初等代数研究初等代数研究 第一讲 数系的扩展内容结构： 一、数系扩展的顺序、方法、原则 二、自然数理论与数学归纳法 三、“”地接受一些无理数 四、复数的研究和应用1一、数系的扩展顺序、方法、原则 （一） 数系的扩展顺序、方法、原则 从代数学发展的历史来看，人们对数的认识大体按照以下的逻辑顺序进行的：自然数正有理数非负有理数有理数实数复数添正分数添零添负有理数添无理数添虚数2（1）自然数的产生起源于人类在生产和生活中记数的需要（三个阶段：结绳记数；出现”三头牛，五只羊”；把数从具体事物的集合分离出来，形成抽象的正整数概念，并有了代表它的符号） 结绳法最早出现在印加帝国，是利用一种十进的位置值系统在绳上打结的记事方式。3 在干绳最远的一行一个结代表1，次远的一个结代表10，如此等等.4秘鲁的印第安人的结绳法中国的甲骨文计数法5易.系辞载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书目契。”我国古代的甲骨文中的“数”字，左边表示打结的绳，右边是一只手，表示古人用结绳记数6（2）由于生产力的发展，在土地丈量、天文观测、水利工程等方面的需要，正分数运应而生。据史书记载，三千多年前埃及纸草卷中已有关于正分数问题的记述。引进正分数是数的概念的第一次扩充。7（3）人们开始记数时，最初没有“零”的概念，在生产实践需要记数的东西越来越多，逐渐产生了位值记数法，如我国古代筹算上利用空格表示“零”。引入“0”是数的概念的第二次扩展。（4）引入负数，是数的概念的第三次扩展。（5）引入无理数，是数的概念的第四次扩展。（6）引入虚数，是数的概念的第五次扩展。8（二）数系的扩展方法和原则近代数学关于数的认识，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构（结构主义观点）和公理系统加以整理而建立起来的。数的扩展通常采用两种方法：（1）添加新元素法，即把新元素添加到已建立的数集中。9（2）构造法，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的同构。10二、自然数理论与数学归纳法1、自然数的基数理论 19世纪中叶，德国数学家康托提出了自然数的基数理论，基数理论以“集合”为原始概念，利用集合的知识来定义自然数以及各种运算。 基数理论反映了“多少个”在数量上的意义，但没有能揭示自然数在顺序上“第几个”的意义，也没有给出自然数的加乘运算的具体方法。11伽利略的困惑 直观上看：自然数多，完全平方数在自然数中，有如沧海一粟，占的比例极少。 理论上得：自然数与完全平方数一样多。122、自然数的序数理论 皮亚诺（G.Peano）在1889年提出自然数的公理，建立了自然数的序数理论，以“集合”、“后继”为原始概念，用一组公理刻划：13 公理I说明1是自然数， 公理III说明1是最前面的自然数， 公理IV说明N中任何数都有唯一的后继元，且不同数的后继数也不同。 德国数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其他的数都是人造的了。”14 自然数集是一个无限集，也是人们在数学上遇到的最简单、最直接的无限集。从1开始采用求后继的办法，可以求出任何一个自然数，而且求每一个自然数的过程是有限的，把自然数集的这种无限性叫做“潜无限”。 归纳公理是第一数学归纳法的理论依据和逻辑基础。1516 应用数学归纳法证明有关自然数的命题时应注意： 1、第一步是奠基部分，归纳法原理的两步缺一不可，否则将导致矛盾； 2、在证明推导第二步时，一定要用归纳假设的结论作为第二步推理的基础。 3、数学归纳法是建立在“潜无限”的观念基础上，推导过程看似一个有限的过程，但是在逻辑上保证命题对“一切自然数”都正确。用“有限”体现“无限”的过程。17正确理解“潜无限”三毛悖论：“任何有头发的人都是秃子”。 我国的数学教科书中在20世纪90年代之前，一直没有把0作为自然数，但是1993年颁发的中华人民共和国国家标准中量和单位规定自然数包括0.具体表述为：用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。18最小数原理19 最小数原理是第二数学归纳法的逻辑基础和理论依据。202122“瑞雪兆丰年瑞雪兆丰年”与数学归纳法与数学归纳法 数学归纳法考察了以下能力倾向： （1）从整体结构上直接领悟数学对象本质的能力；（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力； （3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。23数学归纳法数学归纳法涉及三种题型： 1、直接证明型 2、探讨求索型 3、变式演绎型 24 (探讨求索型问题探讨求索型问题) 解题思维过程：解题思维过程： 尝试尝试观察观察归纳、猜想归纳、猜想证明证明 即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。给出严格证明。(数学归纳法问题数学归纳法问题)解题策略：解题策略： 从数学问题、数式结构、数式关系、解从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等题思路和问题结果等特征特征去思考问题。去思考问题。252627三、平静地接受一些无理数（一）无理数的起源和发展 公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派开始研究整数的性质，他们提出了奇数、偶数、素数、合数的概念，并逐渐形成了宇宙哲学观：“万物皆数”。 灵魂是不死的，灵魂也是数，“正义”、“友谊”、“爱情”等概念也可以从数的关系中得到解释。28万物皆数 “万物皆数”理论：数是万物的本原；数产生万物，数的规律统治万物。1是最神圣的数字，1生2，2生诸数，数生点，点生线，线生面，面生体，体生万物。29学派誓词： 谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓， 长流不息的自然的根源包含于其中. 1、 上帝是按照数的规律创造宇宙的，整个世界正好建立在前四个整数基础上的，因而1+2+3+4=10，用10作出的誓言是最庄严、最神圣的。30 毕达哥拉斯汤姆220 玛丽284 2、“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密”。 3、完全数6是婚姻、健康、美丽、幸福的象征。 圣经注释家们视6、28为至高无上的建筑师上帝的基本数字。314、中国古代以数字来表达哲学观点： 老子在道德经有云：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。 数学表示为：0，1，2，3， 周易.系辞上有云：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。 数学表达为：1，2，4，8， 32 5、周易.系辞上有云：“河出图，洛出书，圣人则之”“河图”、“洛书”。河图”、“洛书”“二四为肩；六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中。“九子斜排；上下对易，左右相更，四维挺出。杨辉33 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子苏帕萨斯发现了一个惊人的事实： （1）正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的。34（2）毕达哥拉斯学派的徽章正五边形的边长和对角线不可公度正五边形的边长和对角线不可公度35 这一发现与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲学理论极不和谐，引起了该学派领导极度惶恐和恼怒，认为它动摇了他们在学术上的统治，是致命的打击。 苏帕萨斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后被抛入大海，葬身鱼腹，为科学献身。 不可公度长期得不到正确的解释，两个不可通约的比值一直被认为是不可理喻的。15世纪的意大利画家达芬奇称之为“无理的数”，17世纪的德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。 36 然而，真理是淹没不了的，人们为纪念这位“科学的星座”，就把不可通约的量改名为“无理数”。 由于无理数的发现，打破了毕达哥拉斯的“信条”，引起了数学界思想的混乱，导致了数学史上的第一次数学危机。37（二）无理数的定义 定义1（实数的无限小数说）全体有限小数和无限小数组成的集合称为实数集。无限不循环小数称为无理数。 特点：直观但抽象，无法解释两个无限不循环小数的和差积商等运算。38 问题：0.9999和1是否相等？不是证明的“证明”：1、笼统的分析：392、所谓的“证明”403、极限求和法41 定义2 （康托的基本序列说）有理数的基本序列的等价类称为实数. 基本思想：把无限小数看作是一个有限小数序列的极限。42 定义3（戴德金分割说）有理数的戴德金分割称为实数,有端点分割称为有理数,无端点分割称为无理数。 基本思想：有理数在直线上分布是稠密的，但是不连续的，存在“漏洞”。“洞”是一个无法从自身的结构来定义的概念，但是“洞”在直线上对其他点起到“分割”的作用。4344（三）一些无理数的证明45实数的鬼魂虚数 背景：当无理数的位置确定后，人们又发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。 这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解 一、复数的发展历程46 12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负根的存在。 47 16世纪，卡尔达诺的大衍术第一次大胆使用了负数平方根的概念。使用负数平方根，就有可能解决四次方程的求解问题。虽然他写出了负数的平方根，但他却犹豫不次，他不得不声明，这个表达式是虚构的，想像的，并且称它为”虚数”。484950 “虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。虚数，人们开始称之为“实数的鬼魂”，1637年笛卡儿称为“想像中的数”，后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。 1777年瑞士数学家欧拉(Euler)开始使用符号i表示虚数的单位。欧拉创立了复变函数论，并把它们应用到水利学、地图绘制学上。51 1797年，威赛尔给出了虚线的图像表示才确立了虚数的合理地位。他和阿尔干一起借助于17世纪法国数学家笛卡儿建立的平面坐标系，给复数做出了几何解释。 高斯19岁时，通过复数原理，成功解决了正十七边形的尺规作图问题，同时将直角坐标平面上的点和复数建立了一一对应的关系，是复数领域的集大成者。至此虚数才广为人知。真是：虚数不虚。52二、复数表示和运算（一）复数的表示法53二、复数的运算54应用举例（一）复数的表示法和运算律（一）复数的表示法和运算律55（二）解析几何中复数表示（二）解析几何中复数表示56575859（三）复数单位根及其应用（三）复数单位根及其应用6061（四）复数方法的应用（四）复数方法的应用626364解法一：解法二：65例5、已知A为定圆O外的定点，P为这个圆上的任一点，以AP为边作正三角形APZ（APZ按顺时针方向），求Z点的轨迹。66练习题6768