第三章 二维随机变量 开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系 授课教师：徐林授课教师：徐林 2.4 2.4 二维随机变量二维随机变量一、一、 多维随机变量多维随机变量 设设(X, Y)是二维随机变量，是二维随机变量，(x, y) R2, 则称则称 F(x,y)=PX x, Y y为为(X, Y)的的分布函数分布函数，或，或X与与Y的联合分布函数的联合分布函数。 二. 联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F( )表示随机点表示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F (x,y),求求(X,Y)落在如图区落在如图区域域G内的概率内的概率.答答:且且(1)归一性归一性 对任意对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, (2)单调不减单调不减 对任意对任意y R, 当当x1x2时，时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意对任意x R, 当当y1y2时，时， F(x, y1) F(x , y2). (3)右连续右连续 对任意对任意x R, y R, 反之，任一满足上述四个性质的二元函数反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)F(x, y)都可以作为某个二维随机变量都可以作为某个二维随机变量(X, (X, Y)Y)的分布函数。的分布函数。1)求常数求常数A，B，C。 2)求求P0X2,0YY11xy求：求：(1)(1)常数常数A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。 例例3. 设设解解(1)由归一性由归一性11(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。解 3. 两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布* 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X, Y)在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布。服从均匀分布。 易见，若（易见，若（X，Y）在区域）在区域D上上(内内) 服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，有，有解解:注：在计算与二维连续型随机变量的有关计算时，必须注意两个问题：随机变量的取值范围以及随机变量的密度函数的取值形式。实际上，这也是研究随机变量的基本内容。其中，其中， 1、 2为实数，为实数， 10、 20、| |1，则称，则称(X, Y) 服从参数为服从参数为 1, 2, 1, 2, 的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为(P66)定义定义. n. n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体定义定义. . 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上上的有限或可列无穷多个点，称的有限或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维离散型的，称维离散型的，称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n,(x,(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) R) Rn n为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维连续型随机变量，维连续型随机变量，称称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的概率密的概率密度。度。多维随机变量多维随机变量离散型离散型分布函数分布函数连续型连续型归一性归一性矩形概率矩形概率归一性归一性归一性P(X,Y) GEXEX: :随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答: PXPX 0=00=0