*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七七章 高数数量积向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为沿与力夹角为的直线移动的直线移动,1. 定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作数量积数量积 (点积点积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, 位移为位移为 s , 则力则力F 所做的功为所做的功为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积记作记作故故2. 性质性质为两个非零向量为两个非零向量, 则有则有 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积3. 运算律运算律(1) 交换律交换律(2) 结合律结合律(3) 分配律分配律事实上事实上, 当当时时, 显然成立显然成立 ;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积例例1. 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理证证:则则如图如图 . 设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设则则当当为非零向量时为非零向量时, 由于由于两向量的夹角公式两向量的夹角公式 , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积例例2. 已知三点已知三点 AMB . 解解:则则求求故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点 , 有一个与杠杆夹角为有一个与杠杆夹角为符合右手规则符合右手规则矩是一个向量矩是一个向量 M :的力的力 F 作用在杠杆的作用在杠杆的 P点上点上 ,则力则力 F 作用在杠杆上的力作用在杠杆上的力机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积1. 定义定义定义定义向量向量方向方向 :(叉积叉积)记作记作且符合右手规则且符合右手规则模模 :向量积向量积 , 称称引例中的力矩引例中的力矩思考思考: 右图三角形面积右图三角形面积S机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积2. 性质性质为非零向量为非零向量, 则则3. 运算律运算律(2) 分配律分配律(3) 结合律结合律(证明略证明略)证明证明:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设设则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积例例4. 已知三点已知三点角形角形 ABC 的面积的面积 解解: 如图所示如图所示,求三求三机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积内容小结内容小结设设1. 向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:叉积叉积:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积2. 向量关系向量关系:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积思考与练习思考与练习1. 设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦 .答案答案:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高数数量积向量积