第二章 多元函数积分学正确理解黎曼积分的概念和性质正确理解黎曼积分的概念和性质。正确理解二、三重积分的概念。正确理解二、三重积分的概念。正确理解对弧长的曲线积分的概念。正确理解对弧长的曲线积分的概念。正确理解对面积的曲面积分的概念。正确理解对面积的曲面积分的概念。本节教学要求：本节教学要求：第六节第六节黎曼积分的概念黎曼积分的概念 重积分重积分 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 曲顶柱体曲顶柱体本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论第六节第六节 黎曼积分的概念黎曼积分的概念的黎曼积分的黎曼积分空间中与空间中与 分割分割分割分割- - - -近似近似近似近似- - - -求和求和求和求和- - - -取极限取极限取极限取极限有关的一类数学模型有关的一类数学模型 非均匀分布时“直线段”质量问题定积分 非均匀分布时平面薄板质量问题直角坐标系 二重积分 非均匀分布时“立体”质量问题直角坐标系 三重积分 非均匀分布时“曲线段”质量问题 对弧长的曲线积分L 为封闭曲线 平面曲线 非均匀分布时“曲线段”质量问题 对弧长的曲线积分 为封闭曲线 空间曲线 非均匀分布时“曲面”质量问题 对面积的曲面积分为封闭曲面以上讨论的几个问题的共同点：以上讨论的几个问题的共同点：对自变量的取值范围作任意分割对自变量的取值范围作任意分割. . 形式相同的和式：形式相同的和式：( (函数在某点的值函数在某点的值)()(小几何体的度量值小几何体的度量值) )形式相同的极限：形式相同的极限：分割后小几何体的度量值具有任意性具有任意性看成均匀变化时，所求量可表示为两个量的乘积看成均匀变化时，所求量可表示为两个量的乘积. .所求量对区域具有可加性所求量对区域具有可加性. .设为空间中可度量的几何形体,是定义在上的有界函数, 将任意分割为 m 个可度量的小几何形体它们的度量值记为记作和式称此和式为函数在上的黎曼和。若极限存在, 且与对的分割方式及点的选择方式无关, 则称此极限黎曼积分的定义黎曼积分的定义此时称函数在上是黎曼可积的, 记为值 I 为函数在上的黎曼积分, 记为其中, 积分号； 被积函数； 积分区域； 积分元素。 什么样的函数可积(黎曼可积)根据黎曼积分的定义可以得出：若则若在内有界, 且在除去中有限个低于所在空间维数的几何形体外连续, 则设设 为为 R3 中的可度量的几何形体，中的可度量的几何形体，则则黎曼积分应具有一些极限所具有的性质这就是说，这就是说，黎曼积分的性质黎曼积分的性质性质性质1 1若若则则其中，其中，为区域为区域的度量值。的度量值。回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时 质量质量 = = 密度密度几何形体的度量值几何形体的度量值就可以理解这个性质。就可以理解这个性质。定积分定积分( (区间区间a, b的长度的长度) )二重积分二重积分( (平面区域平面区域 D 的面积的面积) )( (R3 中立体中立体 的体积的体积) )三重积分三重积分曲线积分曲线积分( (平面曲线平面曲线 L 的弧长的弧长) )曲面积分曲面积分( (曲面曲面的面积的面积) ) 例例 二重积分：相当于以二重积分：相当于以 D 为底，高为为底，高为1 1 的的平顶柱体体积平顶柱体体积 V= | D |。 (线性性质线性性质)若若为为实数，实数， 则则且且该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形性质性质2设设将将 任意分成可度量的任意分成可度量的两个部分：两个部分：与与除边界外无其它公共部分，则除边界外无其它公共部分，则且且性质性质3(对积分区域的可加性对积分区域的可加性) 想一想：想一想：行！行！行！行！行！行！ 可以将性质可以将性质3中的中的 任意分成有限个相互任意分成有限个相互间只有公共边界的部分：间只有公共边界的部分： (保号性保号性)性质性质4性质性质性质性质4 4 4 4的推论的推论的推论的推论 1 1 1 1设设则则若若性质性质性质性质4 4 4 4的推论的推论的推论的推论 2 2 2 2 (积分中值定理积分中值定理)若若是有界闭区域，是有界闭区域，则则至少存在一点至少存在一点使得使得 现在看这里现在看这里如果如果会有什么结果出现？会有什么结果出现？性质性质5 性质性质性质性质5 5 5 5的推论的推论的推论的推论1 1 1 1若若是有界闭区域，是有界闭区域，且有且有但但/则则 你能根据刚才的分析证明这个推论吗？你能根据刚才的分析证明这个推论吗？ 现在由这个推论反过去想: 如果函数在的任意一个小区域上的积分均为零，则函数在上应是什么形式？啊！性质性质性质性质6 6 6 6的推论的推论的推论的推论2 2 2 2设设若若有有则则运用反证法：设运用反证法：设/则至少有一点则至少有一点 X0，使使由推论由推论1 便可得出矛盾。便可得出矛盾。实践出真知 课后自己做性质性质性质性质6 6 6 6的推论的推论的推论的推论2 2 2 2设设若若有有则则运用反证法：设运用反证法：设/则至少有一点则至少有一点 X0，使使由推论由推论1 便可得出矛盾。便可得出矛盾。实践出真知 课后自己做什么结果？性质性质性质性质6 6 6 6的推论的推论的推论的推论3 3 3 3设设若若有有则则