第一章第一章 抽样和抽样分布抽样和抽样分布1.1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值设子样值x1,x2,xn的平均数的平均数 为和方差为为和方差为作变换作变换 ，得到，得到y1,y2,yn,它的平均它的平均数为数为 和方差为和方差为 。试证：。试证： 。解：由变换解：由变换 ，即，即12.在在五五块块条条件件基基本本相相同同的的田田地地上上种种植植某某种种农农作作物物，亩亩产产量量分分别别为为92，94，103，105，106（单单位位：斤斤），求求子子样样平平均均数数和和子子样样方方差。差。解：作变换解：作变换3.3.设设X1,X2,Xn是参数为的泊松分布的母体是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求的一个子样，是子样平均数，试求E和和D。解：解：4.4.设设X1,X2,Xn是区间（是区间（-1，1）上均匀分）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。均值和方差。解：解：5.5.设设X1,X2,Xn是分布为的正态母体的一个是分布为的正态母体的一个子样，求子样，求 的概率分布。的概率分布。解：解：由 分布定义 ，Y服从自由度为n的 分布。 16.设设母母体体X具具有有正正态态分分布布N(0,1)，从从此此母母体体中中取取一一容容量量为为6的的子子样样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又又设设。试试决决定定常常数数C,使使得随机变量得随机变量CY服从服从分布。分布。解：解：亦服从N(0,3)且与Z1相互独立， 且与 相互独立。由 分布可加性， 7.7.已知已知 ，求证，求证证明：令证明：令8设母体 ,从中抽取容量n的样本 求（1）n=36时， 解： （2）n=64时，求 解：第二章第二章参数估计参数估计1.1.设母体设母体X具有负指数分布，它的分布密度具有负指数分布，它的分布密度为为f(x)=其中其中 。试用矩法求的估计量。试用矩法求的估计量。解：解：f(x)=（）用样本 估计Ex，则有 12.设母体设母体X具有几何分布具有几何分布,它的分布列为它的分布列为PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2,先先用用矩矩法法求求p的的估估计计量量,再再求求p的的最最大大似似然然估估计计.解解:(1)矩法估计矩法估计(2)极大似然估计极大似然估计13.设设母母体体X具具有有在在区区间间a,b上上的的均均匀匀分分布布,其分布密度为其分布密度为f(x)=其其中中a,b是是未未知知参参数数,试试用用矩矩法法求求a与与b的的估估计计量量.解解:用用 和和 分别估计分别估计EX和和DX得得14.设母体设母体X的分布密度为的分布密度为f(x)=其中其中(1)求求的最大似然估计量的最大似然估计量; (2) (2)用矩法求用矩法求 的估计量的估计量. 解解:( )1最大似然估计最大似然估计2矩法估计用 估计EX 5.设母体X的密度为试求 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计.解：得 是 的无偏估计.6.设母体X具有分布密度 f(x)= 其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量. 解:似然函数 7.设母体X具有均匀分布密度 ,从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值. 解: ， 的最大似然估计 8.设母体X的分布密度为 f(x)=试求 的最大似然估计。解：似然函数为了使L达到最大， ，尽可能小，尽可能大，而12设母体X服从正态分布 是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）（2）（3）都是 的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：同理： 都是 的无偏估计。方差最小为有效对形如13.设X1,X2,Xn是具有泊松分布 母体的一个子样。试验证：子样方差 是 的无偏估计；并且对任一值也是 的无偏估计，此处 为子样的平均数解：14 .设X1,X2,Xn为母体 的一个子样。试选择适当常数C,使 为 的无偏估计。解：18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100, 小时,s=40小时用 估计 ,构造函数给定置信概率 ,有即整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.2,1007.8)小时.19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数 的置信概率为90%的置信区间 ：（1）若已知（2）若 未知。解：n=16,(1)若已知 ，构造函数给定置信概率90%，有即（2）若 未知构造函数给定置信概率90%，查得 ，有母体平均数 的置信概率为90%的置信区间为 ，即（2.1250.0075）21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，构造函数给定置信概率95%，有即故p的置信概率为95%的置信区间为（0.250.11）22.对于方差 为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数 的置信概率为 的置信区间的长度不大于L?解：构造函数给定置信概率 ，有 ，使即置信区间长度 23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差 的数值。设（1）n=10, =5.1(2)n=46, =14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。解：（1）n=10,用 估计 ,构造函数 给定置信概率 =99%,查表得使母体 的置信概率为0.99的置信区间是即(3.150,11.62)(2)n=46, 时,所求的置信区间是即(10.979,19.047)25.设母体X服从正态分布 , 和 是子样X1,X2,Xn的平均数和方差; 又设 ,且与X1,X2,Xn独立,试求统计量 的抽样分布.解:,又 服从正态分布,故 , 又与独立根据t分布定义26.设X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分别是从分布为 两个母体中抽取的独立随机子样, 分别表示X和Y的子样平均数, 和 分别表示X和Y的子样方差.对任意两个固定实数 和 ,试求随机变量的概率分布.解: 是正态变量线性组合,仍服从正态分布.又且相互独立由 分布可加性 ,且与独立根据t分布定义27.从正态母体中抽取一个n45的大子样,利用第一章2.2中 分布的性质3,证明方差的置信区间(给定置信概率为 )是证明:对正态母体 的置信概率为 的置信区间是当n45时,(1)代入(1)式,即证毕.29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:设测试数据分别具有分布和.试求 的置信概率为95%的置信区间.解:,构造函数给定置信概率95%,查得 ,使所求置信下限为:置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736 (-0.00076,0.00736)为 的置信概率为95%的置信区间.31.两台机床加工同一种零件,分别抽取6个和9个零件,测得其长度计算得假定各台机床零件长度服从正态分布.试求两个母体方差之比 的置信区间(给定置信概率为95%).解:构造函数给定置信概率 ,有查表所求置信区间的置信下限为置信上限为34.从一批某种型号电子管中抽出容量为10的子样,计算得标准差 (小时).设整批电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命标准差 的单侧置信上限(置信概率为95%).解:n=10, (小时)构造函数给定置信概率95%,查,使即故所求 的置信概率为95%的置信上限为第三章第三章 假设检验假设检验1.从已知标准差 的正态母体中,抽取容量为n=16的子样,由它算得子样平均数 .试在显著水平0.05下,检验假设H0:解:1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量3.给定显著水平 ,有 ,使即4.由样本n=16,代入接受H02.从正态母体 中取100个样品,计算得(1)试检验H0:(2)计算上述检验在 时犯第二类错误的概率.是否成立解 : (1)1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量3.给定显著水平 ,有 ,使即代入拒绝H0(2)真实 时,3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布。问在下 能否接受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。解：设 ， 未知，计算 .252， =0.013。（1）建立假设 ：（2）在假设成立的前提下，构造统计量 （3）给定 ,查得 =4.6041（4）由样本计算， = =0.34 =5p建立假设 ：母体X的分布律为上述分布律在 成立的前提下，构造统计量给定显著水平 ，查得方差分析习题方差分析习题1.为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值 作变换 ，其中b、c是常数，且 。试用 表示组内离差和组间离差，并用他们表示F的值。解： 由第一章习题3可知 组内离差 组间离差 2.有四个厂生产1.5伏的3号电池。现从每个工厂产品中各取一子样，测量其寿命得到数值如下：生产厂 干电池寿命（小时） A24.7 ，24.3，21.6，19.3，20.3 B30.8，19.0，18.8，29.7 C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1问四个厂干电池寿命有无显著差异（ ）？解：1.建立假设 ： 四个水平下母体 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 来源 离差平方和 自由度均方离差 F组间r-1=320.230.5366组内n-r=1637.7总和 663.9 F1,接受 ，四个厂的干电池寿命无显著差异3.抽查某地区三所小学五年级男学生的身高，得如下数据：小学身高数据（厘米）第一小学128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小学150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，155.8第三小学140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.4试问该地区三所小学五年级男学生的平均身高是否有显著差异（ ）？解： ，I=1,2,3 1.建立假设 ： 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 来源 离差平方和 自由度均方离差 F组间r-1=2233.084.375组内n-r=1553.28总和 ， 所以拒绝 ，认为三所小学五年级男生平均身高有显著差异4.在一元方差分析中， ，而 ，试求 的无偏估计量及其方差。 解：在第i水平下 , 估计量为 而总的平均 的估计量为 的估计量为 是无偏的 1.通过原点的一元回归的线形模型为 其中各 相互独立，并且都服从正态分布 。试由n组观察值 ，用最小二乘法估计 ，并用矩法估计回归分析习题回归分析习题解 ： ； 的矩法估计 2.在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100ml的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下： 从经验和理论知之间有下述关系式 其中各 相互独立，并且都服从正态分布 。使用最小二乘法估计参数，并且用矩法估计 。温度0410 15 21 19 365168重量66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1解：列表计算066.7004448.9471.01628450411076.31007635821.71580.622512096496.42185.74411799.7 7344.52992.98412694.1 8630.43699.412963578.4 9880.451113.626015793.6 1290568125.146268506.8 15650234811.310144 24628.676218.3矩法估计3.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与光系数读数的结果如下： 已知他们之间有关系式其中 ，且各 相互独立，试求 的最小二乘法估计，并在显著水平0.05下检验是否为38。尿汞含量246810消光系数64138205285360解：1.列表计算264412840964138165521904462053612304202582856422808122510360100360012960030105222077902759902.建立假设 ：在 成立前提下构造统计量，给定显著水平 ，查 ，使计算|T|=0.846接受 ，