第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征14.1 数学期望数学期望与方差与方差2 分布函数能够完整地描述随机变量的统分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，有些问题并计特性。但在一些实际问题中，有些问题并不要求去全面地考察随机变量的取值规律，不要求去全面地考察随机变量的取值规律，而只要求知道随机变量的某些取值特征就可而只要求知道随机变量的某些取值特征就可以了。这一章里，主要讨论随机变量常见的以了。这一章里，主要讨论随机变量常见的数字特征：数学期望、方差和矩。数字特征：数学期望、方差和矩。3引例引例1 1 分赌本问题分赌本问题( (产生背景产生背景) ) A, B 两人赌技相同两人赌技相同, 各出各出赌金赌金100元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜, 取得全部取得全部 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况 ,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博, 如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?一、数学期望一、数学期望4把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA A胜两局胜两局A胜胜B胜胜 B胜胜A胜胜 B胜两局胜两局 A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目, 则为则为5因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的 “期望期望”值值,等于等于X 的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下, 继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为:6 设甲、乙两个射击手在同样设甲、乙两个射击手在同样的条件下的条件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击,(命命中的环数是随机变量中的环数是随机变量).射中情况记射中情况记录如下录如下引例引例2 射击问题射击问题甲射中的环数甲射中的环数X8910概率概率0.30.10.6乙射中的环数乙射中的环数Y8910概率概率0.20.50.3谁的技术更好？谁的技术更好？7解解甲平均射中环数甲平均射中环数甲的技术更好些。甲的技术更好些。乙平均射中环数乙平均射中环数设两个射手各射设两个射手各射N次，则他们打中靶的环数大约是：次，则他们打中靶的环数大约是： “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加8随机变量数学期望（均值）的定义：随机变量数学期望（均值）的定义：若级数若级数 不是绝对收敛，即级数不是绝对收敛，即级数 发散，称发散，称X的数学期望不存在。的数学期望不存在。9关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同平均值不同. (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数和积分的绝对收敛性级数和积分的绝对收敛性保证了级数的保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.10随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为假设假设它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等.11注意：并不是所有的随机变量都存在数学期望。虽有收敛。但非绝对收敛，故X的数学期望不存在。又如柯西分布故X的数学期望不存在。例 随机变量X12解解因此因此, 顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例1 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间? ? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?13随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望:设设 (1) X(1) X为离散型随机变量为离散型随机变量, ,其分布率为其分布率为如果如果 绝对收敛绝对收敛, ,则有则有(2) (2) 设设X X为连续性随机变量为连续性随机变量, ,密度为密度为p( (x),),如果积分如果积分绝对收敛绝对收敛, ,则则14例例2 设X的分布列为:求(1) 2X+1 ; (2) X2 的数学期望.解：解：15二维随机变量数学期望的定义：二维随机变量数学期望的定义：16二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望:为离散型时,为连续型时,17例例3 设随机向量的分布列为XY求 的数学期望。解：解：18例例4 设(X,Y)的联合密度函数为求 解解:19性质1 设 C 为常数，则E(C)=C数学期望的性质：数学期望的性质：性质2 设X为随机变量，C为常数，则 E(CX)=CE(X)性质3 对于任意的两个随机变量X，Y有E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质4 设X，Y是相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)20 只证性质3、4，且随机变量为连续的情形.3.设(X,Y)的概率密度为f(x,y),其边缘概率密度为fx(x),fy(y)，则有214. 因为X与Y相互独立，有f(x,y)=fx(x)fy(y),于是22例例 若随机变量X和Y相互独立，试证 因为X与Y相互独立， 所以 与 也相互独立.证证:由性质323二、方差二、方差 方差的引入方差的引入 设随机变量设随机变量X均值为均值为EX,实际上，实际上，X的取值并不的取值并不一定恰好都是一定恰好都是EX,而是有所偏离，在而是有所偏离，在EX周围波动。周围波动。实例实例 有两批灯泡有两批灯泡,其平均寿命都是其平均寿命都是 E(X)=1000小小时时. 较好较好 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量的量.24又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，其落点距目标的位置如图其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .中心中心中心中心25 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若 方差的定义：方差的定义：称为称为X的的方差方差。也记作。也记作称为称为均方差均方差或标准差或标准差。26方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中, 以以 E(X) 作为随机变作为随机变量的代表性好量的代表性好. 方差的意义方差的意义27 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 证明证明(2) 利用公式计算利用公式计算28解：解：29（3）设X，Y相互独立，则方差的性质：方差的性质：（1）设C是常数，则D(C)=0（2）设X是一随机变量，C是常数，则30只证明（3）：311. 两点分布两点分布 已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有重要概率分布的数学期望与方差重要概率分布的数学期望与方差322. 二项分布二项分布 则有则有 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为333. 泊松分布泊松分布 则有则有34所以所以354. 均匀分布均匀分布则有则有36结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.375. 指数分布指数分布 则有则有386. 正态分布正态分布则有则有3940分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布41定义定义 设X是随机变量， 若 存在， 则称它为X的k阶原点矩阶原点矩 。 若 存在， 则称它为X的k阶中心矩阶中心矩。 显然， 就是数学期望， 就是方差。简介原点矩和中心矩简介原点矩和中心矩42三、小结三、小结1.数学期望数学期望2.方差方差3.矩的概念矩的概念43