OO相交相交O相切相切相离相离复习复习1 1：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系rrrdddn直线和圆相交直线和圆相交d r;复习复习2： 1、切线的判定定理是什么？、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么、切线的性质定理是什么 3、角平分线的性质是什么？、角平分线的性质是什么？ 4、什么叫三角形的外接圆和外心？、什么叫三角形的外接圆和外心？外心是三角形什么的交点？外心是三角形什么的交点？ 我们知道我们知道，过圆上一点可以过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？点可以作圆的几条切线呢？ 探究：oop1.连结连结OP2.以以OP为直径作为直径作 O， 与与 O交于交于A、B两点。两点。AB即直线即直线PA、PB为为 O的切线的切线 如图，已知如图，已知 O外一点外一点P，你能用尺规过点，你能用尺规过点P作作 O的切线吗？的切线吗？通过作图你能发现什么呢？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点点A和点和点B关于直线关于直线OP对称对称经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，的长，叫做这点到圆的切线长。叫做这点到圆的切线长。切线长是切线长是一条线段一条线段切线是直线，不能度量；切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。分别是圆外一点和切点，可以度量。OPABopAB如图，如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点。如果连结为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的，图中的PA与与PB，APO与与BPO有什么关系？有什么关系？ PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点OAPA，OBPB又又OAOB，OPOPRtAOP RtBOPPAPB，APOBPO切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。opAB PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点PAPB，APOBPO如图，若连接如图，若连接AB，则，则OP与与AB有什么关系？有什么关系？ PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点PAPB，APOBPOOPAB，且，且OP平分平分ABCD从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。成的弧。AD与与BD相等吗？相等吗？例1已知已知，如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.（3）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径求半径 OA 的长的长.AOCDPBE解：解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCAOCB ACPBCP.(3) 设设 OA = x cm , 则则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得解得 x = 3 cm 所以，半径所以，半径 OA 的长为的长为 3 cm. POABc如图，如图，P为为 O 外一点，外一点， PA、PB分别切分别切 O于于A、B两点，两点，OP交交 O于于C，若，若PA6，PC2 ，求，求 O的半径的半径OA及及两切线两切线PA、PB的夹角。的夹角。解：解：连接连接OA、AC，则，则OAAP在在RtAOP中，设中，设OAx则则OP x2OA2PA2OP2即即 x262（x2 ）2解得解得x2 ，即，即OAOC2 OP4 在在Rt AOP中，中，OP2OAAPO30 PA、PB是是O的切线的切线APB2 APO60O的半径为的半径为2 ，两切，两切线的夹角为线的夹角为60ABCDEO21例2如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，B90，O是是AB上一点，以上一点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点E，交，交AC与点与点D。求证：。求证：DEOC证明：连接证明：连接，为，为 的半径的半径是是 的切线的切线D是是 的切线，是切点的切线，是切点，是是 的直径的直径，即，即如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？可能大呢？ABCABCMDNI与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内三角形的内三角形的内三角形的内切圆；切圆；切圆；切圆；三角形内切圆的圆心是三角形三条三角形内切圆的圆心是三角形三条三角形内切圆的圆心是三角形三条三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点角平分线的交点角平分线的交点角平分线的交点, ,叫做叫做叫做叫做三角形的内心；三角形的内心；三角形的内心；三角形的内心；这个这个这个这个三角形叫做三角形叫做三角形叫做三角形叫做圆的外切三角形。圆的外切三角形。圆的外切三角形。圆的外切三角形。1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。o外接圆圆心：外接圆圆心：三角形三边垂三角形三边垂直平分线的交点直平分线的交点。外接圆的半径：外接圆的半径：交点到三角交点到三角形任意一个顶点的距离。形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个内角平三角形三个内角平分线的交点。分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三角形任交点到三角形任意一边的垂直距离。意一边的垂直距离。AABBCC例例1 ABCABC的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆 O O与与与与BCBC、CACA、ABAB分别相切于分别相切于分别相切于分别相切于 点点点点D D、E E、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm， 求求求求AFAF、BDBD、CECE的长的长的长的长. .解解:设设设设AF=x(cm), BD=y(cm),CEAF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm)z(cm) AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). O O与与与与ABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切AFAFAE,BDAE,BDBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xy y9 9y yz z1414x xz z1313解得解得解得解得x x4 4y y5 5z z9 9例例2. 如图，四边形如图，四边形ABCD的边的边 AB、BC、CD、DA和和 O分别相切于分别相切于L、M、N、P。（1）图中有几对相等的线段？）图中有几对相等的线段？ADLMNPOCB（2 2）由此你能发现什么结论）由此你能发现什么结论？ 为什么？为什么？解：解： AB，BC，CD，DA都与都与 O相切，相切，L，M，N，P是切点，是切点，AL=AP，LB=MB， DN=DP，NC=MCAL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC即即 AB+ CD = AD+BC圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）（可做定理用）PABO1 1、已知、已知OO的半径为的半径为3cm3cm，点，点P P和圆心和圆心O O的距离为的距离为6cm6cm，经过点，经过点P P有有OO的两条切线，则切线长的两条切线，则切线长为为_cm_cm。这两条切线的夹。这两条切线的夹角为角为_度。度。60练练 习：习：2 2、已知、已知圆外切四边形圆外切四边形ABCD中，中，AB：BC：CD=4：3：2，它的周长为，它的周长为24cm。则。则AB= ，BC= ；CD= ，DA= 。ADOCB8cm6cm4cm6cmBDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r, ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算ABCabcrr =a+b-c2练习：练习：直角三角形的两直角边分直角三角形的两直角边分别是别是5cm5cm，12cm 12cm 则其内切圆的半则其内切圆的半径为径为_。探究探究 直角三角形的两直角边分别直角三角形的两直角边分别是是a a，b b ，斜边是，斜边是c,c,则其内切圆的半径则其内切圆的半径r r与与三边的三边的关系关系是什么？是什么？2cm2cm.ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O为为RtABC的内切圆的内切圆. 求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD= AD= x x , BE= , BE= y y ,CE ,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababcABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4, O为为RtABC的内切圆的内切圆. （1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 . （2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD= AD= x x , BE= , BE= y y ,CE ,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr r4 4y yr r3 3x xy y5 5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4, 4, ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，CDCDCECEODOD RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2）如图所示，设与）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与相切的最大圆与BC、AC的切点分别为的切点分别为B、D,连结连结OB、OD,则四边形则四边形BODC为正方形。为正方形。ABODCOBBC3半径半径r的取值范围为的取值范围为0r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。练习：练习：1. 1.既有外接圆既有外接圆既有外接圆既有外接圆, ,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2. 2.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm, 则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3. 3. OO是边长为是边长为是边长为是边长为2cm2cm的正方形的正方形的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆,EF,EF切切切切 OO 于于于于P P点，交点，交点，交点，交ABAB、BCBC于于于于E E、F F，则，则，则，则BEFBEF的周长是的周长是的周长是的周长是_._.EF HG正方形正方形正方形正方形22cm22cm2cm2cm1、切线长的定义、切线长的定义2、切线长定理、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。这一点的连线平分两条切线的夹角。 小小 结：结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角相等，线段相等，角相等，弧相等，垂直关系弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。握并能灵活应用。3、三角形的内切圆和内心、三角形的内切圆和内心4 、圆的外切四边形的两组对边的和相等、圆的外切四边形的两组对边的和相等知识像一艘船让它载着我们驶向理想的 2012 10 23