两类问题: 在收敛域内和函数求 和展 开本节本节内容内容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 7.5 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七章 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为马克劳林级数马克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :定义定义 若函数的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理则 f (x) 在I内能展 开成泰勒级数充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令设函数 f (x) 在区间 I内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当x0 = 0 时, 即得到f (x)的马克劳林展开式马克劳林展开式.二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下（关于 x的幂级数） :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 将展开成 x 的幂级数.解解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可推出:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解解: 易求出 于是得 级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应的二项展开式分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 将展成解解: 的幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 将展成 x1 的幂级数. 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 m = 1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束