4.44.4内容回顾内容回顾一、有理函数一、有理函数的积分的积分转化为下列三种形式的积分转化为下列三种形式的积分多项式的积分多项式的积分(容易容易)(容易容易)(容易容易)积分表及习题PPT课件 (2)记记再利用再利用P209例例9的递推公式的递推公式(已讲但不需要记忆已讲但不需要记忆)至此至此,理论上有理函数的积分就算解决了理论上有理函数的积分就算解决了,其原函数仍其原函数仍为为初等函数初等函数.积分表及习题PPT课件 (2)二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设设表示三角函数有理式表示三角函数有理式 ,令令万能代换法万能代换法t 的有理函数的积分的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则则代入原积分得代入原积分得,转化为转化为积分表及习题PPT课件 (2)2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令令令被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换可通过根式代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分. 例如例如:令令积分表及习题PPT课件 (2). 指数函数有理式的积分指数函数有理式的积分令令被积函数为被积函数为指数函数有理式指数函数有理式, 可通过指数代换可通过指数代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分. 注注: 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 , 简便计算简便计算 .简便简便 , 积分表及习题PPT课件 (2)思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便如何求下列积分更简便 ?解解: 1.2. 原式原式积分表及习题PPT课件 (2)积分计算比导数计算灵活复杂积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分为提高求积分已把常用积分公式汇集成表已把常用积分公式汇集成表, 以备查用以备查用. 如如 P362附录附录 . 积分表的结构积分表的结构: 按被积函数类型排列按被积函数类型排列 积分表的使用积分表的使用: 1) 注意公式的条件注意公式的条件2) 注意简单变形的技巧注意简单变形的技巧 的效率的效率,4.5 4.5 积分表的使用积分表的使用 第四章第四章 积分表及习题PPT课件 (2)例例1. 求求解解:应使用应使用 P368 公式公式105 .但但无直接公式可套无直接公式可套积分表及习题PPT课件 (2)例例2. 求求解解:令令则则原式原式(P364 公式公式 37)用公式几？用公式几？用公式几？用公式几？积分表及习题PPT课件 (2)例例3. 求解解: 令则原式用公式几？用公式几？积分表及习题PPT课件 (2)( 公式2121)( 公式19)初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一因此不一定都能积出定都能积出. 如如等等.积分表及习题PPT课件 (2)作业作业P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25利用和不利用积分表分别计算利用和不利用积分表分别计算.积分表及习题PPT课件 (2)第四章第四章不定积分不定积分 微分法微分法:积分法积分法:互逆运算但互逆运算但本章可用四个字及四句话概括如下：本章可用四个字及四句话概括如下：四个字：四个字： 难、难、四句话：四句话： 依型分类很重要；依型分类很重要；（烦）（烦）繁繁 、 活、活、 死。死。变凑紧跟末忘掉；变凑紧跟末忘掉；眼光敏锐方法巧；眼光敏锐方法巧；遇难则往已知靠。遇难则往已知靠。原函数不是初等函数原函数不是初等函数,也称积不出来也称积不出来(死的死的).积分表及习题PPT课件 (2)习题课一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法 第四四章 积分表及习题PPT课件 (2)一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1. 直接积分法直接积分法通过简单变形通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型注意常见的换元积分类型) (代换代换: )积分表及习题PPT课件 (2)3. 分部积分法分部积分法使用原则使用原则:1) v易凑易得易凑易得 ;2)比比好求（至少难度不增）好求（至少难度不增） .一般经验一般经验: 按按“反、对、反、对、 幂、幂、 指、指、 弦弦” 的顺序的顺序,排前者取为排前者取为 u , 后者与后者与x凑微分得凑微分得v积分表及习题PPT课件 (2)多次分部积分的快速计算法多次分部积分的快速计算法可按下述快速计算方法可按下述快速计算方法:当当 u 为为 n 次多项式时次多项式时,计算计算 其中其中是是的原函数且易求的原函数且易求,如如则则+积分表及习题PPT课件 (2)例例1. 求求解解: 原式原式积分表及习题PPT课件 (2)例例2. 求解解:原式分析分析: 5积分表及习题PPT课件 (2)例例3. 求解解 :原式(P221 4)=积分表及习题PPT课件 (2)例例4. 求解解:积分表及习题PPT课件 (2)例例5. 求求解解: 取取说明说明: 此法特别适用于此法特别适用于如下类型的积分如下类型的积分: 积分表及习题PPT课件 (2)解：令解：令x=lnt (t1)，则则例例6原式原式2dt积分表及习题PPT课件 (2)例例7. 求求解解: 设设则则因因连续连续 , 得得记作记作得得利用利用 积分表及习题PPT课件 (2)二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1. 一般积分方法一般积分方法有理函数有理函数分解分解多项式及多项式及部分分式之和部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换指数函数有理式指数函数有理式指数代换指数代换积分表及习题PPT课件 (2)2. 需要注意的问题需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合要注意综合使用各种基本积分法使用各种基本积分法, 简便计算简便计算 . 因此不一因此不一定都能积出定都能积出.例如例如 , 积分表及习题PPT课件 (2)例例8. 求解解: 令则原式原式(最后注意还原最后注意还原)积分表及习题PPT课件 (2)例例9. 求求解解: 令令比较同类项系数比较同类项系数, 故故 原式原式说明说明: 此技巧适用于形为此技巧适用于形为的积分的积分.积分表及习题PPT课件 (2)例例10.求不定积分求不定积分解解: 原式原式 关键是部分分式的形式及系数的确定关键是部分分式的形式及系数的确定(P222 39)(P218 17)(P222 38)积分表及习题PPT课件 (2)例例11.解解:I =积分表及习题PPT课件 (2) 例例12此题有多种解法此题有多种解法的积分积分表及习题PPT课件 (2)例例13解解:原式=(还原还原)=1积分表及习题PPT课件 (2)