一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用必备条件：必备条件：一个未知数，最高次数是一个未知数，最高次数是2，整式方程，整式方程一般形式：一般形式：ax+bx+c=0（a 0且且abc都为常都为常数）数）直接开平方法：直接开平方法：适应于形如（适应于形如（x-k） =h（h0）型）型 配方法：配方法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程公式法：公式法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程因式分解法：因式分解法：适应于左边能分解为两个一次式的积，适应于左边能分解为两个一次式的积， 右边是右边是0的方程的方程实际应用实际应用(方程建立模型）方程建立模型）数学思想方法数学思想方法：转化思想、转化思想、配方法、换元法。配方法、换元法。一元二次方程知识网络一元二次方程知识网络判断下列方程是不是一元二次方程判断下列方程是不是一元二次方程（1）4x- x + =0 （2）3x - y -1=0 （3）ax +x+c=0 （4）x + =03x-1=030-13x-8x+4=03-842.用用配配方方法法解解方方程程x2-2x-1=0时，配配方方后后所所得得的的方方程程为()A.(x+1)2=0B.(x-1)2=0C.(x+1)2=2D.(x-1)2=2【解析解析】x x2 2-2x-1=0-2x-1=0 x x2 2-2x=1-2x=1 x x2 2-2x+1=2-2x+1=2 (x-1) (x-1)2 2=2.=2. 所以选所以选D DD3.一一元元二二次次方方程程(x+6)2=16可可转化化为两两个个一一元元一一次次方方程程，其其中中一一个个一一元元一一次次方方程程是是x+6=4，则另另一一个个一一元元一一次次方方程是程是()A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【解析解析】 (x+6)(x+6)2 2=(4)=(4)2 2，所以所以x+6=4x+6=4，所以另一个方程是所以另一个方程是x+6=-4.x+6=-4.所以选所以选D DD4.一元二次方程一元二次方程x2-3x=0的根是的根是.【解析解析】因为因为x x2 2-3x=0-3x=0，所以，所以x(x-3)=0x(x-3)=0，所以所以x=0x=0或或x-3=0x-3=0，所以，所以x x1 1=0=0，x x2 2=3.=3.答案：答案：x x1 1=0=0，x x2 2=3=3x x1 1=0=0，x x2 2=3=35.方程方程x2-2x-2=0的解是的解是.【解析解析】因为因为a=1a=1，b=-2b=-2，c=-2c=-2，b b2 2-4ac=4+8=120-4ac=4+8=120，所以所以 答案：答案：6.一元二次方程一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是的根的情况是()A.有两个不相等的有两个不相等的实数根数根B.有两个相等的有两个相等的实数根数根C.只有一个只有一个实数根数根D.没有没有实数根数根【解析解析】由由b b2 2-4ac=(-4)-4ac=(-4)2 2-415=16-20=-40-415=16-20=-40，所以一元二次方程所以一元二次方程x x2 2-4x+5=0-4x+5=0没有实数根没有实数根. .所以选所以选D DD【变式训练变式训练】如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是的取值范围是()A.kB.k且且k0C.kD.k且k0【解析解析】根据题意，得根据题意，得解得解得 且且k0.k0.选选D.D.D例例1 ：用适当的方法求解下列方程：用适当的方法求解下列方程1)（3x -2）-49=0 2)（3x -4）=（4x -3） 3)4y = 1 - y例例2 【典例典例】解方程：解方程：2(x-3)=3x(x-3).【误区警示误区警示】1.若若x=1是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，的解，则6m+2n=.【解析解析】将将x=1x=1代入关于代入关于x x的方程的方程x x2 2+3mx+n=0+3mx+n=0，得，得3m+n=-13m+n=-1，则则6m+2n=2(3m+n)=-2.6m+2n=2(3m+n)=-2.答案：答案：-2-21.若若x=1是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，的解，则6m+2n=.【解析解析】将将x=1x=1代入关于代入关于x x的方程的方程x x2 2+3mx+n=0+3mx+n=0，得，得3m+n=-13m+n=-1，则则6m+2n=2(3m+n)=-2.6m+2n=2(3m+n)=-2.答案：答案：-2 -2 -22.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根有一个非零根-b，则a-b的的值为()A.1B.-1C.0D.-2【解析解析】选选A.A.关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+ax+b=0+ax+b=0有一个有一个非零根非零根-b-b，b b2 2-ab+b=0-ab+b=0，-b0-b0，b0b0，方程两边同时除以方程两边同时除以b b，得，得b-a+1=0b-a+1=0，a-b=1.a-b=1.故选故选A.A.A例例3.用配方法证明：关于用配方法证明：关于x的方程的方程（m -12m +37）x +3mx+1=0，无论，无论m取何值，此方程都是一元二次方程取何值，此方程都是一元二次方程.证明：证明：关于关于x的方程（的方程（m -12m +37）x +3mx+1=0的二次的二次项系数系数 m -12m +37 = m -12m +36+1 =（m-6）2+1又又 不不论m为何何值，（，（m-6）2 0 m -12m +37 =（m-6）2+10不不论m为何何值，此方程都是一元二次方程此方程都是一元二次方程.a2+a例例4.如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程(a-1)x +ax+1=0的一个的一个整数根恰好是关于整数根恰好是关于x的方程的方程(m2+m)x2+3mx-3=0的一个根，的一个根，试求试求a和和m的值。的值。解：因为解：因为一元二次一元二次方程方程(a-1)x +ax+1=0a2+a所以所以a2+a=2a-1 0得得a=-2或或1a1则则a=-2一元二次一元二次方程方程(a-1)x +ax+1=0为为-3x2-2x+1=0a2+a解得解得x1=x2=-1由题意得：由题意得：把把x=-1代入代入方程方程(m2+m)x2+3mx-3=0得得m1=-1m2=3小小结结：1.通过复习，要形成知识系统，构成知通过复习，要形成知识系统，构成知识网络；识网络；2.复习中要把握知识内容的本质东西，复习中要把握知识内容的本质东西，尤其是数学的思想方法尤其是数学的思想方法.如转化思想；换元如转化思想；换元法、配方法等；法、配方法等；3.今后的学习，要注重在知识的形成过程今后的学习，要注重在知识的形成过程中，善于发现并加以发展和创新；中，善于发现并加以发展和创新；4.养成认真审题；善于思考；做题严谨、养成认真审题；善于思考；做题严谨、格式规范；勤于反思的良好个性品质格式规范；勤于反思的良好个性品质.1、用配方法解方程、用配方法解方程2x +4x +1 =0，配方后得到的方程，配方后得到的方程是是 。2、一元二次方程、一元二次方程ax +bx +c =0，若若x=1是它的一个根，则是它的一个根，则a+b+c= ，若若a -b+c=0，则方程必有一根为，则方程必有一根为 。3.方程方程2 x -mx-m =0有一个根为有一个根为 1,则则m= ，另一个根为另一个根为 。4.一元二次方程一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个的一个根根为0，则a=.（x+1）2=0-12或或-12或或15、如果等腰三角形的三条边长是、如果等腰三角形的三条边长是x2-6x+5=0的根，则的根，则这个等腰三角形的周长是（这个等腰三角形的周长是（ ） 6、设（、设（3a+3b-2)(3a+3b+1)=4 , 则则a+b的值（的值（ ）7 、 。11-或或15或或-1【规律方法规律方法】列一元二次方程解应用题的列一元二次方程解应用题的“六字诀六字诀”1.1.审审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系间的数量关系. .2.2.设设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数设未知数. .3.3.列列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程数式表示其他未知量，从而列出方程. .4.4.解解：准确求出方程的解：准确求出方程的解. .5.5.验验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题题. .6.6.答答：写出答案：写出答案. .1.某某果果园园2014年年水水果果产量量为100吨吨，2016年年水水果果产量量为144吨吨，求求该果果园园水水果果产量量的的年年平平均均增增长率率.设该果果园园水水果果产量量的的年年平平均均增增长率率为x，则根根据据题意意可可列列方方程程为()A.144(1-x)2=100B.100(1-x)2=144C.144(1+x)2=100D.100(1+x)2=144例例5.某农场要建一个长方形的养鸡场，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三），另三边用边用40m的木栏围成。的木栏围成。（1）鸡场的面积能达到）鸡场的面积能达到180m2吗？试吗？试通过计算说明。通过计算说明。（2）鸡场的面积能达到）鸡场的面积能达到250m2吗？为吗？为什么？什么？练习：练习：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加利润，元。为了扩大销售，增加利润，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出元，商场平均每天可多售出2件。件。（1）若商场平均每天要赢利）若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫元，则每件衬衫应降价多少元？应降价多少元？为尽快减少库存，以便资金周转，为尽快减少库存，以便资金周转，则降价多少元？则降价多少元？（2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多少元？少元？(小组合作探究小组合作探究) 例例3 某电脑销售商试销一品牌电脑某电脑销售商试销一品牌电脑(出厂为出厂为3000元元/台台) , 以以4000元元/台销售时台销售时,平均每月销平均每月销售售100台台.现为了扩大销售现为了扩大销售, 销售商决定降价销销售商决定降价销售售,在原来在原来1月份平均销售量的基础上月份平均销售量的基础上, 经经2月份月份的市场调查的市场调查, 3月份调整价格后月份调整价格后, 月销售额达到月销售额达到576000元元. 已知电脑价格每台下降已知电脑价格每台下降100元元, 月销月销售量将上升售量将上升10台台,(1)求求1月份到月份到3月份销售额的平均增长率；月份销售额的平均增长率；(2)求求3月份时该电脑的销售价格月份时该电脑的销售价格.例例5:某科技公司研制成功一种新产品，决定某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款向银行贷款200万元资金用于该产品的生产，万元资金用于该产品的生产，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的利息为本金的8%.该产品投放市场后，由于产该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈利金和利息外，还盈利72万元万元.若该公司在生产期若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数这个百分数.解：解：设这个百分数为设这个百分数为x,根据题意列方程：根据题意列方程：则：（则：（20072）（）（1+x）2=200(1+8%) 1+x= 1.30 1+x= 1.30 x x1 1= =2.30(2.30(舍去舍去) ,x) ,x2 2=0.30=0.30答：这个百分数为答：这个百分数为30%.正解：正解：设这个百分数为设这个百分数为x，根据题意列方程：根据题意列方程：200（1+x）2=200(1+8%)+72（1+x）2= 1+x=1.2x1=0.2,x2=-2.2(舍去）舍去）答：这个百分数为答：这个百分数为20%.注意：注意：列方程解应用题一定要审清题意列方程解应用题一定要审清题意.7.解方程解方程: (x2-5x)2=36