八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 人人 学习新知学习新知检测反馈检测反馈第十四章第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解学学 习习 新新 知知【问题【问题2】运用提公因式法分解因式的步骤】运用提公因式法分解因式的步骤是什么是什么?【问题【问题1】你能叙述多项式因式分解的定义】你能叙述多项式因式分解的定义吗吗?【问题【问题3】你能将】你能将a2-b2分解因式吗分解因式吗?你是如你是如何思考的何思考的?知识回顾知识回顾一、问题探究一、问题探究在边长为在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为的正方形中挖掉一个边长为b b 的的小正方形小正方形( (ab)()(如图如图左下图左下图所示所示) ). .把余下的把余下的部分恰好剪拼成一个矩形部分恰好剪拼成一个矩形( (如图如图右下图右下图所示所示),),通过计算两个图形通过计算两个图形( (阴影部分阴影部分) )的面积的面积, ,可可以得到一个怎样的等式以得到一个怎样的等式? ? 右右图中阴影部分为矩形图中阴影部分为矩形(长为长为a+b,宽为宽为a-b),面积为面积为(a+b)(a-b).因此因此(a+b)(a-b)=a2-b2或或a2-b2=(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=a2-b2是乘法是乘法公式公式,而反过来而反过来a2-b2=(a+b)(a-b)这是因式分这是因式分解的另一种方法解的另一种方法公式法公式法. 通过图形可以知道通过图形可以知道, ,右右图是由图是由左左图拼成图拼成的的, ,它们的面积相等它们的面积相等, ,左左图中阴影部分的面积图中阴影部分的面积为为a2-b2;把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就可得到分解因式中的平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b) 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.思考思考此公式有何特点?(1)左边是二项式,两项均能写成完全平方的形式,且符号相反;(2)右边是这两个数的和与这两个数的差的积.(1)x2-4=x2-22=(x+2)(x-2);(2)x2-16=(x)2-()2=()();(3)9-y2=()2-()2=()();(4)1-a2=()2-()2=()().x4x+4x-43y3+y3-y1a1+a1-a你能由以上知识分解下列几个多项式吗?例1分解因式.(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.a2-b2=(a+b)(a-b) 2xx+p3x+q说说明明公式中的a与b可以表示一个数,也可以表示一个单项式,甚至是多项式,解:(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)(x+p)2-(x+q)2=(x+p)+(x+q)(x+p)-(x+q)=(2x+p+q)(p-q).例2分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.但分解到(x2+y2)(x2-y2)后,必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止.(2)不能直接利用平方差公式分解因式不能直接利用平方差公式分解因式,但通但通过观察可以发现过观察可以发现a3b-ab有公因式有公因式ab,应先提出应先提出公因式公因式,再进一步分解再进一步分解.(1)(1)多项式分解因式的结果要化简多项式分解因式的结果要化简; ;(2)(2)在化简过程中要正确应用去括号在化简过程中要正确应用去括号法则法则, ,并注意合并同类项并注意合并同类项; ;(3)(3)分解因式分解因式, ,必须进行到每一个因必须进行到每一个因式都不能再分解为止式都不能再分解为止. .1.公式:a2-b2=(a+b)(a-b).2.法则:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.知识小结3.注意:(1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反;(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差;(3)在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在因式分解中,“平方差”是要分解因式的多项式;(4)平方差公式的使用条件:如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.B解析: a2-9=(a+3)(a-3).故选B.检测反馈检测反馈1.将a2-9分解因式的结果是() A.(a+9)(a-9) B.(a+3)(a-3)C.(a+3)2D.(a-3)2B2.将(a-1)2-1分解因式,结果正确的是 ()A.a(a-1) B.a(a-2)C.(a-2)(a-1)D.(a-2)(a+1)解析:原式=(a-1+1)(a-1-1)=a(a-2).故选B.3.计算552-152的结果是()A.40B.1600C.2400 D.2800D解析:552-152=(55+15)(55-15)=7040=2800.故选D.4.用平方差公式分解因式.(1)36-x2;(2)-a2+b2;(3)x2-16y2;(4)x2y2-z2;(5)(x+2)2-92;(6)(x+a)2-(y+b)2;(7)25(a+b)2-4(a-b)2;(8)a2-16.解析:直接利用平方差公式进行因式分解.(4)原式=(xy+z)(xy-z).解:(1)原式=(6+x)(6-x).(2)原式=(b+a)(b-a).(3)原式=(x+4y)(x-4y).(8)原式=(a+4)(a-4).(5)原式=(x+2)+9(x+2)-9=(x+11)(x-7).(6)原式=(x+a)+(y+b)(x+a)-(y+b)=(x+a+y+b)(x+a-y-b).(7)原式=5(a+b)+2(a-b)5(a+b)-2(a-b)=(7a+3b)(3a+7b).【必做题】教材第117页练习第1,2题.【选做题】教材第119页习题14.3第2题.布置作业