5.2 5.2 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理假假设独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理定理四定理四定理四定理四 p147 p147 p147 p147设X1,X2, Xn , X1,X2, Xn , 相互独立，相互独立， 且服从同一分布，且服从同一分布，具有期望和方差具有期望和方差那么那么定理四中定理四中“同分布的条件不易同分布的条件不易满足足那么把此条件去掉，保管它那么把此条件去掉，保管它们相互独立，相互独立，并有有限的期望并有有限的期望和方差。和方差。 当它当它们的的总和和当当 n n 充分大充分大时就近似服从就近似服从正正态分布。分布。( (棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理的分布近似正的分布近似正态分布分布定理六定理六定理六定理六设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为的二的二项分布分布那么对恣意的那么对恣意的 ，有，有定理定理阐明，当明，当n n 很大，很大，0 p 1 0 p 105) P(V105)的近似的近似值。例例5 5 一消费线消费的产品成箱包装，每箱的分量是随机一消费线消费的产品成箱包装，每箱的分量是随机的的. .假设每箱平均重假设每箱平均重5050千克，规范差为千克，规范差为5 5千克千克. .假设用最大假设用最大载分量为载分量为5 5吨的汽车装运，试利用中心极限定理阐明每辆吨的汽车装运，试利用中心极限定理阐明每辆车最多可以装多少箱，才干保证不超载的概率大于车最多可以装多少箱，才干保证不超载的概率大于0.977.0.977. 解解 设 Xi Xi ，i=1,2,n i=1,2,n 是装运的第是装运的第i i 箱分量箱分量( (单位位: :千克千克), ), n n 箱的箱的总分量分量为n n是所求箱数是所求箱数. . 可将可将Xi Xi ，i=1,2,n i=1,2,n 视为独立同分布的随机独立同分布的随机变量量. .故故解得解得即一即一辆车最多可以装最多可以装9898箱箱. .由独立同分布中心极限定理知，由独立同分布中心极限定理知，Tn Tn 近似服从正近似服从正态分布分布 . .例例6 6 一船舶在某海区航行，知每蒙受一次波浪一船舶在某海区航行，知每蒙受一次波浪的冲的冲击，纵摇角大于角大于33的概率的概率为 p = 1/3 p = 1/3，假，假设船舶蒙受了船舶蒙受了9000090000次波浪冲次波浪冲击，问其中有其中有 29600 30500 29600 30500 次次纵摇角大于角大于33的概率是多少的概率是多少？解解 假定船舶蒙受波浪的各次冲假定船舶蒙受波浪的各次冲击是独立的，是独立的，记 X X 为9000090000次冲次冲击下下纵摇角大于角大于33的次数，的次数，故有故有 所求事件的概率所求事件的概率为课堂练习：对于一个学生而言，来参与家长课堂练习：对于一个学生而言，来参与家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、无家长、1 1名家长、名家长、2 2名家长来参与会议的概名家长来参与会议的概率为率为0.05 , 0.8, 0.15. 0.05 , 0.8, 0.15. 假设学校共有假设学校共有400400名家长，设各学生参与会议的家长数相对名家长，设各学生参与会议的家长数相对独立，且服从同一分布：独立，且服从同一分布：1 1求参与会议的家长数求参与会议的家长数X X超越超越450450的概率的概率2 2求有求有1 1名家长来参与会议的学生数不多名家长来参与会议的学生数不多于于340340的概率。的概率。练习 p 154 5, 6,7 8, 9