总复习四总复习四注意注意: :总结总结罗尔中值定理罗尔中值定理那么在开区间那么在开区间(a, b)内必定内必定(至少至少)存在一点存在一点 , 使使(i) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续;(ii) 在开区间在开区间 (a, b) 上可导上可导;(iii) f(a) = f(b).1 、熟记罗尔定理、拉格朗日中定理，柯西、熟记罗尔定理、拉格朗日中定理，柯西中值定理的条件和结论中值定理的条件和结论 设函数设函数 f (x) 满足：满足：拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(i) f(x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续;(ii) f(x) 在开区间在开区间 (a, b) 内可内可导导.那么在开区间那么在开区间 内内 ( 至少至少 ) 存在一点存在一点 , 使得使得推论推论1设设 在区间在区间 I上的导函数上的导函数 , 则则是一个常值函数是一个常值函数.(柯西中值定理柯西中值定理) 设函数设函数 , 在区在区间间 上满足上满足:(1) f(x) , g(x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续;则在开区间则在开区间 内必定内必定 (至少至少) 存在一点存在一点 , 使得使得柯西中值定理(2) f(x) , g(x) 在开区间在开区间 (a, b) 上可导上可导;Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理1.罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；2.2.证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔应用罗尔 定理定理. .3.3.应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式一些不等式 (ii)f(x)在区间(1, 1)内可导 (iii)f(1) f(1)e1 因此函数f(x)在区间1, 1上满足罗尔定理的所有条件的所有条件？如满足就求出定理中的数值 例1、在区间1, 1上是否满足罗尔定理 解 (i)作为初等函数 在其定义区间1, 1上是连续 0 得0 由洛必达法则洛必达法则2、熟练掌握用罗必达法则求极限的方法。、熟练掌握用罗必达法则求极限的方法。 (1) 解 例2、罗必达法则罗必达法则则求下列极限 (2)解 因为并且 所以e (3)解 因为并且 所以e 01 3、熟练掌握函数单调性的判别法，、熟练掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间会求函数的单调区间 例3、 求下列函数 yx 42x22 的增减区间 x(, 1)(1, 0)(0, 1)(1, )yy 函数在区间(, 1)和(0, 1)内是单调减少的 在区间(1, 0)和(1, )内是单调增加的 令y0 得函数的驻点x1 x0 x1 列表得解 y4x34x4x(x1)(x1) 4、熟练掌握函数极值和最值的求法。、熟练掌握函数极值和最值的求法。解 令y0 得函数的驻点 x5 不可导点为x1 列表得x( 1)15(5 )y不存在00y00 y(1)y(5)0为极小值 为极大值 例4、求下列函数 的极值 例5、 利用二阶导数 判断函数 的极值。 y(x3)2(x2) 解 y2(x3)(x2)(x3)2(x3)(3x7) y6x16 令y0 得函数的驻点x3 x7/3 因为y(7/3)20 所以y(7/3)= 4/27是函数的极大值 因为y(3)20 所以y(3)0是函数的极小值 例例6、 求函数求函数y x 4 2x2 5在在 2, 2上的最大值与最小上的最大值与最小值值 解 y4x34x4x(x1)(x1) 令y0 得函数的驻点为x0 x1 x1 计算函数在驻点和区间端点的函数值 y(2)13 y(1)4 y(0)5 y(1)4 y(2)13 经比较得y(1)y(1)4是函数的最小值 y(2)y(2)13是函数的最大值 5、会求曲线的凹凸区间、拐点和渐近线、会求曲线的凹凸区间、拐点和渐近线例9、 确定函数 的凹向及拐点 令y0 得x0 解 ， x0y000y(拐点)0(拐点)(拐点) 函数在区间和内是下凹 在区间和内是上凹的 点和是拐点 解：(1)定义域：(2)对称性：函数非奇非偶，不对称于轴、原点.曲线过点(和(4)单调区间、极值、凹向和拐点：令,得令,得当时，和都不存在.例10、 作函数的图形.(3)截距：令x010+不存在0不存在1不存在列表讨论如下： (5)渐近线：是曲线的垂直渐近线.是曲线的水平渐近线.(6)适当补点：取，得，取，得(7)根据以上结果作出函数图形.如图所示.0xy1231234例例11、选择题 (A)函数yx25x6在2, 3上是连续的 在(2, 3)内是可导 且y(2)y(3)0 1 下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有( ) (A) yx25x6 2, 3 (B) 0, 2 (C) yxex 0, 1 (D) 0, 5 在闭区间0, 2上不是处处连续的 (B)函数 (C)函数yxex在0, 1上是连续的 在(0, 1)内是可导的 在区间端点的函数值不等 在开区间(0, 5)内是连续的(D)函数 但在闭区间0, 5上不连续 答答 A 2、 下列求极限问题不能用罗彼塔法则的有( ) (C) (D)答答 A C (B)(A) 分子的极限不(A)因为不能用罗彼塔法则 存在 所以 (B)因为 所以能用罗彼塔法则 所以能用罗彼塔法则 分子分母的极限都不(C)因为不能用罗彼塔法则 存在 所以 (D)因为3、 函数yx312x1在定义域内( ) (A)单调增加 (B)单调减少 (C)图形上凹 (D)图形下凹 答答 A 因为y3x2120 所以函数在定义内是单调增加的 而不是单调减少的 因为y6x 当x0时y0 当x0时y0 所以函数在定义域内没有确定的凹向 4、 函数yf(x)在点xx0处取得极大值 则必有( ) (A) f (x0)0 (B) f (x0)0 (C) f (x0)0且f (x0)0 (D) f (x0)0或不存在 答答 D (A) 函数f(x)在极值点xx0处未必可导 只有当f(x)在极 值点xx0处可导时 才有f (x0)0 (B) 只有当f(x)在极值点xx0处有二阶导数时 才有 f (x0)0 (C) 只有当f(x)在极值点xx0处有二阶导数时 才有 f (x0)0且f (x0)0 (D) 函数f(x)在极值点xx0处或者可导(此时f (x0)0 ) 或者不可导 5 条件f (x0)0是f(x)的图形在点xx0处有拐点的( )条件 (A) 必要 (B) 充分 (C) 充分必要 (D) (A)、(B)、(C)都不是 答答 A (A) 有水平渐近线 (B) 有铅垂渐近线 (C) 有斜渐近线 (D) 没有渐近线 因为 所以曲线没有斜渐近线 6 曲线( ) 答答 A B 所以x1是曲线因为的铅垂渐近线因为 所以y0是曲线的平渐近线