1.3.3 导数的实际应用导数的实际应用 导数的实际应用： 1、费用最省问题 2、容积最大问题 3、利润最大问题 4、距离最短问题 5、物理问题利用导数求实际问题的最大（小）值的方法：1、细致分析实际问题中各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式 y=f(x),在根据实际问题确定函数的定义域。2、求f(x),解方程f(x)=0，求出定义域内所有的实数根。3、比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据实际意义确定函数的最大值或最小值。 在经济生活中，人们经常遇到最优化问在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们研这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。究几个典型的实际问题。 解决优化问题的方法：解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具中，导数是一个有力的工具解决数学模型解决数学模型作答作答用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题优化问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案利用导数解决优化问题的利用导数解决优化问题的基本思路基本思路：例例1. 在边长为在边长为a的正方形铁片的四角切去的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图如图)，做成一个无盖的长方体容器，为，做成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少？多少？解：设小正方形边长为解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积，则箱子容积所以所以令令 解得解得x1= a，x2= a（舍去），（舍去），在区间在区间(0， a)内，且当内，且当0x0，当，当 axa时，时，V(x)0)，所以所以f(x)=kx(d2x2)，0xd，在开区间在开区间(0，d)内，内，令令f (x)=k(d23x2)=0， 解得解得x= d， 其中负根没有意义，舍去其中负根没有意义，舍去.当当0x0，当，当 dxd时，时，f (x)0， 因此在区间因此在区间(0，d)内只有一个极大值点内只有一个极大值点x= d，所以，所以f(x)在在x= d取得最大值，取得最大值， 这就是横梁强度的最大值，这就是横梁强度的最大值， 这时这时 即当宽为即当宽为 d，高为，高为 时，横梁的时，横梁的强度最大。强度最大。例例3如图，一海岛驻扎一支部队，海岛如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点离岸边最近点B的距离是的距离是150km，在岸边，在岸边距点距点B300km的点的点A处有一军需品仓库，有处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，一批军需品要尽快送达海岛，A与与B之间有之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时速为速为50km，船时速为，船时速为30km，试在岸边选，试在岸边选一点一点C，先将军需品用火车，先将军需品用火车送到点送到点C，再用轮船从点，再用轮船从点C运到海岛，问点运到海岛，问点C选在何处选在何处可使运输时间最短？可使运输时间最短？ 解解:设点设点C与点与点B的距离是的距离是xkm，则运输时间，则运输时间(0x300)因为因为 所以所以 令令T(x)=0，则有，则有 即即25x2=9(1502+x2)， 解此方程，得解此方程，得 x= 舍去负值，取舍去负值，取x0=112.5 .因为因为T(0)=11，T， T(112.5)=则则10是三数中最小者，是三数中最小者， 所以选点所以选点C在与点在与点B距离为处距离为处,运输时间运输时间最小。最小。例例4如图，已知电源的电动势为如图，已知电源的电动势为，内，内电阻为电阻为r，问当外电阻取什么值时，输出，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？的功率最大？解：由欧姆定律得电流强度解：由欧姆定律得电流强度 在负载电路上的输出功率是在负载电路上的输出功率是P=P(R)=I2R= 实验表明，当实验表明，当，r一定时，输出功率由负一定时，输出功率由负载电阻载电阻R的大小决定，的大小决定， 当当R很小时，电源的功率大都消耗在内很小时，电源的功率大都消耗在内阻阻r上，输出的功率可以变的很小；上，输出的功率可以变的很小；R很大很大时，电路中的电流强度很小，输出的功率时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此也会变的很小，因此R一定有一个适当的一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。数值，使输出的功率最大。令令 即即 ，解得，解得R=r，因此，当因此，当R=r时，输出的功率最大。时，输出的功率最大。例例5圆柱形金属饮料罐的容积一定时，圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？所用的材料最省？解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为h，底半径为，底半径为R，则表面积，则表面积 S=2Rh+2R2 由由V=R2h，得，得 则则 S(R)=2R +2R2 = +2R2令令 解得解得 R= 从而从而h= 即即h=2R， 因为因为S(R)只有一个极值，所只有一个极值，所以它是最小值以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省材料最省例例6已知某商品生产成本已知某商品生产成本C与产量与产量q的函的函数关系式为数关系式为C=100+4q，价格，价格p与产量与产量q的的函数关系式为求产量函数关系式为求产量q为何值时，利润为何值时，利润L最大？最大？解：收入解：收入 利润利润 (0q100)令令L=0 , 即即 求得唯一的极值点求得唯一的极值点 q=84.答：产量为答：产量为q=84时，利润时，利润L最大最大