1第二章 解析函数 2.3 初等函数 2.3 初等函数初等函数一、一、指数函数指数函数二、二、对数函数对数函数三三、幂函数幂函数四四、三角函数三角函数五五、反三角函数反三角函数六六、双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数2第二章 解析函数 2.3 初等函数 复变函数中的初等函数是复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们实数域中初等函数的推广，它们两者是一样的。两者是一样的。2.3 初等函数初等函数的定义方式尽可能的定义方式尽可能保持一致。保持一致。 本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：映射关系映射关系等等。等等。定义定义、定义域定义域、运算法则运算法则、连续性连续性、解析性解析性、单值性单值性以及以及特别是当自变量取实值时，特别是当自变量取实值时，特别要注意与实初等函数的区别。特别要注意与实初等函数的区别。3第二章 解析函数 2.3 初等函数 一、一、指数函数指数函数对于复数对于复数称称定义定义为为指数函数指数函数 ,记为记为 或或注注 (1) 指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数函数都通过指数函数来定义。都通过指数函数来定义。(2) 借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆： P41定义定义 2.5 4第二章 解析函数 2.3 初等函数 一、一、指数函数指数函数性质性质 (1) 是是单值函数单值函数。事实上，对于给定的复数事实上，对于给定的复数定义中的定义中的 均为单值函数。均为单值函数。事实上，在无穷远点有事实上，在无穷远点有(2) 除无穷远点外，处处有定义。除无穷远点外，处处有定义。当当 时，时，当当 时，时，(3)因为因为5第二章 解析函数 2.3 初等函数 性质性质事实上，由事实上，由 有有(6) 是以是以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。事实上，事实上，一、一、指数函数指数函数6第二章 解析函数 2.3 初等函数 (w)(z)yxwyvu(w)一、一、指数函数指数函数(7) 映射关系：映射关系：性质性质由由有有由由 z 的实部得到的实部得到 w 的模；的模；由由 z 的虚部得到的虚部得到 w 的辐角。的辐角。xzy7第二章 解析函数 2.3 初等函数 二、二、对数函数对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数对数函数定义为指数函数的反函数。记作记作即即满足方程满足方程的函数的函数称为称为对数函数对数函数，定义定义计算计算 令令由由有有由由 z 的模得到的模得到 w 的实部的实部 ；由由 z 的辐角得到的辐角得到 w 的虚部的虚部 。 P43定义定义 2.6 8第二章 解析函数 2.3 初等函数 二、二、对数函数对数函数 显然对数函数为显然对数函数为多值函数多值函数。主值主值( (枝枝) ) 称称为为的的主值主值( (枝枝) )，记为记为故有故有分支分支( (枝枝) )特别地，当特别地，当 时时, 的主值的主值 就是实对数函数。就是实对数函数。对于任意一个固定的对于任意一个固定的 k，称，称 为为 的的一个一个分支分支( (枝枝) )。9第二章 解析函数 2.3 初等函数 二、二、对数函数对数函数性质性质在原点无定义，故它的定义域为在原点无定义，故它的定义域为(1)(2)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；在除去原点及负实轴的平面内连续。在除去原点及负实轴的平面内连续。特别地，特别地，注意到，注意到，函数函数在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。注意到，注意到，函数函数在原点无定义；在原点无定义；或者指数函数或者指数函数10第二章 解析函数 2.3 初等函数 由反函数求导法则可得由反函数求导法则可得进一步有进一步有( (在集合意义下在集合意义下) )二、二、对数函数对数函数性质性质 (3)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；在除去原点及负实轴的平面内解析。在除去原点及负实轴的平面内解析。特别地，特别地，11第二章 解析函数 2.3 初等函数 主值主值 解解 (1)(2)主值主值 12第二章 解析函数 2.3 初等函数 解解主值主值 求对数求对数 以及它的主值。以及它的主值。例例 可见，在复数域内，负实数是可以求对数的可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。 P43 例例2.11 13第二章 解析函数 2.3 初等函数 三三、幂函数幂函数称为复变量称为复变量 z 的的幂函数幂函数。 还还规定规定：当：当 a a 为正实数，且为正实数，且 时，时， ( ( 为复常数，为复常数， ) )定义定义 函数函数 规定规定为为注意注意上面利用指数函数以一种上面利用指数函数以一种“规定规定”的方式定义了幂函数，的方式定义了幂函数，但不要将这种但不要将这种“规定规定”方式反过来作用于方式反过来作用于指数指数函数，函数，?即即 P45定义定义 2.7 14第二章 解析函数 2.3 初等函数 讨论讨论此时，此时， 处处解析，且处处解析，且当当 为正整数时为正整数时, ( (单值单值) )(1)此时，此时， 除原点外处处解析，且除原点外处处解析，且当当 为负整数时为负整数时, (2)( (单值单值) )当当 时时, (3)三三、幂函数幂函数15第二章 解析函数 2.3 初等函数 讨论讨论其中，其中，m 与与 n 为互质的整数，且为互质的整数，且 (5) 当当 为无理数或复数为无理数或复数( )( )时时，当当 为有理数时为有理数时, (4)( ( 值值) )n此时，此时， 除原点与负实轴外处处解析，除原点与负实轴外处处解析，一般为一般为无穷多值。无穷多值。此时，此时， 除原点与负实轴外处处解析。除原点与负实轴外处处解析。且且三三、幂函数幂函数16第二章 解析函数 2.3 初等函数 解解 可见，可见， 是正实数，是正实数，它的主值是它的主值是例例 求求 的值。的值。求求 的值。的值。例例解解 可见，不要想当然地认为可见，不要想当然地认为P46 17第二章 解析函数 2.3 初等函数 四四、三角函数三角函数启示启示 由欧拉公式由欧拉公式有有余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数定义定义 P47定义定义 2.8 18第二章 解析函数 2.3 初等函数 四四、三角函数三角函数性质性质 周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样； 各种三角公式以及求导公式可以照搬；各种三角公式以及求导公式可以照搬； 有界性有界性( (即即 ) )不成立。不成立。( (略略) ) 19第二章 解析函数 2.3 初等函数 例例 求求根据定义，有根据定义，有解解例例 求求根据定义，有根据定义，有解解20第二章 解析函数 2.3 初等函数 五五、反三角函数反三角函数记为记为如果如果定义定义则称则称 w 为复变量为复变量 z 的的反余弦函数反余弦函数，计算计算 由由 同理可得同理可得 P49定义定义 2.9 21第二章 解析函数 2.3 初等函数 六六、双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲正切函数双曲正切函数双曲余切函数双曲余切函数双曲正弦函数双曲正弦函数定义定义双曲余弦函数双曲余弦函数 P49定义定义 2.10 22第二章 解析函数 2.3 初等函数 六六、双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数反双曲正切函数反双曲正切函数反双曲余弦函数反双曲余弦函数反双曲正弦函数反双曲正弦函数定义定义反双曲余切函数反双曲余切函数P50