Twist-3 distribution amplitudes of the pion and kaon from the QCD sum rules 周明震 zhoumzmail.ihep.ac 2019年11月15日 中国高等科技中心Contents1.引言2.twist-3分布振幅的矩的求和规则3.twist-3分布振幅矩的数值计算和结果4.从两粒子分布振幅到三粒子分布振幅的一些讨论5.总结1.引言 文献Z.Phys.C48,39(1990)给出了pion介子twist-3分布振幅的系研。作者基于已有的QCD求和规则对三粒子twist3分布振幅的矩的研究，再加上由运动方程给出的两粒子twist-3分布振幅与三粒子twist-3分布振幅的约束关系，间接得到了两粒子twist-3分布振幅的性质。 但是，由Z.Phys.C48,39(1990)给出的三粒子twist3分布振幅的矩的数值来看，其精确度实际上是很低的。因为数值区域很宽，以其中一个矩的数值为例，30.060.22，可见其不确定度较大。所以直接用QCD求和规则来考察两粒子twist-3分布振幅的性质是有必要的。 同时计算出来的矩，也可以通过同样的twist-3分布振幅的约束条件，反推三粒子twist-3分布振幅的性质，从而比较QCD求和规则的可靠性。Kaon介子类似于pion介子，我们也讨论了它的twist-3分布振幅的性质。相关文献：Pion介子twist-2分布振幅的讨论有：PRD22,2157(1980),NPB201,492(1982),Phys.Rep.112,173(1984),PRD49,1490(1994)等。Pion介子twist-3分布振幅的讨论有： Z.Phys.C48,39(1990),NPB529,323(2019)等。Kaon介子twist-2分布振幅的一矩的讨论有： PRD70,094002(2019)。 2. twist-3分布振幅的矩的求和规则Pion介子的两粒子twist-3分布振幅 和 的定义为， 其中 f pion介子衰变常数 , 和 是为了保证矩阵元的规范不变性而插入的Wilson线。 是直接QCD求和规则计算时引入的归一化常数，其值可以通过零矩的求和规则得到。 相似的，我们可以定义kaon介子的两粒子twist-3分布振幅 和 如下：为了很好的抽取twist-3分布振幅的信息，我们定义它们的矩为：这是pion介子的；这是kaon介子的。 由于光锥分布振幅满足演化方程，可以用Gegenbauer多项式展开，而其展开系数可以通过用QCD求和规则计算出上面定义的矩而得到。 对于pion介子，我们在z2=0 附近展开上面定义的强子矩阵元，则有： 通常而言，pion介子被认为具有SU(2)同位旋对称性是恰当的。换句话说，也就是它的分布振幅的奇数矩是必然为零的。所以，我们在这里仅仅需要考虑它们的偶数矩而相应的引入下面2个关联函数：对于kaon介子，我们在z2=0 附近展开上面定义的强子矩阵元，则有：然而，对于kaon介子则不同，其奇数矩并不为零，因为s夸克的质量是不等于ud夸克的，也就是说它是SU(3)味对称性破缺的。所以，相应的我们另外选择了2个不同样pion介子的关联函数： 下面就是用QCD求和规则去计算上面给出的4个关联函数。现在我们以pion介子的关联函数计算为例。 首先，在深Educlidean区域(-q20) ，微扰计算到领头阶，凝聚项计算到s 阶，凝聚维数到6维，得到pion介子2个关联函数的QCD表示为：其次，在物理区域，pion介子的2个关联函数也可以写成强子谱的表示：最后，在两个不同区域的同一个关联函数的表示可以通过Borel变换下的色散关系式：联系起来，得出pion介子twist-3分布振幅的矩的求和规则。其中M是Borel参数。将I QCD和Im I had代入色散关系式中，我们得到矩的求和规那么：这是pion介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则；这是pion介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则。其中 和 是需要恰当选取的有效阈值，并且零矩已经被归一 (i.e., )。 对于kaon介子的计算与pion介子的计算相似，我们得到的kaon介子的物理区域的强子谱表示为： 应用Borel变换后的色散关系式，我们最后得到kaon介子twist-3分布振幅的矩的求和规则：这是kaon介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则；这是kaon介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则。这里E=0.577216是 是Euler常数。 和 是需要恰当选取的有效阈值，并且零矩已经被归一(i.e., )。 3. twist-3分布振幅矩的数值计算和结果我们选取如下的输入参数：fK0.131GeV, f0.131GeV; ms=0.130GeV,mu=0.004GeV,md=0.007GeV; , , , .s=0.5，重整化能标在下面的分析中取=M。 作为求和规则中的有效阈值 ，虽然，当它们取值越大时，可以有更宽的Borel窗口，但是，有效阈值不能超过第一激发态的质量的平方。为了得到尽可能稳定的求和规则，它们取值为相应道的第一激发态质量的平方，Pion介子和kaon介子的两粒子twist-3分布振幅的前3个矩的数值分析结果被显示在下面的3个表格中：这里需要指出的是如果考虑到文献Phys.Rep.127,1(1985)给出的 和 的求和规则的微扰部分的s修正时，它们的值将增加15-20%：这是pion介子twist-3分布振幅 ， 的四矩和kaon介子twist-3分布振幅 ， 的二矩的Borel窗口图。其中，实线和虚线分别是连续态的贡献和六维凝聚项的贡献和完全求和规则的比率。从上面的图和表格，我们可以发现前3个矩的求和规则都在30不确定度的twist-3分布振幅仅仅是kaon介子的 ，而分布振幅 和 的前2个矩能满足30的不确定度要求，第3个矩则要将不确定度放宽到35%-40%才能得到。 所以，当分布振幅Gegenbauer多项式展开到第3项时，用我们的方法能够比较可靠得出的两粒子twist-3分布振幅是kaon介子的 分布振幅：上式中，是由表格中心值代入得到的结果，考虑不确定性后，则有0.30有0.09的偏差，0.73有0.30的偏差。可以看出，kaon介子是味SU(3)对称性破缺的，并且重的s夸克携带的径向动量比轻夸克携带的要大，这跟通常的夸克模型的预期是一致的。4.从两粒子分布振幅到三粒子分布振幅的一些讨论对于pion介子，这里存在三个twist-3分布振幅 。它们其实不是完全独立的。通过QCD运动方程，可以得到它们之间的联系：由QCD运动方程可以认为 ，但是我们这里直接用QCD求和规则计算两粒子twist-3分布振幅，这两个参数是有差异的，这里将我们计算中比较可靠的pion介子的矩 和 代入上面的关系式中得到两个方程：再将前面表格中的数值代入求解方程得到：而由QCD求和规则直接计算三粒子分布振幅得到的是：下面讨论kaon介子的情形。它的两粒子twist-3分布振幅和三粒子分布振幅的关系式也是和pion介子的情形相似。将前面分析的kaon介子的两粒子分布振幅的矩代入关系式，可以得到下面三个方程：其中， 。第一个等式是对求和规则的一个直接检验，由表格给出的数据，代入发现这个等式的符合还是可以的，由于而另外两个方程求解，则得到：5.总结 对于pion介子和kaon介子的twist-3分布振幅的研究，由于其包含了3个不完全独立分布振幅，而不像twist-2分布振幅那样仅有1个分布振幅需要确定，所以twist-3分布振幅的不确定度较大是不可以避免的。我们在这里直接用QCD求和规则计算了它们的两粒子twist-3分布振幅的矩，并且通过QCD运动方程给出的两粒子分布振幅和三粒子分布振幅的关系式，反推出三粒子分布振幅的一些结果，这些结果与直接由QCD求和规则计算三粒子分布振幅的得到结果是基本一致的，说明我们在这里用QCD求和规则直接计算两粒子分布振幅的矩是可行的。 另外，我们计算中引入的归一化常数这比来自QCD运动方程的值要小，但与pQCD唯像分析给出的对应值基本相当。Thanks