从刘徽到祖冲之从刘徽到祖冲之中世纪的中国数学 之二中国数学之二从公元220年（曹丕称帝，东汉分裂）到581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释周髀算经、九章算术的形式出现，实质是要寻求两部著作中一些重要结论的数学证明。这方面的先锋，是三国的赵爽，而最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期。中国数学之二一、刘徽的数学成就一、刘徽的数学成就 l如果离开了刘徽的如果离开了刘徽的九章算术注九章算术注去研究去研究九九章算术章算术，则很难深入理解九章算术的精，则很难深入理解九章算术的精髓。髓。l刘徽的九章算术注对于阐发九章算术刘徽的九章算术注对于阐发九章算术的思想方法，发展九章算术的理论，完善的思想方法，发展九章算术的理论，完善九章算术的体系，作出了杰出的贡献。九章算术的体系，作出了杰出的贡献。中国数学之二刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），生卒年月不详。一带），生卒年月不详。经过多年的刻苦钻研，刘徽不仅逐步领会了九章经过多年的刻苦钻研，刘徽不仅逐步领会了九章算术的精神实质，而且对其中的深奥玄妙之处算术的精神实质，而且对其中的深奥玄妙之处有了较透彻的理解，于是他决心把自己的研究所有了较透彻的理解，于是他决心把自己的研究所得以对九章算术作注的形式一一记载下来。得以对九章算术作注的形式一一记载下来。关于刘徽的生平，我们几乎什么都不了解。隋书“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰九章算术注。九章算术注包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。中国数学之二l“析理以辞，解体用图。析理以辞，解体用图。”l为了使自己的叙述通俗化，他为自己规定的为了使自己的叙述通俗化，他为自己规定的目目标标是是用言辞来分析与表达道理，用图形来建立用言辞来分析与表达道理，用图形来建立几何直观帮助解决问题几何直观帮助解决问题。中国数学之二l具体来说，就是要对九章算术中未加论证具体来说，就是要对九章算术中未加论证的公式（方法）和原理从理论上加以证明和阐的公式（方法）和原理从理论上加以证明和阐释，特别是对其中的经验公式或错误公式分别释，特别是对其中的经验公式或错误公式分别从理论上指出它的近似程度或错误原因，并提从理论上指出它的近似程度或错误原因，并提出一些理论推断。对于几何概念和命题，则借出一些理论推断。对于几何概念和命题，则借助于图形和应用代数与几何相结合的方法，进助于图形和应用代数与几何相结合的方法，进行一般论证或演绎推理。行一般论证或演绎推理。中国数学之二l在算术方面，刘徽阐发了九章算术中的在算术方面，刘徽阐发了九章算术中的分分数数理论。理论。l他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，并已接近于近代的了当时世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度。成熟程度。中国数学之二l他把分数看作比，由此发展出他把分数看作比，由此发展出“率率”的概念，的概念，又在又在“率率”的基础上提出了算术中的比例理论、的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯和欧洲，展的重要基础，并传入印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的发展产生了较大的影响。对这些地区数学的发展产生了较大的影响。中国数学之二l在代数方面，九章算术中的在代数方面，九章算术中的线性方程组解线性方程组解法法以及以及正负数加减运算正负数加减运算是当时世界上无与伦比是当时世界上无与伦比的两项重大成就。的两项重大成就。l前者比欧洲早前者比欧洲早1500年，后者也早了年，后者也早了1200多年，多年，而给这两项算法以完整理论说明的正是刘徽，而给这两项算法以完整理论说明的正是刘徽，他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理。同解原理。中国数学之二l刘徽把正与负看成是相对存在的数的两种刘徽把正与负看成是相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上史上第一个采取了把数的正负与加减运算第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法。关系统一起来的做法。l他还运用平面与立体图形对中国古代的开他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法做出了直观解释，这种方平方与开立方法做出了直观解释，这种方法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的。是非常有益的。中国数学之二l此外，他由取平方根的近似值而提出的小数概此外，他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数比欧洲最早的小数斯蒂文的小数记法要早斯蒂文的小数记法要早出出1300多年。多年。中国数学之二l在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。中国特色的传统几何理论的奠基者。l他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括何命题予以科学的证明，这些方法包括“图形图形割补法割补法”、“代数法代数法”、“极限法极限法”以及以及“无无穷小分割法穷小分割法”等等，其中最常用的是等等，其中最常用的是图形割补图形割补法法，这与他提出的，这与他提出的“解体以图解体以图”的目标是一致的目标是一致的。的。l特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体图形割补法尤为出色。图形割补法尤为出色。中国数学之二割圆术刘徽刘徽“割圆术割圆术”的基本思想是的基本思想是“化圆为方化圆为方”，并借助于极限的方法。，并借助于极限的方法。“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣不可割，则与圆合体而无所失矣”。中国数学之二刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为1尺，尺，一直推算到圆的内接正一直推算到圆的内接正192边形。得到圆周率的边形。得到圆周率的近似值为近似值为3.14，化为分数就是，化为分数就是157/50，这就，这就是著名的是著名的“徽率徽率”。刘徽是中算史上第一个建立可靠的理论来刘徽是中算史上第一个建立可靠的理论来推算圆周率的数学家！推算圆周率的数学家！中国数学之二像阿基米德一样，刘徽倾力于面积和体积公式的推证，并取得了超越时代的漂亮结果。刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变。在平面的情形，刘徽利用这条原理成功地证明了九章算术中许多面积公式。体积理论中国数学之二但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用即使对于像“阳马”(底面为长方形、且有一棱垂直于底的四棱锥)这样看似简单的立体也遇到了很大的困难。这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等。但这是到20世纪才弄清楚的（见希尔伯特问题）。古代数学家并未明确认识到这一点，不过为了在体积问题上有所作为，一些一流的数学家都不约而同地借助于无限小方法来绕越上述的障碍，我们已经看到了古希腊阿基米德等人的例子。在这方面，刘徽同样表现出了惊人的智慧。他在推算九章算术中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。中国数学之二“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”先将长方体分为两个壍堵先将长方体分为两个壍堵(qiandu)底面为直角三角形的直三棱柱底面为直角三角形的直三棱柱.中国数学之二l“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”p再将一个壍堵斜分为一个阳马(底面为长方形且有一棱垂直于底的四棱锥)和一个鳖臑(底面为直角三角形且有一棱垂直于底的三棱锥).p刘徽欲证此处的阳马与鳖臑的体积之比为2:1，于是阳马的体积公式即为abc/3，即长方体体积的三分之一。比率2:1对于任意长方体都成立，故称之为“不易之率”。中国数学之二正是为了证明这个正是为了证明这个“不易之率不易之率”,”,在感到出入相补无能在感到出入相补无能为力的情况下，刘徽使用了极限的方法，他的方法记载为力的情况下，刘徽使用了极限的方法，他的方法记载在九章算术阳马术注中。在九章算术阳马术注中。中国数学之二原来的壍堵，即长方体的一半，可视为4个小长方体。中国数学之二为了证明为了证明“阳马体积与鳖臑体积之比为阳马体积与鳖臑体积之比为2:1” 这个结论，刘徽在这里熟练地运用了这个结论，刘徽在这里熟练地运用了出入出入相补原理相补原理和和无穷分求和原理无穷分求和原理。中国数学之二球体积计算刘徽首先证明了九章算术中的球体积公式是不正确的，并在九章算术“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖”，并指出：一旦算出牟合方盖的体积，球体积公式也就唾手可得。 中国数学之二p“牟合方盖牟合方盖” V牟牟：V球球=4： 在一立方体内作两个互相垂直的内切圆柱。这两个圆柱体相交的部分，就是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切。如果用同一个水平面去截它们，就得到一个圆（球的截面），和它的外切正方形（牟合方盖的截面）。刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于 :4 ，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于:4 。 中国数学之二l“牟合方盖牟合方盖”p刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中所说的“卡瓦列利原理”，可惜没有将它总结为一般形式。牟合方盖的体积怎么求呢？刘徽最终未能解决。p最后他说：“敢不阙疑，以俟能言者!” （阙疑，把问题留下来，不作臆断；俟音“四”，等待）。( (祖祖氏父子氏父子) )中国数学之二l海岛算经，海岛算经，“测高测高 望远之术望远之术”，重差术。，重差术。勾股测量刘徽九章算术注还有其他许多数学成果，特别是他在九章算术“勾股”章之后所加的一整篇文字，作为九章算术注第十卷，后来单独刊行，称为海岛算经。海岛算经发展了古代天文学中的“重差术”，成为勾股测量学的典籍。中国数学之二二、祖氏父子的数学贡献二、祖氏父子的数学贡献 l祖冲之（祖冲之（429500），字文），字文远，祖籍范阳遒县（今河北涞远，祖籍范阳遒县（今河北涞水县）。他生活在南北朝，家水县）。他生活在南北朝，家学渊博，加上他自幼刻苦勤奋，学渊博，加上他自幼刻苦勤奋，对天文、数学有浓厚的兴趣，对天文、数学有浓厚的兴趣，而成为一位博学多才的天文学而成为一位博学多才的天文学家与数学家、机械制造专家、家与数学家、机械制造专家、文学家。宋孝武帝时把他安排文学家。宋孝武帝时把他安排在政府的学术机构在政府的学术机构华林学华林学省，从事学术研究工作。省，从事学术研究工作。中国数学之二l后来被调到南徐州做从事史，不久又被调回建后来被调到南徐州做从事史，不久又被调回建康任公府参军。还出任过娄县令，到齐灭刘宋康任公府参军。还出任过娄县令，到齐灭刘宋以后他又到齐政府中担任谒者仆射，晚年提升以后他又到齐政府中担任谒者仆射，晚年提升为南朝首都建康的长水校尉。为南朝首都建康的长水校尉。l祖冲之的一生虽然担任过各种大小官职，行政祖冲之的一生虽然担任过各种大小官职，行政事务十分繁忙。可是他热爱科学，几十年中仍事务十分繁忙。可是他热爱科学，几十年中仍利用一切空余时间孜孜不倦地从事天文历法和利用一切空余时间孜孜不倦地从事天文历法和数学的研究。数学的研究。中国数学之二虽然祖冲之一生做的都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。南齐史“祖冲之传”说他“探异今古”，“革新变旧”，并记载了他与守旧派官员戴法兴关于历法问题的一场辩论。祖冲之在公元462年创制了一部历法大明历，大明历在当时是最先进的历法，却遭到戴法兴等人的竭力反对。戴法兴是当朝权臣，宋书中说凡官员任免、生杀赏罚，皇帝都要同他商量，而祖冲之不过居从事史的微职，却敢于在皇帝面前与戴法兴辩论，并直指戴“浮辞虚贬”，“坚执偏论”。祖冲之还将他反驳戴法兴的议论写成一篇驳议，这篇文章后来被收入宋书，其中提供了有关祖冲之数学贡献的重要线索。 中国数学之二祖冲之在文章一开始说他早年“专攻数术”，“发现立圆旧误，张衡述而弗改；汉时斛铭，刘歆(xin)诡缪其数”。这里“立圆旧误”是指九章算术中错误的球体积公式；“汉时斛铭”则是指王莽时代所造铜斛上的数据，系东汉学者刘歆所写，根据这些数据可推出刘歆用的圆周率数值为3.1547。祖冲之批评这两项数学结果是“算氏之巨疵”，并说他本人“昔以暇日，撰正众谬，理据炳然”。由此可见，球体积的推球体积的推球体积的推球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之本人引以为荣的两大数学导和圆周率的计算是祖冲之本人引以为荣的两大数学导和圆周率的计算是祖冲之本人引以为荣的两大数学导和圆周率的计算是祖冲之本人引以为荣的两大数学成就成就成就成就，只可惜关于这两项工作的原著已不能看到。祖冲之的代表性数学著作是缀术缀术缀术缀术（缀连接，组合之意）。南齐书祖冲之传说祖冲之“注九章，造缀术数十篇”，但缀术也未能留传下来。我们现在对祖冲之这两项成就的了解，得于其他一些零散的史料。中国数学之二l他编制的大明历，首次考虑到岁差他编制的大明历，首次考虑到岁差的计算，其日、月运行周期的数据也比的计算，其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历法精确。当时颁行的历法精确。l此外，他还改造了指南车，制造了水碓此外，他还改造了指南车，制造了水碓(du )磨、千里船等。磨、千里船等。l他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、数学。父子俩都对九章算术与刘徽数学。父子俩都对九章算术与刘徽注有浓厚的兴趣，他们的著作注有浓厚的兴趣，他们的著作缀术缀术在唐代被李淳风收入在唐代被李淳风收入“算经十书算经十书”作为作为数学教科书。数学教科书。中国数学之二l祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成就是祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成就是对对圆周率值圆周率值的推算。的推算。l隋书隋书律历志记载着他对圆周率的研究成律历志记载着他对圆周率的研究成果果3.1415926。由于中国古代习惯使用分数，。由于中国古代习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率密率(祖率祖率)为为355/113；约率为；约率为22/7。其中密率在。其中密率在欧洲由德国数学家欧洲由德国数学家奥托奥托于于1573年得到，这比年得到，这比祖冲之要晚祖冲之要晚1100年之久。年之久。祖氏父子与圆周率祖氏父子与圆周率中国数学之二l至于祖冲之是如何得到圆周率的，由于他的著至于祖冲之是如何得到圆周率的，由于他的著作已经失传，已无从了解了。但大多数人认为，作已经失传，已无从了解了。但大多数人认为，他可能使用的就是刘徽的割圆术。他可能使用的就是刘徽的割圆术。l刘徽：刘徽：192边形边形l祖冲之：祖冲之：24576边形边形l阿基米德：阿基米德：96边形边形中国数学之二l祖氏父子在研究九章算术及刘徽注时发现祖氏父子在研究九章算术及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖牟合方盖”的体积的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索，问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索，经父子两代人不懈的努力，终于由祖暅解决了经父子两代人不懈的努力，终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切牟合方盖与其外切正方体的体积比为正方体的体积比为2/3。祖氏父子与球体积公式祖氏父子与球体积公式中国数学之二l祖氏父子所用的方法论证严谨，推导完善，无祖氏父子所用的方法论证严谨，推导完善，无懈可击；同时，祖暅还将起推导过程中所用、懈可击；同时，祖暅还将起推导过程中所用、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题：总结提炼成一般的命题：“缘幂势既同，则积缘幂势既同，则积不容异不容异”。它被称为。它被称为“祖暅原理祖暅原理”，这实际上，这实际上也就是西方数学界所谓的也就是西方数学界所谓的“卡瓦列利原理卡瓦列利原理”。这一原理在西方直到这一原理在西方直到17世纪才由意大利数学家世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚了卡瓦列利发现，比祖暅晚了1100多年。多年。中国数学之二牟合方盖的八分之一牟合方盖的八分之一命题：倒方锥命题：倒方锥命题：倒方锥命题：倒方锥的体积，等于三个小立体的体积，等于三个小立体的体积，等于三个小立体的体积，等于三个小立体，的体积的体积的体积的体积之和，因此也等于从外切正方体中挖去牟合方盖的部分即立之和，因此也等于从外切正方体中挖去牟合方盖的部分即立之和，因此也等于从外切正方体中挖去牟合方盖的部分即立之和，因此也等于从外切正方体中挖去牟合方盖的部分即立体体体体的体积：的体积：的体积：的体积：=+=+=+=+=中国数学之二中国数学之二中国数学之二中国数学之二中国数学之二中国数学之二刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。然而令人迷惑不解的是，这种倾向随着这一时代的结束，可以说是嘎然而止。祖冲之父子的方法都记载在缀术中。缀术在隋、唐时期曾与九章算术一起被列为官学教科书，但隋书律历志中已说：“学官莫能究其深奥”了！缀术于公元10世纪在中国本土完全失传。中国古典数学的下一个高潮宋元数学，是创造算法的英雄时代。中国数学之二三、算经十书三、算经十书l魏晋时期是中国古代学术研究继承春秋战国以魏晋时期是中国古代学术研究继承春秋战国以后又一个繁荣时期。刘徽注九章算术、赵后又一个繁荣时期。刘徽注九章算术、赵爽注周髀及祖氏父子的工作，使中国古代爽注周髀及祖氏父子的工作，使中国古代数学在理论研究方面达到了一个新的高度。数学在理论研究方面达到了一个新的高度。l这一时期的数学著作较多，流传至今的就有这一时期的数学著作较多，流传至今的就有孙子算经、张邱建算经、五曹算经孙子算经、张邱建算经、五曹算经、五经算术、数术记遗和夏侯阳、五经算术、数术记遗和夏侯阳算经等，这些著作大多反映了当时社会各方算经等，这些著作大多反映了当时社会各方面的需要，在内容上基本是九章算术的沿面的需要，在内容上基本是九章算术的沿袭与补充，在编写风格上也大多模仿九章算袭与补充，在编写风格上也大多模仿九章算术，这些著作的出现，标志着数学研究的深术，这些著作的出现，标志着数学研究的深入和数学教育的普及。入和数学教育的普及。中国数学之二l隋唐时期是中国封建社会发展的鼎盛阶段，隋唐时期是中国封建社会发展的鼎盛阶段，社会稳定，农业生产发展迅速，使得与生产社会稳定，农业生产发展迅速，使得与生产密切相关的历法、数学又有了长足的进步。密切相关的历法、数学又有了长足的进步。l从隋代开始，中国有了专门的数学教育机构，从隋代开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高学府在其最高学府国子监中，设立算学科，国子监中，设立算学科，专门从事数学教学。专门从事数学教学。l唐朝建立以后，在隋的基础上，继续在国子唐朝建立以后，在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他们把数学教育与监中设立数学教育机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科，设有算学博士与算学助教各二人，并招科，设有算学博士与算学助教各二人，并招收算学生收算学生80人。人。 中国数学之二l为了教学的需要，由数学家为了教学的需要，由数学家李淳风李淳风等人共同审等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是周髀算经、九章算术、海岛算作是周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张邱建算经、五经、孙子算经、张邱建算经、五曹算经、五经算术、夏侯阳算经、曹算经、五经算术、夏侯阳算经、缀术和辑古算经，这就是历史上著名缀术和辑古算经，这就是历史上著名的的“算经十书算经十书”，其记载了汉唐的数学成就，其记载了汉唐的数学成就，并成为后人数学教学与研究的重要源泉。并成为后人数学教学与研究的重要源泉。袁天罡、李淳风曾在阆中研究天文历法。袁天罡、李淳风曾在阆中研究天文历法。袁天罡、李淳风曾在阆中研究天文历法。袁天罡、李淳风曾在阆中研究天文历法。中国数学之二孙子算经 l孙子算经孙子算经出现在出现在45世纪，其具体的成书世纪，其具体的成书年代与作者姓名已不可考，这是继九章算术年代与作者姓名已不可考，这是继九章算术之后又一部重要的数学著作。之后又一部重要的数学著作。l孙子算经分上、中、下三卷，卷上叙述度孙子算经分上、中、下三卷，卷上叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除运算方法；卷量衡制度、筹算记数和筹算乘除运算方法；卷中举例说明筹算分数算法和开平方算法，以及中举例说明筹算分数算法和开平方算法，以及简单的面积、体积计算；卷下是各种应用问题，简单的面积、体积计算；卷下是各种应用问题，涉及田域、仓窖、营建、赋役、军旅等。涉及田域、仓窖、营建、赋役、军旅等。l从其内容特色来看，它以实际应用为主，注重从其内容特色来看，它以实际应用为主，注重计算技术，题目通俗有趣，解法巧妙简便，在计算技术，题目通俗有趣，解法巧妙简便，在中国古代数学著作中是很有代表性的。中国古代数学著作中是很有代表性的。中国数学之二l孙子算经还记载了举世闻名的孙子算经还记载了举世闻名的“孙子问题孙子问题”，这就是卷下第，这就是卷下第26题，也即全书的最后一题。题，也即全书的最后一题。l“今有物不知数。三三数之剩二；五五数之剩今有物不知数。三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？三；七七数之剩二，问物几何？”l虽然孙子算经记载的虽然孙子算经记载的“孙子问题孙子问题”似乎是似乎是一个数字游戏，但古代产生这一问题的背景却一个数字游戏，但古代产生这一问题的背景却是非常深刻的，这主要是天文历法的需要。是非常深刻的，这主要是天文历法的需要。 中国数学之二l例如在制定魏景初历（公元例如在制定魏景初历（公元237年）时就明确年）时就明确规定，把冬至、月朔和甲子日零时重合的时刻规定，把冬至、月朔和甲子日零时重合的时刻取作历法起算的原点，古代历法中称之为取作历法起算的原点，古代历法中称之为“上上元元”。如果制定立法那一年冬至发生在甲子日。如果制定立法那一年冬至发生在甲子日零时后零时后r1日，在月朔后日，在月朔后r2日，那么，这一年冬日，那么，这一年冬至距上元的年数至距上元的年数x就是同余式组就是同余式组axr1(mod360)r2(modb)的解。这里的解。这里a是一是一回归年的日数，回归年的日数，b是一朔望月的日数。是一朔望月的日数。中国数学之二l据研究，早在公元前据研究，早在公元前2世纪时，我国就已研究世纪时，我国就已研究过需要一次同余式才能解决的天文问题。过需要一次同余式才能解决的天文问题。l这类问题在中国古代数学中是经常碰到的，不这类问题在中国古代数学中是经常碰到的，不过由于问题的提法不同而赋予不同的名称，如过由于问题的提法不同而赋予不同的名称，如“鬼谷算鬼谷算”、“秦王暗点兵秦王暗点兵”、“剪管术剪管术”、“隔墙算隔墙算”等等。等等。中国数学之二l把上述问题用同余式组表示出来就是把上述问题用同余式组表示出来就是x2(mod3)3(mod5)2(mod7)，求，求x。l孙子算经的解答原文隐晦难懂，但它揭示了关键是要孙子算经的解答原文隐晦难懂，但它揭示了关键是要找出找出70，21，15这三个常数，为什么呢？因为这三个常数，为什么呢？因为70不仅是不仅是57的倍数（的倍数（2倍），而且被倍），而且被3除余除余1；21不仅是不仅是37的倍数的倍数（1倍），而且被倍），而且被5除余除余1；15不仅是不仅是35的倍数（的倍数（1倍），倍），而且被而且被7除也余除也余1，即，即 70=2571(mod3)0(mod5)0(mod7)， （1） 21= 370(mod3)1(mod5)0(mod7)， （2） 15= 350(mod3)0(mod5)1(mod7)。 （3）中国数学之二l由题设，用由题设，用3,5,7分别除以分别除以x所得的余数为所得的余数为2,3,2，故用，故用2,3,2分别去乘分别去乘(1),(2),(3)式，再相加式，再相加即得即得2332(mod3)3(mod5)2(mod7)。这表。这表示示233是满足条件的是满足条件的x的一个解。的一个解。l为了求满足条件的最小解，可用为了求满足条件的最小解，可用357=105的的倍数去减倍数去减233，得到的差，得到的差23便是所求的解。便是所求的解。中国数学之二l后来有人将这一问题的解法写成一首诗歌，这后来有人将这一问题的解法写成一首诗歌，这就是明代数学家就是明代数学家程大位程大位的算法统宗卷五所的算法统宗卷五所载的载的“孙子歌孙子歌”： 三人同行七十稀，三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，七子团圆正半月， 除百零五便得知。除百零五便得知。中国数学之二张邱建算经 l张邱建算经三卷，为张邱建算经三卷，为5世纪时期北魏人张世纪时期北魏人张邱建所撰，其主要数学成就有：最大公约数与邱建所撰，其主要数学成就有：最大公约数与最小公倍数的应用、等差数列、开带从平方和最小公倍数的应用、等差数列、开带从平方和不定方程。不定方程。中国数学之二l“百鸡问题百鸡问题”l“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？雏各几何？”l此题相当于给出不定方程组：此题相当于给出不定方程组：l这里的这里的x,y,z分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的只数。分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的只数。 中国数学之二l张邱建给出了三组解张邱建给出了三组解l这恰好是所有可能的三组正整数解。至于如何这恰好是所有可能的三组正整数解。至于如何得到这三组解，张邱建算经的得到这三组解，张邱建算经的“术术”文是文是“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。得。”l这实际上指出了这个不定方程的通解公式为这实际上指出了这个不定方程的通解公式为中国数学之二五曹算经 l五曹算经为北周五曹算经为北周甄鸾甄鸾所撰，共所撰，共5卷。分别卷。分别介绍田曹、兵曹、集曹、仓曹和金曹五个行政介绍田曹、兵曹、集曹、仓曹和金曹五个行政职能部门的数学应用问题，是一本为地方行政职能部门的数学应用问题，是一本为地方行政官员编写的实用算术手册。官员编写的实用算术手册。l五经算术亦为北周五经算术亦为北周甄鸾甄鸾所撰，共所撰，共2卷。该卷。该书对尚书、诗经、周易、礼记书对尚书、诗经、周易、礼记和论语等儒家经典及其古代经师的注解和论语等儒家经典及其古代经师的注解中涉及的数学知识进行解释，但数学内容并不中涉及的数学知识进行解释，但数学内容并不深。深。中国数学之二夏侯阳算经 、 辑古算经 l现传本夏侯阳算经已不是唐代立于学官的现传本夏侯阳算经已不是唐代立于学官的原著，是北宋时期重刻算经十书时顶替早原著，是北宋时期重刻算经十书时顶替早已亡佚的原著而选用的唐代中叶的一本实用算已亡佚的原著而选用的唐代中叶的一本实用算术书，其作者可能是术书，其作者可能是韩延韩延。该书共。该书共3卷，较为卷，较为重要的是有许多关于捷算方法的记载。重要的是有许多关于捷算方法的记载。l辑古算经为唐代数学家辑古算经为唐代数学家王孝通王孝通所撰。全书所撰。全书共共20题，最重要的是堤岸的体积计算公式和对题，最重要的是堤岸的体积计算公式和对高次方程的研究，弥补了九章算术和缀高次方程的研究，弥补了九章算术和缀术等书的不足。术等书的不足。辑古算经是世界上最早辑古算经是世界上最早讨论三次方程组代数解法的著作。高次方程的讨论三次方程组代数解法的著作。高次方程的数值解法，在宋、元时期得到了高度的发展。数值解法，在宋、元时期得到了高度的发展。中国数学之二l尽管隋唐时期对数学教育十分重视，但就数学尽管隋唐时期对数学教育十分重视，但就数学成就而言，这一时期并不十分突出。不过也还成就而言，这一时期并不十分突出。不过也还是出现了一些数学成就。是出现了一些数学成就。l如在天文历法的研究中，隋代卓越的天文学家如在天文历法的研究中，隋代卓越的天文学家刘焯刘焯（zhuo,544610）在周髀算经中一）在周髀算经中一次内插法的启发中，首先在天文历法研究中应次内插法的启发中，首先在天文历法研究中应用了等间距二次内插法公式。用了等间距二次内插法公式。中国数学之二l接着，唐代的接着，唐代的僧一行僧一行（俗名张（俗名张遂，遂，687727）推广建立了）推广建立了不等间距的二次内插法公式，不等间距的二次内插法公式，即数学史上有名的即数学史上有名的“张遂内插张遂内插法公式法公式”。l同时，僧一行还组织了世界上同时，僧一行还组织了世界上第一次对地球子午线的实际测第一次对地球子午线的实际测量量这些都是中国数学史上这些都是中国数学史上光辉的一页。光辉的一页。中国数学之二谢谢大家！请多指教！谢谢大家！请多指教！E-mail:中国数学之二