第第2828章章 圆的认识圆的认识第第2828章章 圆圆一石激起千层浪一石激起千层浪乐在其中乐在其中n一、一、 创设情境创设情境 引入新课引入新课奥运五环奥运五环福建土楼福建土楼n一、一、 创设情境创设情境 引入新课引入新课祥祥 子子小憩片刻小憩片刻n一、一、 创设情境创设情境 引入新课引入新课 车轮为什么做成圆形车轮为什么做成圆形?探探 求求 新新 知知50%20%30%OACB半径有：半径有： OA、OB、OC直径：直径：AB回顾思考回顾思考回顾思考回顾思考动手画一画动手画一画1.1.要确定一个圆要确定一个圆, ,必须确定圆的必须确定圆的_和和_圆心圆心半径半径圆心圆心确定圆的确定圆的位置位置,半径半径确定圆的确定圆的大小大小.O这个以点这个以点O为圆心的圆叫作为圆心的圆叫作“圆圆O”，记为，记为“ O”.”.圆心相同圆心相同,半径相等的两个圆是同圆半径相等的两个圆是同圆.半径相等的两个圆是等圆半径相等的两个圆是等圆.圆心相同圆心相同,半径不等的两个圆是同心圆半径不等的两个圆是同心圆.OBCA 1. 1.如图如图, ,半径有半径有:_:_OAOA、OBOB、OCOC若若若若AOB=60AOB=60AOB=60AOB=60，则则则则AOBAOBAOBAOB是是是是_三角形三角形三角形三角形. . . . 2. 2.如图如图, ,弦有弦有:_:_ABAB、BCBCACAC在圆中有长度不等的弦，在圆中有长度不等的弦，在圆中有长度不等的弦，在圆中有长度不等的弦，等边等边直径直径直径直径是圆中是圆中是圆中是圆中最长的弦最长的弦最长的弦最长的弦。连结圆上任意两点间连结圆上任意两点间的线段叫弦的线段叫弦.1弦和直径：弦和直径：连结圆上任意两点的线段叫弦，如图23-1-2中，线段AC、AB、BC都是O的弦，其中AB是直径，直径的是圆中最长的弦圆心到弦的距离叫此弦的弦心距，如图中的线段OM的长，表示圆心到弦AC的弦心距直径是过圆心的弦，凡直径都是弦，但弦不一定都是直径 2弧和半圆：圆心任意两点间的部分叫做弧，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种一条直径把圆分成了两个半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧， 注意：注意：(1)弄清半圆与弧之间的关系，半圆是一种特殊的弧，而弧不一定是半圆；(2)在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧成立的前提首先是存在于“同圆或等圆中”OBCA 1. 1.如图如图, ,弧有弧有:_:_ABABBCBCABCABCACBACBBCABCA它们一样么？它们一样么？ABABBCBC2 .劣弧劣弧有：有：优弧优弧有：有：A ACBBABAC你知道优弧与劣弧的区别么？你知道优弧与劣弧的区别么？判断判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )3圆心角圆心角 顶点在圆心上的角叫圆心角；如图23-1-4中的AOD是圆心角圆心角具备两大特征：(1)顶点在圆心上，(2)角的两边都与圆相交， OABC顶点在圆心的角叫做圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.说出图中的圆心角说出图中的圆心角. 活动活动活动活动& & 探索探索探索探索CBOAFEDM 问：（1）FC是弦吗？为什么？（2）CMB， CMA是不是圆心角？弦有弦有：AB ， CD圆心角有圆心角有： DOE ， COE做一做做一做如图，点如图，点A，O，D以及点以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（数为（ ）A.2条条 B.3条条 C.4条条 D.5条条练习练习1.如何在操场上画出一个很大的圆如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法？说说你的方法.2.比较下图中的三条弧，先估计它们所比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确证你的结论是否正确.小结反思小结反思 通过本节课的学习，你有哪些通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？收获？还有哪些疑问？ 圆的旋转对称性.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA180 所以圆是中心对称图形。圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转180后仍与原来的圆重合。点此继续NO把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON结论结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，由此可以看出，点N仍落在圆上。继续如图中所示，如图中所示， NO N 就是一个圆心角。NON圆心角：圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。顶点在圆心的角叫圆心角。点此继续ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？有什么关系？如图：如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD?ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= COD下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图： AOB= CODABCDoABCDo上面的结论，在两个等圆中也成立。于是有下面定理:圆心角定理：在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果弧相等在同圆或等圆中，如果弧相等,那么弧所对的那么弧所对的圆心角相等圆心角相等,所对的弦相等。所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果弦相等在同圆或等圆中，如果弦相等,那么弦所对的那么弦所对的圆心角相等圆心角相等,圆心角所对的弧相等。圆心角所对的弧相等。OABCD例如图，AC与BD为O的两条互 相垂直的直径.求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA.分析OABCD例如图，AC与BD为O的两条互 相垂直的直径.求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA.分析证明分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学 的圆心角定理，应先证明什么相等？ OABCD例如图，AC与BD为O的两条互 相垂直的直径.求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=DA 证明: AC与BD为O的两条互相垂直的直径,AOB=BOC=COD=DOA=90AB=BC=CD=DA(圆心角定理)点此继续分析证明分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学 的圆心角定理，应先证明什么相等？ 如图，已知如图，已知AB为为 O 的直径，的直径，AC为弦，为弦，ODBC，交，交AC于于点点D，BC=6cm，求，求OD的长。的长。ACBDO做一做做一做做一做做一做例例1 如图，在如图，在 O中， ，145，求2的度数。 ACACBDBD 解： 因为 ，ACACBDBDACACBCBCBDBD所以 所以 2 145 D O A BC21BCBCABABCDCD2.2.如图，在如图，在O中，中，B70.求求C度数度数. 3.如如图图，AB、AC、BC都都是是 O的的弦弦，CABCBA，COB与与COA相等吗相等吗？为什么？为什么？CBADO思考思考: :在在OO中中,AB,AB、CDCD是直径是直径.AD.AD与与BCBC平行吗平行吗? ?说说你的理由说说你的理由. .四边形四边形ACBDACBD是矩形么是矩形么? ?为什么为什么? ?思 考温馨提示：温馨提示：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。圆的旋转对称性：圆的旋转对称性： 弧、弦、弦心距与圆心角的关系定理：弧、弦、弦心距与圆心角的关系定理：在同圆或等圆在同圆或等圆中中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所那么它们所对应对应的其余各量也分别相等。的其余各量也分别相等。推理形式：推理形式：（1）AOB=COD AB=CD, AB=CD(2) AB=CD AOB=COD, AB=CD, AOB=COD, AB=CD, (3) AB=CD 例例1 AB、CD是是 O的两条直径，弦的两条直径，弦BC=CE，那么弧，那么弧AD和弧和弧CE相等吗？相等吗？ 练习练习 如图所示，如图所示，AB、EF是是 O的弦，的弦，OE、OF分别交分别交AB于于C、D，且，且AE=BF，试说明，试说明OC=OD 一、复习提问一、复习提问1、过圆上一点可以作出圆的最长的弦有、过圆上一点可以作出圆的最长的弦有( )A 1条条 B 2条条 C 3条条 D 无数条无数条2、弦弦AB、CD相相交交于于点点P，AB=CD，经经过过P点点作作直直径径，求证：求证：PO平分平分DPB3、已已知知CD是是 O的的直直径径，EOD=840，AD交交 O于于B，且且AB=OC，求，求A的度数的度数例例1 ABC中中，AOB=1100，以以O为为圆圆心心，OA为为半半径径的的 O交交AB于于C，弧弧AC的度数为的度数为800，求，求B的度数的度数. .练习：练习：ABC中，中，O=900，B=200，以，以O为圆心，为圆心，OA为半径的为半径的 O分别交分别交AB、OB于于C、D，求弧，求弧CD的度数的度数 (3)(3)求证求证: :菱形各边的中点在同一个圆上菱形各边的中点在同一个圆上. .2、如如图图，OE、OF分分别别是是 O的的弦弦AB、CD的的弦弦心心距距，如如果果要要得得到到OE=OF，那那么么需需要要添加什么条件？添加什么条件？_(只需要写出一个即可只需要写出一个即可)3、如如图图，O是是EPF的的平平分分线线上上的的一一点点，以以O为为圆圆心心的的圆圆和和角角的的两两边边分分别别交交于于点点A、B和和C、D，求证，求证AB=CD4、已知如图，、已知如图，AD=BC，求证：，求证：AB=CD(1)(1)圆上各点到定点圆上各点到定点( (圆心圆心O)O)的距离都等于定长的距离都等于定长 ( (半径的长半径的长r)r)(2)(2)到定点的距离等于定长的点都在圆上到定点的距离等于定长的点都在圆上小结小结: 圆的有关性质圆的有关性质1、圆的运动定义：、圆的运动定义：在一个平面内，线段在一个平面内，线段OA绕它固定的一个绕它固定的一个端点端点O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转随之旋转所形成的图形所形成的图形-叫做圆。叫做圆。固定的端点固定的端点O O叫做叫做圆心圆心 线段线段OAOA叫做叫做半径性质性质1 1：2、圆的集合定义：、圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合圆是到定点的距离等于定长的点的集合