因式分解 知识回顾例1: 今天植树节，光明初中的三个班组织去公园植树，在分配的植树任务中，三个班分别植树如图所示，问：三个班共植树多少面积？ax y z 什么是因式分解？多项式 整式的乘积形式 和和 差差积积因式分解整式乘法解题的基本步骤解题的基本步骤判断是否能提取公因式两项式考虑平方差公式三项式：（1）完全平方式 （2）十字相乘法四项及四项以上运用分组分解法例题：例题：（1）3x+3y （2）9x2-4y2 （3） x2-4x+4（4）ab-b-a+1因式分解的主要方法一、提取公因式例1： 根据以下多项式，寻找出公因式（1）3x+3y （2） 9x2-3xy （3）-x3y2+3xy2-xy（4） x(x-y)2-y(x-y)思路： 1、取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因式； 2、各项中的相同字母（或多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们的最低次幂练习题将以下多项式进行因式分解：（1）7x+7y （2） 4xy-8x2 （3）x4y3+6xy-x2y4 （4） x(x-y)3-y(x-y) （5）16x4-x （6）3m(a-b)-9n(b-a)（7）8m2n-24mn2 （8）3x2-6xy+x二、公式法常见的公式：例1：根据以下多项式，运用公式法分解因式。（1）x2-2xy+y2 （2） 9x2-4y2 （3） x2-4xy+4y2例2：以下多项式中，不能用公式法分解因式的是（ ）。A.y4-8y2+16 B.a2-b2C. -16a2+b2 D. 4y2-12y+9练习题将以下多项式进行因式分解：（1）9x2-4y2 （2） x2-4xy+4y2（3）x4-x2y2 （4）(x-y) 2-4(x-y)+4 （5）x4-8x2 +16 （6）3m(a-b)-9n(b-a)（7）9m2n2-6mn+1（8）-4x2+1三、十字相乘法例1：根据以下多项式，运用十字相乘法分解因式。（1）x2-5x+6 （2） x2+7x+10 （3） 5x2-27x+10 (1)对于二次项系数为l的二次三项式 x2+px+q，当能找到a、b两数满足a+b=p，ab=q时，则 x2+px+q =(x+a)(x+b) (2)对于一般的二元三项式 ax2+bx+c（a0），当能找到a1、a2、c1、c2 满足a1a2=a，c1c2=c1，ac2+a2c1=b时，则ax2+bx+c = (a1x+c1)(a2x+c2) 注意：十字相乘法中，先不要讲符号，就看数字，看是否能得出练习题将以下多项式进行因式分解：（1）x2-7x+10 （2）x2-4xy-12y2（3）x4+6x2-27（4）(x-y) 2-3(x-y)+2 （5）y4-8y2 +15 （6）3y2-8y+4（7）9m2n2-10mn+1（8）-4x2+5x-1四、分组分解法例1：试将以下多项式进行因式分解。（1）x2-4x+4-y2 （2）x2-4x-y2-6y-5（3）ab-b-a+1 （4）x3-3x2+x-3思路： （1）把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。 （2）分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。 练习题将以下多项式进行因式分解：（1）9x2-4y2-3x+2y （2） x2-4xy+4y2-1 （3）x4+6x2y2+9y4 -4 （4）(x-y) 2-4(x-y)+4-m2 （5）y2-x4+8x2-16 （6）ab+a-b-1（7）9m2n2-6mn+1-m2（8）-4x2+4x+1+y2解题的基本步骤解题的基本步骤判断是否能提取公因式两项式考虑平方差公式三项式：（1）完全平方式 （2）十字相乘法四项及四项以上运用分组分解法综合练习例1：试将以下多项式进行因式分解，并说明运用的是何种因式分解方法。 （1）a3a22a （2） x4-4x3+4x2-1（3）2x23x1 （4） 1a22abb2（5） x32xyxxy2 （6） an+14an4an-1思考以下几道例题：例1：试将以下多项式进行因式分解。 （1） a44 （2）(xy)(xy1)12（3）(a2a)24(a2a)4 （4） x4+x2y2+y4（5） x35x2+12这几题能直接通过上述方法进行因式分解吗？拓展方法：一、换元法（整体法） （1）(xy)(xy1)12 当A=x+y时，原式变成？ 原式=A(A-1)-12 =A2-A-12（2）(a2a)24(a2a)4 当x=a2a时，原式变成？ 原式=x2-4x+4 二、添项拆项法 （1） x4+x2+1 上式能否出现完全平方式，缺少了什么？ 原式= x4+2x2+1-x2 =(x2+1)2-x2（2） x4+x2y2+y4 出现x4、x2y2、y4，我们马上要想到什么？ 原式= x4+2x2y2+y4-x2y2 三、待定系数法 （1） 2x2+3xy9y2+14x3y+20 上式中，我们可以知道2x2+3xy9y2=（2x3y）(x+3y) 可设原式= （2x3y+a）(x+3y+b) a+2b=14 3a-3b=-3 练习： a2+b2+4a-4b-2ab+4四、因式定理法 例1：x35x2+12 思路：假设x35x2+12=0 那么，如何找到（x-a）中这个a呢？ 当x=a时，f(a)=0时，则多项式f(x)有一次因式为x-a。若两个多项式相等，则它们的同类项系数相等。（1）将用常数项12的约数分别带入多项式，若值为0，则可找到一次因数（2）然后用除法或待定系数法练习： x35x2+9x6试想：当多项式最高次项的系数不为1时，能直接将常数项的约数带入原式吗？ 例1： 2x313x2+3 思路：假设2x313x2+3=0 那么，如何找到（x-a）中这个a呢？ 用最高次项的系数的约数，分别去除常数项的约数，将得到的商分别带入原式，当值为0时，即能找到原式的一次因式注意n为偶数 ，（x-y）n= (y-x)nn为奇数 ，（x-y）n= -(y-x)n （1）若a-3b=-5，a+b=15，求多项式a2-2ab-3b2的值。（2）对下列多项式进行因式分解。 4a(x-y)2-2b(y-x)2+(y-x)； a2(b2-c2)-c2(b-c)(a+b)； a2-4b2-4c2-8bc； x4+x22ax a+1；（3）已知 x2+y2+2z2-2x+4y+4z+7=0，求xyz的值。（4）已知x(x-1)-(x2-y)=-3 ，求x2+y2-2xy 的值。（5）如果ax2+24x+b=(mx-3)2,求a、b、m的值。（6）先化简，再求值：y(x+y)+(x-y) 2-x2-2y2，其中x=-1/3，y=3。 强化练习谢谢！