目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 *三、全微分方程三、全微分方程9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,或一、一、 格林公式格林公式9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且则定理1 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 即同理可证、两式相加得:定理1 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕定理1 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如, 椭圆所围面积定理1 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明证证: 令则利用格林公式 , 得9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则利用格林公式 , 有9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分与路径无关, 只与起止点有关. 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)定理2 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 定理2 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 (4) 在 D 内每一点都有(3)在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为证毕 (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(4) 在 D 内每一点都有定理2 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲定理2 线 AB ,有注注: 此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(P211定理4). 它类似于微积分基本公式: 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 验证在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令则由定理定理 2 可知存在原函数9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 或9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !内容小结 转内容小结9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 判别判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程 则求解步骤求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .*三、全微分方程三、全微分方程则称为全微分方程.9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求解解解: 因为故这是全微分方程. 则有因此方程的通解为法法19/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 法法2 此全微分方程的通解为 , 则有两边对 y 求导得由得与比较得因此方程的通解为9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解解: 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为即故原方程的通解为或9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解方程这不是一个全微分方程 ,就化成例9 的方程 .使为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数 积分因子.9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有为全微分方程9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设且都取正向, 问下列计算是否正确 ?提示提示:9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 2. 设提示提示:作业作业P212 2 (1) ; 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ； 6 (2) ,(5) ; *8 (2), (4), (7) ; 9第四节 9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 设 C 为沿从点依逆时针的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,9/18/2024目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解解: 因积分与路径无关 , 故有即因此有9/18/2024