上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、两向量的向量积一、两向量的数量积7.2 数量积 向量积上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、两向量的数量积 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 以s表示位移 数量积的物理背景 由物理学知道 力F所作的功为W|F|s|cos 其中 为F与s的夹角 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 对于两个向量a和b 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即ab|a|b|cos v数量积的定义 根据数量积 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积 即WFs 一、两向量的数量积上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology数量积与投影 由于|b|cos|b|cos(a b) 当a0时 |b|cos(a b)是向量b在向量a的方向上的投影 于是ab|a|Prjab 同理 当b0时 ab|b|Prjba 所以 对于两个向量a和b 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即ab|a|b|cos v数量积的定义 一、两向量的数量积上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv数量积的性质 (1) aa|a|2 (2) 对于两个非零向量 a、b 如果 ab0 则 ab; 反之 如果ab 则ab0 如果认为零向量与任何向量都垂直 则abab0 对于两个向量a和b 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即ab|a|b|cos v数量积的定义 一、两向量的数量积上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv数量积的运算律 (1)交换律 abba; (2)分配律 (ab)cacbc (3)(a)ba(b)(ab) (a)(b)(ab) 其中、为数 对于两个向量a和b 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即ab|a|b|cos v数量积的定义 一、两向量的数量积上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例1 试用向量证明三角形的余弦定理要证c2a2b22abcos 则有 cab 从而 |c|2cc(ab)(ab) aabb2ab |a|2|b|22|a|b|cos(a b) 即 c2a2b22abcos 证明 在ABC中 BCA |CB|a |CA|b |AB|c上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示：v数量积的坐标表示 aaxiay jazk bbxiby jbzk ab(axiay jazk)(bxiby jbzk) axbxiiaxbyijaxbzik aybx jiayby jjaybz jk azbxkiazbykjazbzkk axbxaybyazbz abaxbxaybyazbz 设a(ax ay az ) b(bx by bz ) 则 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv数量积的坐标表示abaxbxaybyazbz 设a(ax ay az ) a(bx by bz ) 则 设(a b) 则当a0、b0时 有 v向量夹角余弦的坐标表示 提示 a b|a|b|cos 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例2 已知三点M(1 1 1)、A(2 2 1)和B(2 1 2) 求AMB 从M到A的向量记为a 从M到B的向量记为b 则AMB 就是向量a与b的夹角 2011|222a 2101|222b因为 ab1110011 b(2 1 2) (1 1 1)a(2 2 1) (1 1 1)(1 1 0) (1 0 1) 解 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology从而 所求液体的质量为 PrAvn体积为 A|v|cosAvn 这柱体的高为 |v|cos 解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体 例3 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A n为垂直于A的单位向量 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为r)上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、两向量的向量积 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出 c的模|c|a|b|sin(a b); c的方向垂直于a与b所决定的平面 c的指向按右手规则从a转向b来确定 v向量积的定义右手规则 那么 向量c叫做向量a与b的向量积 记作ab 即cab 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv向量积的定义二、两向量的向量积 向量a与b的向量积cab |c|a|b|sin(ab); c的方向垂直于a与b所决定的平面 c的指向按右手规则从a转向b来确定 v向量积的性质 (1) aa0; (2) 对于两个非零向量a、b 如果ab0 则a/b; 反之 如果a/b 则ab0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a/bab0 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 在空间直角坐标系中 iijjkk? ij? jk? ki? (1) 交换律 abba; (2) 分配律 (ab)cacbc; (3) (a)ba(b)(ab)(为数) v向量积的运算律讨论：提示： iijjkk0 ijk jki kij上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv向量积的坐标表示 设aaxiay jazk bbxiby jbzk 则提示： ab (aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k azbxkiazbykj ab(axiay jaz k)(bxiby jbzk)axbyijaxbzik aybx jiaybz jk(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k iijjkk0 ijk jki kij上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyaybziazbx jaxbykaybxkaxbz jazbyi 利用三阶行列式符号 上式可写成 记忆方法 (aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)kv向量积的坐标表示 设aaxiay jazk bbxiby jbzk 则 ab (aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例4 设a 2i 3j k b i j 3k , 计算ab . . 设aaxiay jazk bbxiby jbzk 则(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k 解 : 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 : : 例5 已知 求OAB的面积 根据向量积的几何意义 表示以 和 为邻边的平行四边形的面积 于是OAB的面积为 因为 所以三角形OAB的面积为 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示： 例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转 计算刚体上一点M的线速度 刚体绕l轴旋转时 我们可以用在l轴上的一个向量w w表示角速度 它的大小等于角速度的大小 它的方向由右手规则定出 即以右手握住l轴 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时 大姆指的指向就是w w的方向 解 轴上任取一点O作向量r 并以 表示 设点M到旋转轴l的距离为a 再在lw w与r的夹角 那么上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology设线速度为v 那么由物理学可知 |v|w w|a|w w|r|sin ; a|r|sin v垂直于w w与r 且v的指向是使w w、r、v符合右手规则 因此有vw wr 例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转 计算刚体上一点M的线速度 解 轴上任取一点O作向量r 并以 表示 设点M到旋转轴l的距离为a 再在lw w与r的夹角 那么上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）小结