【考纲下载考纲下载】1.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理理.2.掌握斜线在平面上的射影的概念掌握斜线在平面上的射影的概念.3.掌握三垂线定理及其逆定理掌握三垂线定理及其逆定理.4.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.第第3 3讲讲 直线与平面垂直、平面与平面垂直直线与平面垂直、平面与平面垂直如果一条直线如果一条直线l和一个平面和一个平面内的内的直直线线都都垂垂直直，那那么么就就说说直直线线l和平面和平面互相垂直互相垂直.提提示示：定定义义中中的的“任任意意一一条条直直线线”这这一一词词语语，它它与与“所所有有直直线线”是是同同义义词词，与与“无数条直线无数条直线”不是同义词不是同义词.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条直直线线都都垂垂直直，那那么这条直线垂直于这个平面么这条直线垂直于这个平面.(2)性质定理：如果两条直线性质定理：如果两条直线于一个平面，那么这两条直线平行于一个平面，那么这两条直线平行.任意一条任意一条相交相交同垂直同垂直1.直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义2.直线和平面垂直的定理直线和平面垂直的定理【思思考考】 “垂垂直直于于同同一一平平面面的的两两条条直直线线互互相相平平行行”“垂垂直直于于同同一一直直线线的的两两个个平平面面互互相相平平行行”“垂垂直直于于同同一一直直线线的的两两条条直直线线互互相相平平行行”“垂直于同一平面的两个平面互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行”.以上四个命题，你说有几个正确的？以上四个命题，你说有几个正确的？答案答案：正确，正确，错误错误.3.三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它那么它也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的条斜线的垂直垂直.提示：提示：两个定理中包含以下要素：四线、三垂、一平面两个定理中包含以下要素：四线、三垂、一平面.其中面的垂线是核心，其中面的垂线是核心，有了面的垂线便可产生射影，这时三垂线定理或其逆定理就可以顺利运用了有了面的垂线便可产生射影，这时三垂线定理或其逆定理就可以顺利运用了.射影射影如果两个相交平面所成的二面角是如果两个相交平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直，就说这两个平面互相垂直(1)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平，那么这两个平面面互相垂直互相垂直(2)性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于 的的直线，垂直于另一个平面直线，垂直于另一个平面直角直角一条垂线一条垂线它们交线它们交线4平面和平面垂直的定义平面和平面垂直的定义5平面和平面垂直的定理平面和平面垂直的定理【思考思考】 你能用数学符号来表示这两个定理吗？你能用数学符号来表示这两个定理吗？答案答案：判定定理：判定定理：a，a.性质定理：性质定理：，a，b，bab.AnBn或或nCnDn或或n解析：解析：由由m或或m，当，当m时若时若nm，则，则n与与的位置的位置关系不确定，从而关系不确定，从而A、B两项不正确两项不正确若若n，又，又m，则，则mn，这与已知，这与已知mn矛盾故排除矛盾故排除C项项答案：答案：D1已知直线已知直线m、n和平面和平面、满足满足mn，m，则，则()则则“”是是“m”的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：由面面垂直的判定定理，知由面面垂直的判定定理，知m.答案：答案：B2(20092009山东卷山东卷)已知已知、表示两个不同的平面，表示两个不同的平面，m为平面为平面内的一条直线，内的一条直线，ABD平面平面CB1D1BAC1BDCAC1平面平面CB1D1D异面直线异面直线AD与与CB1所成的角为所成的角为60解析：解析：异面直线异面直线AD与与CB1所成的角为所成的角为45.答案：答案：D3.如图所示，如图所示，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是为正方体，下面结论错误的是()PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是其中正确的个数是_解析解析：如图所示：如图所示PAPC、PAPB，PCPB=P，PA平面平面PBC.又又BC平面平面PBC，PABC.同理同理PBAC、PCAB.但但AB不一定垂直于不一定垂直于BC.答案答案：3个个4P为为ABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：两两垂直，则下列命题：证明直线和平面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直证明直线和平面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直.在证明时要充分利用平面几何中的知识，以达到通过平面内的垂直关系证在证明时要充分利用平面几何中的知识，以达到通过平面内的垂直关系证明空间中的垂直关系的目的明空间中的垂直关系的目的.ACCD，ABC60，PAABBC，E是是PC的中点求证：的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面平面ABE.思维点拨：思维点拨：(1)先证先证CD平面平面PAC；(2)先证先证AE平面平面PCD，再证，再证PD平面平面ABE.【例例1】如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，ABAD，证明证明：(1)PA底面底面ABCD，CDPA，又又CDAC，PAACA，故故CD平面平面PAC，AE平面平面PAC，故，故CDAE.(2)PAABBC，ABC60，故，故PAAC.E是是PC的中点，故的中点，故AEPC.由由(1)知知CDAE，从而从而AE平面平面PCD，故，故AEPD.易知易知BAPD，故，故PD平面平面ABE.PC的中点的中点(1)求证：求证：MNCD；(2)若若PDA45，求证：，求证：MN平面平面PCD.证明证明：(1)连结连结AC，AN，BN，PA平面平面ABCD，PAAC，在在RtRtPACPAC中中，N为为PC中点中点，变式变式1 1：如图所示，已知：如图所示，已知PA矩形矩形ABCD所在平面，所在平面，M，N分别是分别是AB，AN=PC.PA平面平面ABCD，PABC，又又BCAB，PAAB=A，BC平面平面PAB，BCPB，从而在从而在RtPBC中中，BN为斜边为斜边PC上的中线，上的中线，BN=PC.AN=BN，ABN为等腰三角形，又为等腰三角形，又M为底边的中点，为底边的中点， MNAB，又又ABCD，MNCD.(2)连结连结PM、MC，PDA=45，PAAD，AP=AD.四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，AD=BC，PA=BC.又又M为为AB的中点，的中点，AM=BM.而而PAM=CBM=90，PM=CM.又又N为为PC的中点，的中点，MNPC.由由(1)知，知，MNCD，PCCD=C，MN平面平面PCD.证面面垂直的方法：证面面垂直的方法：(1)利用面面垂直的定义，即证明两平面所成的二面角为直二面角利用面面垂直的定义，即证明两平面所成的二面角为直二面角.(2)利利用用两两个个平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理，即即证证明明一一个个平平面面经经过过另另一一个个平平面面的的一一条条垂垂线线(a，a).面面BCD，ADB60，E、F分别是分别是AC、AD上的动点，且上的动点，且(1)求求证证：不：不论论为为何何值值，恒有平面，恒有平面BEF平面平面ABC；(2)当当为何值时，平面为何值时，平面BEF平面平面ACD?【例例2】如图所示，已知如图所示，已知BCD中中，BCD90，BCCD1，AB平平证明证明：(1)AB平面平面BCD，ABCD，又又CDBC且且ABBCB，CD平面平面 ABCABC. .(01)，不论不论为何值，恒有为何值，恒有EFCD，EF平面平面ABC，而，而EF平面平面BEF，不论不论为何值，恒有平面为何值，恒有平面 BEF平面平面ABC.(2)解解：由：由(1)知，知，BEEF，若平面，若平面BEF平面平面ACD，则，则BE平面平面ACD，故，故BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，BDAC 由由AB2AEAC，得，得AE故当故当时，平面时，平面BEF平面平面ACD.三垂线定理及其逆定理论所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直；三垂线定理及其逆定理论所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直；二是平面内一条直线与斜线的射影（或斜线）垂直；三是这条直线与斜线二是平面内一条直线与斜线的射影（或斜线）垂直；三是这条直线与斜线（或射影）垂直，构成定理的五个元素是（或射影）垂直，构成定理的五个元素是“一面四线一面四线”.运用三垂直定理及其运用三垂直定理及其逆定理的步骤是逆定理的步骤是:作出垂线作出垂线作出垂线作出垂线找到斜线找到斜线连成射影连成射影找面内线，其找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线关键是确定平面及平面的垂线.BC1，AA1 M是是CC1的中点，求证：的中点，求证：AB1A1M.【例例3】已知直三棱柱已知直三棱柱ABCA1B1C1中中，ACB90，BAC30，思维点拨思维点拨：如图所示，直线如图所示，直线AB1与直线与直线A1M是异面直线，是异面直线，因此可以考虑用三垂线定理或逆定理来证明因此可以考虑用三垂线定理或逆定理来证明.证明证明：如题图所示，连结如题图所示，连结AC1，交交A1M于于D，ABCA1B1C1是直棱柱是直棱柱，且且ACB90，B1C1C1A1，B1C1CC1，B1C1平面平面AA1C1C，AC1是是AB1在平面在平面AA1C1C内的射影内的射影.在在RtABC中，中，BAC30，BC1，AC从而从而A1C1tanAC1A1tanA1MC1A1C1AA1MC1， AC1A1DC1M90，A1MC1DC1M90，A1MAC1，又又A1M平面平面AA1C1C，AB1A1M.垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是每垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是每年高考必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直接考查垂直和年高考必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样，因此，在平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样，因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力、平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力、逻辑思维能力及语言表达能力的训练逻辑思维能力及语言表达能力的训练.【例例4】(20092009江苏江苏)如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中中，E、F分别分别是是A1B，A1C的中点，点的中点，点D在在B1C1上上，A1DB1C.求证求证：(1)EF平面平面ABC；(2)平面平面A1FD平面平面BB1C1C.思维点拨思维点拨：(1)先证先证EFBC，再证，再证EF平面平面ABC；(2)先证先证A1D平面平面BB1C1C.证明证明：(1)由由E，F分别是分别是A1B，A1C的中点知的中点知EFBC，因为因为EF 平面平面ABC，BC平面平面ABC，所以所以EF平面平面ABC.(2)由三棱柱由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知为直三棱柱知CC1平面平面A1B1C1，又，又A1D平面平面A1B1C1，故故CC1A1D.又因为又因为A1DB1C，CC1B1CC，CC1，B1C平面平面BB1C1C，故故A1D平面平面BB1C1C.又又A1D平面平面A1FD，所以平面，所以平面A1FD平面平面BB1C1C.变式变式4 4：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点中，点D在边在边BC上上，ADC1D.(1)求证：求证：AD平面平面BCC1B1；(2)设设E是是B1C1上的一点，当上的一点，当的值为多少时，的值为多少时，A1E平面平面ADC1？请给出证明？请给出证明.证明：证明：(1)在正三棱柱中在正三棱柱中，CC1平面平面ABC，AD平面平面ABC，ADCC1.又又ADC1D，CC1交交C1D于于C1，且，且CC1和和C1D都在平面都在平面BCC1B1内，内，AD平面平面BCC1B1.(2)解解：由：由(1)得得ADBC.在正三角形在正三角形ABC中，中，D是是BC的中点的中点.当当即即E为为B1C1的中点时，的中点时，A1E平面平面ADC1.在正三棱柱在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形中，四边形BCC1B1是矩形，且是矩形，且D、E分别是分别是BC、B1C1的中点，的中点，B1BDE，B1BDE.又又B1BAA1，且，且B1BAA1，DEAA1，且，且DEAA1.四边形四边形ADEA1为平行四边形，为平行四边形，A1EAD.而而A1E 平面平面ADC1，故，故A1E平面平面ADC1.【方法规律方法规律】1.垂直关系的转化垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决中不存在，则可通过作辅助线来解决. .如有平面垂直时，一般要用性质定理，在如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. .故熟练掌握故熟练掌握“线线垂直线线垂直”、“面面垂直面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键间的转化条件是解决这类问题的关键. .(1)两个定理中两个定理中“平面内平面内”，这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步，这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明证明.(2)两个定理的区别：两个定理的区别：从从两两个个定定理理的的条条件件和和结结论论上上区区分分，三三垂垂线线定定理理是是“线线与与射射影影垂垂直直线线与与斜斜线线垂垂直直”，逆定理相反，逆定理相反.从从两两个个定定理理的的作作用用上上区区分分，三三垂垂线线定定理理解解决决已已知知共共面面直直线线垂垂直直，证证明明异异面面直直线垂直，逆定理相反线垂直，逆定理相反.利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线平面的垂线”“平面的斜线平面的斜线”“斜线的射影斜线的射影”.2.应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：(12分分)在棱长为在棱长为2的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别为分别为DD1、DB的中点的中点.(1)求证：求证：EF平面平面ABC1D1；(2)求证：求证：EFB1C.证明证明：(1)连结连结BD1，如图所示，在，如图所示，在DD1B中中，E、F分别为分别为DD1，DB的中点，则的中点，则【规范解答规范解答】EF平面平面ABC1D1.6分分(2)EFB1C.12分分【易入误区易入误区】(1)推推理理论论证证不不严严谨谨，在在使使用用线线面面位位置置关关系系的的判判定定定定理理、性性质质定定理理时时忽忽视视定定理理的使用条件，如由的使用条件，如由EFD1B就直接得出就直接得出EF平面平面ABC1D1；(2)线线面面位位置置关关系系的的证证明明思思路路出出错错，如如本本题题第第(2)问问的的证证明明，缺缺乏乏转转化化的的思思想想意意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误.【状元笔记状元笔记】证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的.解这类解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.