y=au ，u=m logax 复合而成的，由此，根据定理6，它在(0，+)内连续如果对于m取各种不同值加以分别讨论，可以证明幂函数在它的定义域内是连续的幂函数连续性的证明： 幂函数y=x m 的定义域随m 的值而异，但无论m 为何值，在区间(0，+)内幂函数总是有定义的可以证明，在区间(0，+)内幂函数是连续的事实上，设x0，则13结论1：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的结论2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的注：所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间幂函数：xm 三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ；三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性基本的连续函数：反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ；指数函数：a x (a0，a 1)；对数函数：log ax (a0，a 1)；14 如果f(x)是初等函数，且x0是f(x)的定义区间内的点，则初等函数的连续性在求函数极限中的应用：15举例 : 解 解16 解 令a x -1= t， 则x=log a (1+t)，当x 0时t 0，于是=lna .17