第六节直接证明与间接证明 1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法了解分析法和综合法的思考过程及特点2了解间接证明的一种基本方法反证法了解反证法的思考过程及特点一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论 .从要证的 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因推理论证成立结论充分条件综合法和分析法有什么区别和联系？提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件综合法是由因导果因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程二、间接证明反证法假设原命题，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法不成立假设错误原命题成立解析：根据条件和分析法的定义可知B选项最合理故选B.答案：B2命题“关于x的方程axb(a0)的解是唯一的”的结论的否定是()A无解B两解C至少两解 D无解或至少两解解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面应是“无解或至少两解”故选D.答案：D3命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证明法解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论故选B.答案：B5在等比数列an和等差数列bn中，a1b10，a3b30，a1a3，则a5与b5的大小关系为_解析：设公比为q，公差为d.则a3a1q2，b3b12da12d，由a3b3，2da1(q21)，又a1a3，q21.a5b5a1q4(a14d)a1(q21)20，a5b5.答案：a5b5 1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性用综合法证明题的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“，”或“”2综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法证明不等式：x2y2z2xyyzxz.【思路点拨】所要证明的不等式左右两边是和的形式，利用不等式a2b22ab，然后再求和即可【自主解答】x2y22xy，y2z22yz，x2z22xz，2x22y22z22xy2yz2xz，x2y2z2xyyzxz.1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件2分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有这只需证明命题P2为真，从而有这只需证明命题P为真而已知P为真，故Q必为真【思路点拨】从已知到结论，方向不够明确，因而采用分析法探明解题途径是必要的1.适宜用反证法证明的数学命题有(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰2用反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立(结论成立) 【特别提醒】(1)用反证法证明命题时要注意以下两点：反证法必须以否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，进行推证，否则就不是反证法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等(2)常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q【活学活用】 3.已知a，b，c是互不相等的实数求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，3(2a)24bc0.同向不等式求和得，4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ca0，(ab)2(bc)2(ca)20，abc，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证题眼：分析法与综合法的整合(12分)已知函数f(x)log2(x2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论【审题】(1)先判断它们的大小，可用特例法(2)用分析法探寻证题思路(3)用综合法完成证明事实上，取a1，b2，c4，则f(a)f(c)f(1)f(4)log23log26log2 18，2f(b)2f(2)2log24log216，于是由log218log216，猜测f(a)f(c)2f(b)要证f(a)f(c)2f(b)，则只需证log2(a2)log2(c2)2log2(b2)，因为f(x)log2x是增函数，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，10分即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)【心得】(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功(2)本题错误原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不用综合法表述，从而导致解题格式不规范将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法