1第八章第八章 空间问题空间问题8-4 8-4 空间球对称问题空间球对称问题8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题8-2 8-2 直角坐标下的基本方程直角坐标下的基本方程8-1 8-1 概概 述述12 本章首先给出空间问题直角坐标下的平衡方程、几何方程和物理方程。针对空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到，我们着重讨论空间轴对称问题和空间球对称问题。8-1 8-1 概概 述述球对称问题轴对称问题xzyxzyP238-2 8-2 直角坐标下的基本方程直角坐标下的基本方程一 平衡微分方程 在物体内任意一点 P，取图示微小平行六面体。微小平行六面体各面上的应力分量如图所示。 若以连接六面体前后两面中心的直线为ab，则由 得化简并略去高阶微量，得34同理可得 这只是又一次证明了剪应力的互等关系。由 立出方程，经约简后得这就是空间直角坐标下的平衡微分方程。二 几何方程 在空间问题中，形变分量与位移分量应当满足下列 6 个几何方程其中的第一式、第二式和第六式已在平面问题中导出，其余三式可用相同的方法导出。45三 物理方程 对于各向同性体，形变分量与应力分量之间的关系如下： 这就是空间问题的物理方程。 将应力分量用应变分量表示，物理方程又可表示为：其中：56四 相容方程6 将几何方程第二式左边对z的二阶导数与第三式左边对y的二阶导数相加，得将几何方程第四式代入，得（a）同理（b）77 将几何方程中的后三式分别对x、y、z求导，得并由此而得88同理（d）方程(a)、(b)、(c)、(d)称为变形协调条件，也称相容方程。 将物理方程代入上述相容方程，并利用平衡微分方程简化后，得用应力分量表示的相容方程：即（c）99称其为密切尔相容方程。10 在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 根据轴对称的特点，应采用圆柱坐标 表示。若取对称轴为 z 轴，则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是 r 和 z 的函数，而与 坐标无关。 轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题1011一 平衡微分方程 取图示微元体。由于轴对称，在微元体的两个圆柱面上，只有正应力和的轴向剪应力；在两个水平面上只有正应力和径向剪应力；在两个垂直面上只有环向正应力，图示。 根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。注意：此时环向正应力的增量为零。 由径向和轴向平衡，并利用 ，经约简并略去高阶微量，得：1112 这就是轴对称问题的柱坐标平衡微分方程。二 几何方程 通过与平面问题及极坐标中同样的分析，可见，由径向位移引起的形变分量为：由轴向位移引起的形变分量为： 由叠加原理，即得空间轴对称问题的几何方程：1213三 物理方程 由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得物理方程： 应力分量用形变分量表示的物理方程：其中：1314四 轴对称问题的求解 将几何方程代入应力分量用应变分量表示的物理方程，得弹性方程：其中： 再将弹性方程代入平衡微分方程，并记：得到这就是按位移求解空间轴对称问题所需要的基本微分方程。 显然，上述基本微分方程中的位移分量是坐标r、z 的函数，不可能直接求解，为此介绍下列方法：1415五 位移势函数 为简单起见，不计体力。位移分量的基本微分方程简化为： 现在假设位移是有势的，把位移分量用位移势函数 表示为：从而有代入不计体力的基本微分方程，得即1516取 ，则 。即 为调和函数，由位移势函数求应力分量的表达式为： 这样，对于一个轴对称问题，如果找到适当的调和函数 ，使得由此给出的位移分量和应力分量能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。 为求解轴对称问题，拉甫引用一个位移函数注：并不是所有问题中的位移函数都是有势的。若位移势函数有势，则体积应变 。六 拉甫位移函数令其中1617 将上式代入不计体力位移分量基本微分方程，可见：即 是重调和函数，称为拉甫位移函数。由拉甫位移函数求应力分量的表达式为： 可见，对于一个轴对称问题，只须找到恰当的重调和的拉甫位移函数 ，使得该位移函数给出的位移分量和应力分量能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。1718七 举例：半空间体在边界上受法向集中力 设有半空间体，体力不计，在其边界上受有法向集中力，如图所示。试求其应力与位移。解：取坐标系如图。通过量纲分析，拉甫位移函数应是F乘以R、z、等长度坐标的正一次幂，试算后，设位移函数为根据位移分量和应力分量与位移函数的关系：xzyPRz1819可以求得位移分量和应力分量1920边界条件是(a)(b)根据圣维南原理，有(c)边界条件(a)是满足的。由边界条件(b)得(d)由条件(c)得(e)由(d)及(e)二式的联立求解，得2021将得出的A1及A2回代，得2122 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素，都对称于某一点（通过这一点的任意平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。 根据球对称的特点，应采用球坐标 表示。若以弹性体的对称点为坐标原点 ，则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标 r 的函数，而与其余两个坐标无关。 显然，球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球体中。8-4 8-4 空间球对称问题空间球对称问题2223一 平衡微分方程 取微元体。用相距 的两个圆球面和两两互成 角的两对径向平面，从弹性体割取一个微小六面体。由于球对称，各面上只有正应力，其应力情况如图所示。 由于对称性，微元体只有径向体积力 。由径向平衡，并考虑到 ，再略去高阶微量，即得球对称问题的平衡微分方程：2324二 几何方程 由于对称，只可能发生径向位移 ；又由于对称，只可能发生径向正应变 及切向正应变 ，不可能发生坐标方向的剪应变。球对称问题的几何方程为：三 物理方程 球对称问题的物理方程可直接根据虎克定律得来：将应力用应变表示为：242525四 位移法求解的基本微分方程 将几何方程代入物理方程，得弹性方程再代入平衡微分方程，得这就是按位移求解球对称问题时所需要用的基本微分方程。26五 举例：空心圆球受均布压力 设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。其解为得应力分量解： 由于体力不计，球对称问题的微分方程简化为xzy2627将边界条件代入上式解得于是得问题的径向位移应力表达式2728习题8.1 设有任意形状的等截面杆，密度为 上端悬挂。下端自由，如图所示。试证明应力分量能满足所有一切条件。zy解： 已知应力分量为体力分量为2829一 检验平衡微分方程显然满足。二. 检验相容性因为体力为常量，相容方程为：2930将应力分量代入，显然均能满足。三. 检验边界条件下端面：代入边界条件3031均满足。左、右侧面：前、后侧面：代入(a)式显然满足。 综上所述，所给应力分量满足平衡方程、相容方程及外力边界条件。3132习题8.2 试用Love应力函数 求解圆柱杆的两端受均匀分布作用的各应力分量。zxyL解： 首先检查应力函数是否满足相容条件对函数 进行求导，得3233显然应力分量3334应力分量中的常数由边界条件决定将应力表达式代入边界条件，得3435由式(7),(8)得将c1,c2代入应力分量表达式(1),(2),(3)和(4)，得35363637