青岛科技大学数理学院 I.运动的描述方法运动的描述方法1.参照系参照系描述物体运动时被选作参考的另一物体描述物体运动时被选作参考的另一物体.2.运动与静止运动与静止相对于参照坐标系而言，运动质点相对于参照坐标系而言，运动质点的坐标是时间的坐标是时间 的函数，如质点坐标为常数，则为的函数，如质点坐标为常数，则为静止静止.3.运动学方程运动学方程a)矢量形式矢量形式b)分量形式分量形式直角坐标直角坐标平面极坐标平面极坐标质点力学小结质点力学小结1青岛科技大学数理学院 4.轨道轨道运动质点在空间一连串所占据的点形成的运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去 而得而得.II.速度与加速度速度与加速度1.矢量形式矢量形式2.分量形式（平面）分量形式（平面）速速速速 度度度度加加加加 速速速速 度度度度轴轴轴轴 向向向向径径径径 向向向向横横横横 向向向向切切切切 向向向向 法法法法 向向向向2青岛科技大学数理学院 III.平动参照系平动参照系1.匀速直线运动参照系匀速直线运动参照系（绝对速度（绝对速度=牵连速度牵连速度+相对速度）相对速度）（绝对加速度（绝对加速度=相对加速度）相对加速度）2.加速直线运动参照系加速直线运动参照系（绝对速度（绝对速度=牵连速度牵连速度+相对速度）相对速度）（绝对加速度（绝对加速度=牵连加速度牵连加速度+相对加速度）相对加速度）IV.质点运动微分方程质点运动微分方程1.自由质点自由质点a)矢量形式矢量形式3青岛科技大学数理学院 b)分量形式分量形式直角坐标直角坐标平面极坐标平面极坐标2.非自由质点非自由质点取消约束，代以约束反作用力，就取消约束，代以约束反作用力，就可以把非自由质点视为自由质点，再和约束方程联可以把非自由质点视为自由质点，再和约束方程联立求解立求解.3.理想线约束理想线约束用下列内禀方程，并用约束方程求用下列内禀方程，并用约束方程求4青岛科技大学数理学院 V.非惯性参照系非惯性参照系1.牛顿运动定律成立的参照系叫做惯性参照系牛顿运动定律成立的参照系叫做惯性参照系.2.牛顿运动定律不能成立的参照系叫做非惯性参照系牛顿运动定律不能成立的参照系叫做非惯性参照系.3.对于非惯性参照系，只要加上适当的惯性力，则牛对于非惯性参照系，只要加上适当的惯性力，则牛顿运动定律就顿运动定律就“仍然仍然”可以成立可以成立.4.相对于惯性参照系作加速平动的参照系所要加的惯相对于惯性参照系作加速平动的参照系所要加的惯性力为性力为 ， 是质点的质量，是质点的质量， 牵连加速度牵连加速度.5青岛科技大学数理学院 VI.功与能功与能1.功是一个线积分，一般随路径而异其值功是一个线积分，一般随路径而异其值.2.能能物体作功的本领，功是能量变化的量度物体作功的本领，功是能量变化的量度.3.动能动能 ， 是质点的质量，是质点的质量， 是质点运是质点运动的速度动的速度.4.势能势能若若 ，则力所作的功与路径无关，只与两，则力所作的功与路径无关，只与两端点的位置有关，这种力叫做保守力，在保守力场端点的位置有关，这种力叫做保守力，在保守力场中，函数中，函数 就是质点在就是质点在 点上相对点上相对于某一规定零点的势能于某一规定零点的势能.6青岛科技大学数理学院 VII.质点动力学的几个基本定理与基本守恒律质点动力学的几个基本定理与基本守恒律1.动量定理与动量守恒律动量定理与动量守恒律a)动量动量b)动量定理动量定理c)动量守恒律动量守恒律2.动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒a)动量矩动量矩对一点的动量矩对一点的动量矩对一直线的动量矩对一直线的动量矩先求对线上任一点的动量先求对线上任一点的动量矩，再将其投影到该线上即可，如矩，再将其投影到该线上即可，如7青岛科技大学数理学院 b)力矩力矩c)动量矩定理动量矩定理 或或d)动量矩守恒律动量矩守恒律或或8青岛科技大学数理学院 3.动能定理与机械能守恒律动能定理与机械能守恒律a)动能定理动能定理b)机械能守恒律机械能守恒律对保守力成立对保守力成立4.各守恒律都是运动微分方程的第一积分，至于诸常各守恒律都是运动微分方程的第一积分，至于诸常数则由初始条件决定数则由初始条件决定.VIII.有心力有心力1.力心力心作用力恒通过的某一定点叫力心作用力恒通过的某一定点叫力心.2.一般性质一般性质a)有心力有心力 是保守力是保守力.b)有心力作用下动量矩守恒，有心力作用下动量矩守恒， ，如，如为直角坐标系，则为直角坐标系，则 .c)有心力问题中采用极坐标描述较方便有心力问题中采用极坐标描述较方便.9青岛科技大学数理学院 3.轨道微分方程（比耐公式）轨道微分方程（比耐公式）4.平方反比引力平方反比引力行星的运动行星的运动轨道方程轨道方程圆锥曲线，且原点在力心上圆锥曲线，且原点在力心上其偏心率其偏心率 ，以此与圆锥曲线的，以此与圆锥曲线的标准式相比较，可知标准式相比较，可知 ， ，轨道为椭圆；，轨道为椭圆； ， ，轨道为抛物线；，轨道为抛物线； ， 轨道为双曲线轨道为双曲线. 10青岛科技大学数理学院 5.开普勒定律开普勒定律a)行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于其中一点焦点上行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于其中一点焦点上.b)行星和太阳之间的连线（矢径），在相等时间内所行星和太阳之间的连线（矢径），在相等时间内所扫过的面积相等扫过的面积相等 .c)行星运动时周期的平方和轨道半长轴的立方成正比行星运动时周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.6.万有引力定律万有引力定律可由牛顿定律和开普勒定律推出可由牛顿定律和开普勒定律推出.7.宇宙速度宇宙速度a)第一宇宙速度第一宇宙速度 ，绕地球转，绕地球转. b)第二宇宙速度第二宇宙速度 ，脱离地球最小速度，脱离地球最小速度.c)第三宇宙速度第三宇宙速度 ，脱离太阳系最小速度，脱离太阳系最小速度.11青岛科技大学数理学院 8.圆形轨道稳定性的判据圆形轨道稳定性的判据a)轨道为双曲线的一支，力心在轨道凸的一边，与引轨道为双曲线的一支，力心在轨道凸的一边，与引力的情况不同力的情况不同.9.平方反比斥力平方反比斥力 质点的散射质点的散射b)瞄准距离瞄准距离 和偏转角和偏转角 之间的关系之间的关系c)卢瑟福公式卢瑟福公式用散射截面用散射截面 代代12青岛科技大学数理学院 1.1 一根杆子穿过可绕定点一根杆子穿过可绕定点 转动的套管，杆的转动的套管，杆的 端以端以匀速匀速 沿固定直线沿固定直线 滑动滑动 . 求杆上求杆上 点的轨道方程、速点的轨道方程、速度及加速度，以角度及加速度，以角 的函数表示，的函数表示， 设设 .解解 点坐标点坐标即即消去消去 即得轨道方程即得轨道方程补补 充充 例例 题题13青岛科技大学数理学院 求速度求速度即即14青岛科技大学数理学院 求速度求速度15青岛科技大学数理学院 其中，其中， 为点的速度，为点的速度， 为轨迹的曲率半径为轨迹的曲率半径 .1.2 有一划平面曲线轨迹的点，其速度在有一划平面曲线轨迹的点，其速度在 轴上的投影轴上的投影于任何时刻均为常数于任何时刻均为常数 . 试证此情况下，加速度的量值试证此情况下，加速度的量值可以用下式表示可以用下式表示其中，其中， 为点的速度，为点的速度， 为轨迹的曲率半径为轨迹的曲率半径 .证证得证得证16青岛科技大学数理学院 1.3 一质点用一轻的弹性绳系于固定点一质点用一轻的弹性绳系于固定点 ，绳固有的长，绳固有的长度为度为 . 当悬挂质点平衡后，绳的长度为当悬挂质点平衡后，绳的长度为 . 今令质今令质点从点从 处自静止状态开始下降，试讨论质点在处自静止状态开始下降，试讨论质点在 间的间的运动规律运动规律 . 并求质点从并求质点从 落至最低点落至最低点 （开始返回）的（开始返回）的位置及所需的时间位置及所需的时间.由功能关系，可得由功能关系，可得解解 点位置点位置 为弹性绳的劲度系数为弹性绳的劲度系数 . 由胡克定律，得由胡克定律，得所以所以即即 在在 下方下方 处处 .17青岛科技大学数理学院 质点在质点在 间的运动规律：间的运动规律：质点从质点从 到到 的过程为自由落体，故有的过程为自由落体，故有以以 为原点，为原点， 为为 轴，则质点在轴，则质点在 间的运动微分方程为间的运动微分方程为即即令令则则其通解为其通解为其中，其中， 及及 为积分常数为积分常数 .18青岛科技大学数理学院 确定积分常数：确定积分常数：设设故故即即由此可得质点在由此可得质点在 间的运动规律为间的运动规律为19青岛科技大学数理学院 质点从质点从 到到 需要的时间需要的时间质点从质点从 到到 为自由落体，需要的时间为为自由落体，需要的时间为质点从质点从 到到 为谐振动，且至为谐振动，且至 返回，而返回，而 ，所以，所以， ，即，即故质点从故质点从 到到 需要的总时间为需要的总时间为20青岛科技大学数理学院 1.4 一质点穿在一光滑抛物线轴线上方一质点穿在一光滑抛物线轴线上方 处，并从此处处，并从此处无初速地滑下，抛物线方程为无初速地滑下，抛物线方程为 ，式中，式中 为一常为一常数数 . 问滑至何处曲线对质点的反作用力将改变符号？问滑至何处曲线对质点的反作用力将改变符号？解解 质点的运动微分方程为质点的运动微分方程为由由 式可得式可得即即在在 处，反作用力改变符号，由处，反作用力改变符号，由得得21青岛科技大学数理学院 在在 处，反作用力改变符号，由处，反作用力改变符号，由可知可知即即将将 、 及及 代入代入 得得所以所以 改变符号处的改变符号处的 为方程为方程 的根的根 .22青岛科技大学数理学院 1.5 质量为质量为 的质点的质点 ，在光滑的水平桌面上运动，在光滑的水平桌面上运动 . 在在此质点上系着一根轻绳，绳子穿过此质点上系着一根轻绳，绳子穿过 桌面上一小孔桌面上一小孔 ，另，另一端挂一相同的质点一端挂一相同的质点 . 若质点若质点 在桌面上距离在桌面上距离 点点为的为的 的地方，沿垂直于的地方，沿垂直于 的方向以速度的方向以速度 射射出，证明此质点在之后运动中离出，证明此质点在之后运动中离 点的距离必在点的距离必在 及及 之间之间 .解解 采用极坐标，质点采用极坐标，质点 和和 的的运动微分方程分别为运动微分方程分别为 点点 点点23青岛科技大学数理学院 由由 及及 可可得得由已知条件知由已知条件知即即利用利用 将将 中的中的 消去，得消去，得24青岛科技大学数理学院 令令 ，得，得即即（舍）（舍）所以质点在之后的运动中离所以质点在之后的运动中离 点的距离在点的距离在 及及 之间之间.25青岛科技大学数理学院 1.31.3、 1.61.6、 1.71.7、 1.81.8 1.91.9、 1.111.11、 1.151.15、 1.181.181.221.22、 1.291.29、 1.361.36、 1.371.371.391.39、 1.401.40、 1.411.41、 1.461.46质点力学习题质点力学习题26青岛科技大学数理学院 1. 三个完全一样的匀质球放在光滑水平面上，彼此三个完全一样的匀质球放在光滑水平面上，彼此相切相切. 用一根绳子在球心的高度缠绕三球，将它们捆用一根绳子在球心的高度缠绕三球，将它们捆扎起来扎起来. 又将第四个相同的球放在三球之上又将第四个相同的球放在三球之上. 求绳中求绳中的张力的张力 . 已知每个球的重量为已知每个球的重量为 .27青岛科技大学数理学院 2. 质点作平面运动，其加速度矢量质点作平面运动，其加速度矢量 始终通过某始终通过某个定点个定点 . 试证试证 ， 是质点与是质点与 的距离的距离.证明证明采用极坐标系，以采用极坐标系，以 点为极点，则点为极点，则即即质点作平面运动时，其速度为质点作平面运动时，其速度为由此可得由此可得得证得证28青岛科技大学数理学院 1.3 曲柄曲柄 ，以匀角速，以匀角速 绕定点绕定点 转动（如图所转动（如图所示）示）. 此曲柄借连杆此曲柄借连杆 使滑块使滑块 沿直线沿直线 运动运动. 求连求连杆上杆上 点的轨道方程及速度点的轨道方程及速度. 设设 ， ， .解解 （1）由题分析可知，）由题分析可知， 点点坐标为坐标为 中，由正弦定理可得中，由正弦定理可得29青岛科技大学数理学院 又因又因所以所以即即化简整理可得化简整理可得这就是这就是 点的轨道方程点的轨道方程 .30青岛科技大学数理学院 （2）求）求 点的速度点的速度其中其中31青岛科技大学数理学院 1.6 一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为 及及 ，式中，式中 及及 是常数是常数 . 试证其沿位矢及垂直于位矢的试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度为加速度为证证 由题意可知，质点径向速度和横向速度分别为由题意可知，质点径向速度和横向速度分别为质点径向加速度和横向加速度分别为质点径向加速度和横向加速度分别为32青岛科技大学数理学院 得证得证.33青岛科技大学数理学院 1.7 试自试自出发，计算出发，计算 及及 . 并由此推出径向加速度并由此推出径向加速度 及横向及横向加速度加速度 .解解 由图可知由图可知34青岛科技大学数理学院 由图可知由图可知35青岛科技大学数理学院 1.8 直线直线 在一给定的椭圆平面内以匀角速在一给定的椭圆平面内以匀角速 绕其焦绕其焦点点 转动转动 . 求此直线与椭圆的交点求此直线与椭圆的交点 的速度的速度. 已知以焦已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为式中式中 为椭圆的半长轴，为椭圆的半长轴， 为偏心率，都是常数为偏心率，都是常数 .解解 点的坐标为点的坐标为36青岛科技大学数理学院 37青岛科技大学数理学院 1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数质点作平面运动，其速率保持为常数. 试证其试证其速度矢量速度矢量 与加速度矢量与加速度矢量 正交正交.证证质点作平面运动，设其速度表达式为质点作平面运动，设其速度表达式为令令 为位矢与为位矢与 轴正向的夹角，则轴正向的夹角，则即速度矢量即速度矢量 与加速度矢量与加速度矢量 正交正交.38青岛科技大学数理学院 1.11 质点沿着半径为质点沿着半径为 的圆周运动，其加速度矢量与速的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角度矢量间的夹角 保持不变保持不变 . 求质点的速度随时间变化求质点的速度随时间变化的规律的规律 . 已知初速度为已知初速度为 .解解 由题可知加速度和速度之间的关系为由题可知加速度和速度之间的关系为39青岛科技大学数理学院 1.15 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后影后2米的甲板，篷高米的甲板，篷高4米米 . 但当船停航时，甲板上干湿但当船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前两部分的分界线却在篷前3米米 . 如果雨点速度为如果雨点速度为8米米/秒，秒，求船的速率求船的速率 .解解 根据题意画出示意图根据题意画出示意图故故因因所以所以40青岛科技大学数理学院 由图可知由图可知41青岛科技大学数理学院 1.18 一质点自倾角为一质点自倾角为 的斜面上方的的斜面上方的 点，沿一光滑斜点，沿一光滑斜槽槽 下降下降 . 欲使此质点到达斜面上的时间最短，问斜槽欲使此质点到达斜面上的时间最短，问斜槽 与竖直线所成的夹角与竖直线所成的夹角 应为何值？应为何值？解解 根据题意画出示意图，对质根据题意画出示意图，对质点进行受力分析，可知点进行受力分析，可知设设 ， ，由正弦定理可得，由正弦定理可得42青岛科技大学数理学院 又因质点沿又因质点沿 光滑面下滑，所以质点作匀加速直线运动光滑面下滑，所以质点作匀加速直线运动即即欲使欲使 取极小值，只需取极小值，只需 取极大取极大值即可，令值即可，令43青岛科技大学数理学院 即即此时，此时， 取极大值，故取极大值，故 取极小取极小值，即值，即 时质点到达时质点到达 时间最短时间最短 .44青岛科技大学数理学院 1.22 如向互相垂直的匀强电磁场如向互相垂直的匀强电磁场 、 中发射一电子，中发射一电子，并设电子初速度并设电子初速度 与与 及及 垂直垂直 . 试求电子的运动规试求电子的运动规律律 . 已知此电子所受的力为已知此电子所受的力为 ，式中，式中 为为电场强度，电场强度， 为磁感应强度，为磁感应强度， 为电子所带的电荷，为电子所带的电荷， 为为任一瞬时电子运动的速度任一瞬时电子运动的速度 .解解 设题中各量的方向如图，则电设题中各量的方向如图，则电子所受的力为子所受的力为电子的运动方程为电子的运动方程为45青岛科技大学数理学院 由由知知代入代入并整理可得并整理可得即即46青岛科技大学数理学院 齐次方程齐次方程 的通解为的通解为非齐次方程非齐次方程的特解为的特解为故非齐次方程故非齐次方程的通解为的通解为47青岛科技大学数理学院 代入初始条件代入初始条件得得代入代入可得可得所以所以48青岛科技大学数理学院 代入初始条件代入初始条件 ，可得，可得 ，所以，所以49青岛科技大学数理学院 1.29 一质量为一质量为 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速度地的质点自光滑圆滚线的尖端无初速度地下滑下滑 . 试证明在任何一点的压力为试证明在任何一点的压力为 ，式中，式中 为为水平线和质点运动方向之间的夹角水平线和质点运动方向之间的夹角 . 已知圆滚线方程为已知圆滚线方程为解解 由曲线运动质点的受力分析可知由曲线运动质点的受力分析可知求曲线上任一点的曲率半径求曲线上任一点的曲率半径（法向）（法向）（切向）（切向）50青岛科技大学数理学院 由由式得式得即即所以所以由由得得得证得证51青岛科技大学数理学院 1.36 检验下列的力是否是保守力检验下列的力是否是保守力 . 如果是，求出其势能如果是，求出其势能 .(a)解解 保守力保守力 应满足条件应满足条件(a)此力是保守力此力是保守力 .52青岛科技大学数理学院 其势能为其势能为(b)同同(a)，可以证明，可以证明其势能为其势能为为势能零点为势能零点 .为势能零点为势能零点 .53青岛科技大学数理学院 1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能：下形式的势能：试求试求(a) 中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较相比较 .(b) 求质量为求质量为 的粒子作半径为的粒子作半径为 的圆周运动的动量的圆周运动的动量矩矩 及能量及能量 .解解 中子与质子之间的引力中子与质子之间的引力 为为54青岛科技大学数理学院 动量矩动量矩(b) 质量为质量为 的粒子作半径为的粒子作半径为 的圆周运动，选极坐的圆周运动，选极坐标系标系故，粒子速度故，粒子速度提供粒子作圆周运动的向心力，故提供粒子作圆周运动的向心力，故两边同乘以两边同乘以 ，得，得55青岛科技大学数理学院 动能动能势能势能所以，粒子作半径为所以，粒子作半径为 的圆周运动时，总能量为的圆周运动时，总能量为56青岛科技大学数理学院 1.39 一质点受一与距离一质点受一与距离 次方成反比的引力作用在次方成反比的引力作用在一直线上运动一直线上运动 . 试证此质点自无穷远到达试证此质点自无穷远到达 时的速率时的速率和自和自 静止出发到达静止出发到达 时的速率相同时的速率相同 .证证 设此力为设此力为当质点从无穷远处到达当质点从无穷远处到达 时，对时，对 式两边积分得式两边积分得由牛顿第二定律可得由牛顿第二定律可得即即57青岛科技大学数理学院 当质点从当质点从 处静止出发到达处静止出发到达 时，对时，对 式两边积分得式两边积分得所以此质点自无穷远到达所以此质点自无穷远到达 时的速率和自时的速率和自 静止出发静止出发到达到达 时的速率相同时的速率相同 .58青岛科技大学数理学院 1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动运动 . 质点的质量为质点的质量为 ，比例系数为，比例系数为 . 如此质点从如此质点从距离原点距离原点 为为 的地方由静止开始运动，求其到达的地方由静止开始运动，求其到达 点所需要的时间点所需要的时间 .解解 设此力为设此力为对上式积分可得质点在任一位置的速率对上式积分可得质点在任一位置的速率由牛顿第二定律可得由牛顿第二定律可得即即59青岛科技大学数理学院 令令 ，变量代换可得，变量代换可得60青岛科技大学数理学院 1.41 试导出下面有心力量值的公式试导出下面有心力量值的公式其中，其中， 为质点质量，为质点质量， 为质点到力心的距离，为质点到力心的距离， 为一常数，为一常数， 为力心到轨道切线的垂直距离为力心到轨道切线的垂直距离 .证证 得证得证61青岛科技大学数理学院 1.46 质点在有心力作用下运动，此力的量值为质点到力质点在有心力作用下运动，此力的量值为质点到力心距离心距离 的函数，而质点的速率则与此距离成反比，即的函数，而质点的速率则与此距离成反比，即 . 如果如果 ，求质点的，求质点的 轨道方程轨道方程 . 设当设当 时，时， .解解即即62青岛科技大学数理学院 两边积分两边积分即即63青岛科技大学数理学院 1. 质点质点A以匀速以匀速 在圆周在圆周 上运行，上运行， 它通过长为它通过长为 的杆带动质点的杆带动质点B在直线在直线 上滑上滑动动. 求质点求质点B的速度的速度.练练 习习解解 设任意时刻设任意时刻A和和B的坐标分别的坐标分别为为 和和 ，则，则设任意时刻，质点设任意时刻，质点A与圆心的与圆心的连线在连线在 平面上的投影相对平面上的投影相对于于 轴的夹角为轴的夹角为 ，则有，则有64青岛科技大学数理学院 设初始时刻设初始时刻 ，可得，可得由题意可知由题意可知由此可得由此可得65