第三节圆 的 方 程【知【知识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填圆的定的定义、方程、方程: :定定义平面内到平面内到_的距离等于的距离等于_的点的的点的轨迹叫做迹叫做圆方方程程标准准(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r0)(r0)圆心心C_C_半径半径为_一一般般x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0充要条件充要条件:_:_ 圆心坐标：圆心坐标： 半径半径r=r=定点定点定定长(a,b)(a,b)r rD D2 2+E+E2 2-4F0-4F02.2.必必备结论 教材提教材提炼记一一记圆的的标准方程准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,点点M(xM(x0 0,y,y0 0),),则(1)(x(1)(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r=r2 2点在点在圆上上. .(2)(x(2)(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr2 2点在点在圆外外. .(3)(x(3)(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r0.(-4AF0.() )(4)(4)若点若点M(xM(x0 0，y y0 0) )在在圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0外，外，则x x0 02 2+y+y0 02 2+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F+F0.(0.() )(5)(5)已知点已知点A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，则以以ABAB为直径的直径的圆的方程是的方程是(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+(y-y)+(y-y1 1)(y-y)(y-y2 2)=0.()=0.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .当当t0t0时，方程表示圆心为时，方程表示圆心为(-a(-a，-b)-b)，半径为，半径为|t|t|的圆的圆. .(2)(2)错误错误. .当当a a2 2+(2a)+(2a)2 2-4(2a-4(2a2 2+a-1)0+a-1)0即即-2a -2a0-4AF0得方程得方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆，反之也成立表示圆，反之也成立. .(4)(4)正确正确. .因为点因为点M(xM(x0 0，y y0 0) )在圆外，所以在圆外，所以 即即x x0 02 2+y+y0 02 2+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F0.+F0.(5)(5)正确正确. .设设M(xM(x，y)y)是圆上异于直径端点是圆上异于直径端点A A，B B的点，由的点，由得得(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+(y-y)+(y-y1 1)(y-y)(y-y2 2)=0.)=0.显然显然A A，B B也满足上式也满足上式. .所以以所以以ABAB为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+)+(y-y(y-y1 1)(y-y)(y-y2 2)=0.)=0.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改教材改编 链接教材接教材练一一练(1)(1)(必修必修2P802P80练习T1T1改改编) )圆x x2 2+y+y2 2+2by+m=0+2by+m=0的的圆心坐心坐标为_._.【解析】【解析】圆心横坐标为圆心横坐标为0,0,纵坐标为纵坐标为-b,-b,所以圆心坐标为所以圆心坐标为(0,-b).(0,-b).答案答案: :(0,-b)(0,-b)(2)(2)(必修必修2P852P85习题2-2A2-2A组T1T1改改编) )经过点点C(-1,1),D(1,3),C(-1,1),D(1,3),圆心在心在y y轴上的上的圆的方程的方程为_._.【解析】【解析】设圆的方程为设圆的方程为x x2 2+y+y2 2+my+n=0,+my+n=0,将将(-1,1),(1,3)(-1,1),(1,3)代入得代入得 得得所以圆的方程为所以圆的方程为x x2 2+y+y2 2-4y+2=0.-4y+2=0.答案答案: :x x2 2+y+y2 2-4y+2=0-4y+2=03.3.真真题小小试 感悟考感悟考题试一一试(1)(2015(1)(2015淮南模淮南模拟) )已知已知圆C C经过A(5,1),B(1,3)A(5,1),B(1,3)两点两点, ,圆心在心在x x轴上上, ,则圆C C的方程的方程为_._.【解析】【解析】设圆心坐标为设圆心坐标为(a,0),(a,0),易知易知 解得解得a=2,a=2,所以圆心为所以圆心为(2,0),(2,0),半径为半径为 , ,所以圆所以圆C C的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=10.=10.答案答案: :(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=10=10(2)(2014(2)(2014陕西高考西高考) )若若圆C C的半径的半径为1,1,其其圆心与点心与点(1,0)(1,0)关于直关于直线y=xy=x对称称, ,则圆C C的的标准方程准方程为_._.【解析】【解析】因为圆因为圆C C的圆心与点的圆心与点P(1,0)P(1,0)关于直线关于直线y=xy=x对称对称, ,所以圆所以圆C C的圆的圆心坐标为心坐标为(0,1),(0,1),且圆且圆C C的半径为的半径为1,1,所以所求圆的标准方程为所以所求圆的标准方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1.=1.答案答案: :x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1(3)(2014(3)(2014山山东高考高考) )圆心在直心在直线x-2y=0x-2y=0上的上的圆C C与与y y轴的正半的正半轴相相切，切，圆C C截截x x轴所得的弦的所得的弦的长为2 2 ，则圆C C的的标准方程准方程为. .【解析】【解析】设圆心设圆心(a, )(a0),(a, )(a0),半径为半径为a.a.由勾股定理由勾股定理 =a =a2 2, ,解得解得:a=2.:a=2.所以圆心为所以圆心为(2,1),(2,1),半径为半径为2,2,所以圆所以圆C C的标准方程为的标准方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.答案答案: :( (x-2)x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4考点考点1 1 确定确定圆的方程的方程【典例【典例1 1】(1)(1)若若圆心在心在x x轴上、半径上、半径为 的的圆OO位于位于y y轴左左侧, ,且与直且与直线x+2y=0x+2y=0相切相切, ,则圆OO的方程是的方程是( () )A.(x-5)A.(x-5)2 2+y+y2 2=5=5或或(x+5)(x+5)2 2+y+y2 2=5=5B.(x+ )B.(x+ )2 2+y+y2 2=5=5C.(x-5)C.(x-5)2 2+y+y2 2=5=5D.(x+5)D.(x+5)2 2+y+y2 2=5=5(2)(2)如果一个三角形的三如果一个三角形的三边所在的直所在的直线方程分方程分别为x+2y-5=0,y-2=0,x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,x+y-4=0,则该三角形的外接三角形的外接圆方程方程为_._.【解题提示解题提示】(1)(1)先设圆心的坐标先设圆心的坐标, ,依据圆与直线相切依据圆与直线相切, ,可得到圆心到可得到圆心到直线的距离等于半径直线的距离等于半径, ,进而得到圆的方程进而得到圆的方程. .(2)(2)可依据条件求出三角形的三个顶点坐标可依据条件求出三角形的三个顶点坐标, ,再求圆心坐标、半径或利再求圆心坐标、半径或利用待定系数法直接求解用待定系数法直接求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.设圆心坐标为设圆心坐标为(a,0)(a0),(a,0)(a0),因为圆与直线因为圆与直线x+2yx+2y=0=0相切相切, ,所以所以 解得解得a=-5,a=-5,因此圆的方程为因此圆的方程为(x+5)(x+5)2 2+y+y2 2=5.=5.(2)(2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为因为三角形的三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,=0,解方程组可得三个顶点的坐标解方程组可得三个顶点的坐标, ,分别设为分别设为A(1,2),B(2,2),C(3,1).A(1,2),B(2,2),C(3,1).因为因为ABAB的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为x= x= ，BCBC的垂直平分线方程为：的垂直平分线方程为：x-y-1=0x-y-1=0，解方程组解方程组 即圆心坐标为即圆心坐标为 半径半径因此，所求圆的方程为因此，所求圆的方程为即即x x2 2+y+y2 2-3x-y=0.-3x-y=0.答案：答案：x x2 2+y+y2 2-3x-y=0-3x-y=0【一题多解】【一题多解】解答本题还有如下解法：解答本题还有如下解法：设圆的方程为设圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0，因为圆过点，因为圆过点A(1A(1，2)2)，B(2B(2，2)2)，C(3C(3，1).1).所以所以1 12 2+2+22 2+D+2E+F=0+D+2E+F=0，2 22 2+2+22 2+2D+2E+F=0+2D+2E+F=0，3 32 2+1+12 2+3D+E+F=0+3D+E+F=0，联立联立得：得：D=-3D=-3，E=-1E=-1，F=0F=0，因此所求圆的方程为：因此所求圆的方程为：x x2 2+y+y2 2-3x-y=0.-3x-y=0.答案：答案：x x2 2+y+y2 2-3x-y=0-3x-y=0【易【易错警示】警示】忽忽视题设条件条件导致致错解解本例本例(1)(1)中中, ,极易忽略极易忽略圆OO位于位于y y轴左左侧这一条件一条件, ,在在设圆心坐心坐标时忽忽略略a0a0,-(1+4k)0,得得5k5k2 2-16k+160,-16k+160,此时此时, ,所求圆的半径所求圆的半径r= r= 显然显然, ,当当k= ,k= ,即即k= k= 时时,5k,5k2 2-16k+16-16k+16有最小值有最小值 , ,此时此时, ,圆的半径最小圆的半径最小, ,从而面积最小从而面积最小. .故所求的圆的方程为故所求的圆的方程为 【加固【加固训练】1.1.圆心在心在y y轴上上, ,半径半径为1,1,且且过点点(1,2)(1,2)的的圆的方程的方程为( () )A.xA.x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1B.xB.x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1C.(x-1)C.(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1D.xD.x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1【解析解析】选选A.A.由题意由题意, ,设圆心坐标为设圆心坐标为(0,b),(0,b),则则 =1, =1,解得解得b=2,b=2,故圆的方程为故圆的方程为x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1.=1.2.2.圆心在直心在直线2x-y-3=02x-y-3=0上上, ,且且过点点(5,2)(5,2)和和(3,-2)(3,-2)的的圆的方程的方程为. .【解析】【解析】方法一方法一: :设所求圆的圆心为设所求圆的圆心为(a,b),(a,b),半径长为半径长为r,r,由题意得由题意得解方程组得解方程组得a=2,b=1,ra=2,b=1,r2 2=10.=10.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10.=10.方法二方法二: :因点因点(5,2)(5,2)和和(3,-2)(3,-2)在圆上在圆上, ,故圆心在这两点所连线段的故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上垂直平分线上, ,可求得垂直平分线的方程为可求得垂直平分线的方程为x+2y-4=0.x+2y-4=0.又圆心在直线又圆心在直线2x-y-3=02x-y-3=0上上, ,故圆心为两直线的交点故圆心为两直线的交点. .由由 求得两直线交点坐标为求得两直线交点坐标为(2,1),(2,1),由两点间的距离公式可求得半径长为由两点间的距离公式可求得半径长为 . .故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10.=10.答案答案: :(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10=10考点考点2 2 与与圆有关的有关的轨迹迹问题【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015福州模福州模拟) )已知点已知点A(-1,0),A(-1,0),点点B(2,0),B(2,0),动点点C C满足足|AC|=|AB|,|AC|=|AB|,则点点C C与点与点P(1,4)P(1,4)所所连线段的中点段的中点M M的的轨迹方程迹方程为_._.(2)(2014(2)(2014新新课标全国卷全国卷)已知点已知点P(2,2),P(2,2),圆C:xC:x2 2+y+y2 2-8y=0,-8y=0,过点点P P的的动直直线l与与圆C C交于交于A,BA,B两点两点, ,线段段ABAB的中点的中点为M,OM,O为坐坐标原点原点. .求求M M的的轨迹方程迹方程. .当当|OP|=|OM|OP|=|OM|时, ,求求l的方程及的方程及POMPOM的面的面积. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)先求出点先求出点C C的轨迹方程的轨迹方程, ,再用相关点法求再用相关点法求M M的轨迹方程的轨迹方程. .(2)(2)利用圆的几何性质转化为利用圆的几何性质转化为 求解求解; ;利用利用|OP|=|OM|OP|=|OM|转化求解转化求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题意可知由题意可知: :动点动点C C的轨迹是以的轨迹是以(-1,0)(-1,0)为圆心为圆心,3,3为半为半径长的圆径长的圆, ,方程为方程为(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=9.=9.设设M(xM(x0 0,y,y0 0),),则由中点坐标公式可求得则由中点坐标公式可求得C(2xC(2x0 0-1,2y-1,2y0 0-4),-4),代入点代入点C C的轨迹的轨迹方程得方程得4x4x0 02 2+4(y+4(y0 0-2)-2)2 2=9,=9,化简得化简得x x0 02 2+(y+(y0 0-2)-2)2 2= ,= ,故点故点M M的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2= .= .答案答案: :x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2= = (2)(2)圆圆C C的方程可化为的方程可化为x x2 2+(y-4)+(y-4)2 2=16,=16,所以圆心为所以圆心为C(0,4),C(0,4),半径为半径为4.4.设设M(x,y),M(x,y),则则 =(x,y-4), =(2-x,2-y), =(x,y-4), =(2-x,2-y),由题设知由题设知 故故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即即(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=2,=2,由于点由于点P P在圆在圆C C的内部的内部, ,所以所以M M的轨迹方程是的轨迹方程是(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=2.=2.由由可知可知M M的轨迹是以点的轨迹是以点N(1,3)N(1,3)为圆心为圆心, , 为半径的圆为半径的圆. .由于由于|OP|=|OM|,|OP|=|OM|,故故O O在线段在线段PMPM的垂直平分线上的垂直平分线上, ,又又P P在圆在圆N N上上, ,从而从而ONPM.ONPM.因为因为ONON的斜率为的斜率为3,3,所以所以l的斜率为的斜率为- ,- ,直线直线l的方程为的方程为: : 又又|OM|=|OP|= |OM|=|OP|= O O到到l的距离为的距离为 ,|PM|= , ,|PM|= ,所以所以POMPOM的面积为的面积为 【规律方法】律方法】求与求与圆有关的有关的轨迹迹问题的四种方法的四种方法【变式式训练】(2015(2015安徽名校安徽名校联盟模盟模拟) )设定点定点M(-2,4),M(-2,4),动点点N N在在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上运上运动, ,线段段MNMN的中点的中点为点点P.P.(1)(1)求求MNMN的中点的中点P P的的轨迹方程迹方程. .(2)(2)直直线l与点与点P P的的轨迹相切迹相切, ,且且l在在x x轴,y,y轴上的截距相等上的截距相等, ,求直求直线l的方的方程程. .【解析】【解析】(1)(1)设设P P点坐标为点坐标为(x,y),N(x,y),N点坐标为点坐标为(x(x0 0,y,y0 0),),则由中点坐标公式有则由中点坐标公式有因为因为N N点在圆点在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上, ,所以所以x x0 02 2+y+y0 02 2=4,=4,所以所以(2x+2)(2x+2)2 2+(2y-4)+(2y-4)2 2=4,=4,所以所以(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1,=1,即点即点P P的轨迹方程为的轨迹方程为(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1.=1.(2)(2)因直线因直线l在在x x轴轴,y,y轴上的截距相等轴上的截距相等, ,故故l的斜率存在且不为的斜率存在且不为0,0,当直线当直线l在在x x轴轴,y,y轴上的截距都为轴上的截距都为0 0时时, ,设直线设直线l的方程为的方程为y=kx,y=kx,即即kx-y=0.kx-y=0.因为直线因为直线l与与(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1相切相切, ,所以所以 =1 =1k=- ,k=- ,故直线故直线l的方程为的方程为y=- x.y=- x.当当l在在x x轴轴,y,y轴上的截距均不为轴上的截距均不为0 0时时, ,设直线设直线l的方程为的方程为 =1, =1,即即x+y-a=0.x+y-a=0.因为直线因为直线l与与(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1相切相切, ,则有则有 =1, =1,解得解得a= +1a= +1或或a=1- .a=1- .故直线故直线l的方程为的方程为x+y-1- =0x+y-1- =0或或x+y-1+ =0,x+y-1+ =0,综上可知综上可知l的方程为的方程为y=- xy=- x或或x+y-1- =0x+y-1- =0或或x+y-1+ =0.x+y-1+ =0.【加固【加固训练】1.1.点点P(4,-2)P(4,-2)与与圆x x2 2+y+y2 2=4=4上任一点上任一点连线的中点的中点轨迹方程迹方程是是( () )A.(x-2)A.(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1 B.(x-2)=1 B.(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4C.(x+4)C.(x+4)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1 =1 D.(x+2) D.(x+2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1【解析】【解析】选选A.A.设圆上任意一点的坐标为设圆上任意一点的坐标为(x(x1 1,y,y1 1),),其与点其与点P(4,-2)P(4,-2)所所连线段的中点坐标为连线段的中点坐标为(x,y),(x,y),则则 代入代入x x2 2+y+y2 2=4,=4,得得(2x-4)(2x-4)2 2+(2y+2)+(2y+2)2 2=4,=4,化简得化简得(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.2.2.设定点定点M(-3,4),M(-3,4),动点点N N在在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上运上运动, ,以以OM,ONOM,ON为邻边作平行四作平行四边形形MONP,MONP,求点求点P P的的轨迹迹. .【解析】【解析】如图所示如图所示, ,设设P(x,y),N(xP(x,y),N(x0 0,y,y0 0),),则线段则线段OPOP的中点坐标为的中点坐标为 则线段则线段MNMN的中点坐标为的中点坐标为 因为平行四边形的对角线互相因为平行四边形的对角线互相平分平分, ,所以所以 整理得整理得 又因为点又因为点N(x+3,y-4)N(x+3,y-4)在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上, ,所以所以(x+3)(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=4.=4.直线直线OM: OM: 与与(x+3)(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=4=4联立组成方程组联立组成方程组, ,解得解得 或或 因为因为O,M,PO,M,P三点不共线三点不共线, ,所以应除去两点所以应除去两点 与与 , ,所以点所以点P P的轨迹是以的轨迹是以(-3,4)(-3,4)为圆心为圆心,2,2为半径的圆为半径的圆( (除去两点除去两点 与与 ). ).考点考点3 3 与与圆有关的最有关的最值问题知知考情考情与与圆有关的最有关的最值问题是高考及各是高考及各类考考试的一个常考点的一个常考点. .多以多以选择题、填空、填空题的形式出的形式出现, ,考考查距离、斜率、函数的最距离、斜率、函数的最值及数形及数形结合思合思想想. .明明角度角度命命题角度角度1:1:斜率型最斜率型最值【典例【典例3 3】(2015(2015渭南模渭南模拟) )已知已知实数数x,yx,y满足方程足方程x x2 2+y+y2 2-4x+1=0,-4x+1=0,则 的最大的最大值为, ,最小最小值为. .【解题提示】【解题提示】 表示圆上的点表示圆上的点(x,y)(x,y)与坐标原点与坐标原点(0,0)(0,0)的连的连线的斜率线的斜率. . 【规范解答】【规范解答】原方程可化为原方程可化为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3,=3,表示以表示以(2,0)(2,0)为圆心，为圆心， 为半径的圆为半径的圆. . 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 =k, =k,即即y=kx.y=kx.当直线当直线y=kxy=kx与圆相切时，斜率与圆相切时，斜率k k取最大值或最小值，取最大值或最小值，此时此时解得解得 ( (如图如图) )所以所以答案：答案：命题角度命题角度2 2：截距型最值截距型最值【典例【典例4 4】(2015(2015郑州模拟郑州模拟) )已知实数已知实数x x，y y满足满足x x2 2y y2 24(y0)4(y0)，则则m m x xy y的取值范围是的取值范围是( )( )A.(A.(2 2 ，4) B.4) B.2 2 ，4 4C.C.4 4，4 4 D. D.4 4，2 2 【解题提示】【解题提示】可根据点可根据点(x,y)(x,y)在半圆在半圆x x2 2+y+y2 2=4(y0)=4(y0)上上, ,利用数形结合的利用数形结合的思想转化为直线在思想转化为直线在y y轴上的截距的取值范围求解轴上的截距的取值范围求解. .【规范解答】【规范解答】选选B.B.由于由于y0,y0,所以所以x x2 2+y+y2 2=4(y0)=4(y0)为上半圆为上半圆. . x+y-m=0 x+y-m=0是直线是直线( (如图如图),),且斜率为且斜率为- ,- ,在在y y轴上截距为轴上截距为m,m,又当直线过点又当直线过点(-2,0)(-2,0)时时,m=-2 ,m=-2 ,解得解得m-2 ,4,m-2 ,4,选选B.B.命题角度命题角度3 3：距离型最值距离型最值【典例【典例5 5】(2015(2015揭阳模拟揭阳模拟) )设点设点P P是函数是函数 的图象上的图象上的任意一点，点的任意一点，点Q(2a,a-3)(aR),Q(2a,a-3)(aR),则则|PQ|PQ|的最小值为的最小值为( )( )【解题提示】【解题提示】点点Q(2a,a-3)Q(2a,a-3)在直线在直线x-2y-6=0x-2y-6=0上，可将问题转化为函数上，可将问题转化为函数 的图象上的点到直线的图象上的点到直线x-2y-6=0x-2y-6=0的最小距离的最小距离. .【规范解答】【规范解答】选选C.C.如图所示，点如图所示，点P P在半圆在半圆C(C(实线部分实线部分) )上，且由上，且由题意知，题意知，C(1,0),C(1,0),点点Q Q在直线在直线l:x-2y-6=0:x-2y-6=0上上. .过圆心过圆心C C作直线作直线l的垂线，垂足为的垂线，垂足为A A，则则悟悟技法技法与与圆有关的最有关的最值问题的常的常见解法解法(1)(1)形如形如= = 形式的最形式的最值问题, ,可可转化化为动直直线斜率的最斜率的最值问题. .(2)(2)形如形如t=ax+byt=ax+by形式的最形式的最值问题, ,可可转化化为动直直线截距的最截距的最值问题. .(3)(3)形如形如(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2形式的最形式的最值问题, ,可可转化化为动点到定点的距离的点到定点的距离的平方的最平方的最值问题. .通通一一类1.(20151.(2015广州模广州模拟) )设P(x,y)P(x,y)是是圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1上的任意点上的任意点, ,则(x-5)(x-5)2 2+(y+4)+(y+4)2 2的最大的最大值为( () )A.6A.6B.25B.25C.26C.26D.36D.36【解析】【解析】选选D.D.因为圆因为圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1的圆心坐标为的圆心坐标为(2,0),(2,0),该圆心到点该圆心到点(5,-4)(5,-4)的距离为的距离为 =5, =5,所以圆所以圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1上的点到上的点到(5,-4)(5,-4)距离的最大值为距离的最大值为6,6,即即(x-5)(x-5)2 2+(y+4)+(y+4)2 2的最大值为的最大值为36.36.2.(20152.(2015汉中模中模拟) )已知已知P P是直是直线l:3x-4y+11=0:3x-4y+11=0上的上的动点点,PA,PB,PA,PB是是圆x x2 2+y+y2 2-2x-2y+1=0-2x-2y+1=0的两条切的两条切线,C,C是是圆心心, ,那么四那么四边形形PACBPACB面面积的最小的最小值是是( () )【解析】【解析】选选C.C.圆的标准方程为圆的标准方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,圆心为圆心为C(1,1),C(1,1),半径半径为为r=1,r=1,根据对称性可知根据对称性可知, ,四边形四边形PACBPACB的面积为的面积为2S2SAPCAPC=2 |PA|r=2 |PA|r=|PA|= ,=|PA|= ,要使四边形要使四边形PACBPACB的面积最小的面积最小, ,则只需则只需|PC|PC|最小最小, ,最最小时为圆心到直线小时为圆心到直线l:3x-4y+11=0:3x-4y+11=0的距离的距离d= =2.d= =2.所以四边所以四边形形PACBPACB面积的最小值为面积的最小值为 3.(20153.(2015抚州模州模拟) )已知已知圆F F的的圆心心为(4,0),(4,0),半径半径为1,1,且直且直线y=kx-2y=kx-2上至少存在一点上至少存在一点, ,使得以使得以该点点为圆心、心、1 1为半径的半径的圆与与圆F F有公共点有公共点, ,则实数数k k的最大的最大值为_._.【解析】【解析】因为圆因为圆F F的圆心为的圆心为(4,0),(4,0),半径为半径为1,1,所以圆所以圆F F的方程为的方程为(x-4)(x-4)2 2+y+y2 2=1.=1.设直线设直线y=kx-2y=kx-2上存在一点上存在一点A A满足题意满足题意, ,则则|FA|2,|FA|2,所以所以|FA|FA|minmin= 2,= 2,解得解得0k ,0k ,故实数故实数k k的最大值为的最大值为 . .答案答案: : 【加固【加固训练】1.(20151.(2015日照模日照模拟) )直直线y=x-1y=x-1上的点到上的点到圆x x2 2+y+y2 2+4x-+4x-2y+4=02y+4=0的最近距离的最近距离为( () )【解析】【解析】选选C.C.圆心圆心(-2,1)(-2,1)到已知直线的距离为到已知直线的距离为d=2 ,d=2 ,圆的半径为圆的半径为r=1,r=1,故所求距离故所求距离d dminmin=2 -1.=2 -1.2.(20152.(2015石家庄模石家庄模拟) )圆心在抛物心在抛物线x x2 2=2y=2y上上, ,与直与直线2x+2y+3=02x+2y+3=0相切相切的的圆中中, ,面面积最小的最小的圆的方程的方程为. .【解析】【解析】圆心在圆心在x x2 22y2y上，设圆心为上，设圆心为 若直线若直线2x2x2y2y3 30 0与圆相切，则圆心到直线与圆相切，则圆心到直线2x2x2y2y3 30 0的距离为的距离为r r 当当x x1 1时，时，r r最小，从而圆最小，从而圆的面积最小，此时圆的圆心为的面积最小，此时圆的圆心为 圆的方程为圆的方程为(x(x1)1)2 2(y- )(y- )2 2 . .答案：答案：(x(x1)1)2 2(y- )(y- )2 2 3.(20153.(2015温州模拟温州模拟) )若直线若直线2ax2axbyby2 20(a0(a，b b为正实数为正实数) )平分圆平分圆x x2 2y y2 22x2x4y4y6 60 0，则，则 的最小值是的最小值是_._.【解析】【解析】由题意知，直线过圆心，圆心为由题意知，直线过圆心，圆心为(1,2)(1,2)，代入直线方程得，代入直线方程得a ab b1 1，则，则 等号成立的条件等号成立的条件为为a a2 2 ，b b 1. 1. 答案：答案：3 32 2 4.(20154.(2015泰安模泰安模拟) )已知已知对于于圆x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1上任一点上任一点P(x,y),P(x,y),不等式不等式x+y+m0x+y+m0恒成立恒成立, ,则实数数m m的取的取值范范围为. .【解析】【解析】因为因为x+y+m=0x+y+m=0右上方的点满足右上方的点满足:x+y+m0,:x+y+m0,结合图象知结合图象知, ,要使圆上的任一点的坐标都满足要使圆上的任一点的坐标都满足x+y+m0,x+y+m0,只需直线在如图所示的切线的左下方只需直线在如图所示的切线的左下方( (含切线含切线),),图中切线的纵截距图中切线的纵截距-m=- +1,-m=- +1,故只需故只需-m- +1,-m- +1,即即m -1m -1即可即可. .答案答案: :m -1m -1自我自我纠错23 23 圆的方程的方程问题【典例】【典例】(2015(2015宁波模宁波模拟) )若若圆的方程的方程为x x2 2+y+y2 2+kx+2y+k+kx+2y+k2 2=0,=0,且点且点(1,2)(1,2)在在圆外外, ,则k k的取的取值范范围为_._.【解题过程】【解题过程】【错解分析】解分析】分析上面解分析上面解题过程程, ,你知道你知道错在哪里在哪里吗? ?提示提示: :由于方程由于方程x x2 2+y+y2 2+kx+2y+k+kx+2y+k2 2=0=0表示圆表示圆, ,故应满足条件故应满足条件 0, 0,由于审题不仔细由于审题不仔细, ,未能挖掘出此隐含条件未能挖掘出此隐含条件, ,导致出错导致出错. .【规避策略】避策略】1.1.明确二元二次方程表示明确二元二次方程表示圆的条件的条件二元二次方程二元二次方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示表示圆的条件是的条件是D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.在解决与在解决与圆的一般方程有关的参数取的一般方程有关的参数取值范范围时, ,一定要注意此一定要注意此隐含条件含条件. .2.2.掌握判断二元二次方程掌握判断二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0是否表示是否表示圆的方法的方法【自我矫正】【自我矫正】将圆的方程配方得：将圆的方程配方得： 所以圆心坐标为所以圆心坐标为 半径为半径为因为点因为点(1(1，2)2)在圆外，在圆外，答案：答案：部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！