第3章 趋势外推预测法n基本思想n拟合直线法n曲线趋势外推法1某家用电器厂某家用电器厂1993199320032003年利润额数据资料年利润额数据资料年份年份1993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利润额利润额y yt t200200300300350350400400500500630630700700750750850850950950102010202某商场某种商品过去9个月的销量某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料3某家用电器厂某家用电器厂1993199320032003年利润额数据资料年利润额数据资料4某商场某种商品过去9个月的销量某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料5某家用电器厂某家用电器厂1993199320032003年利润额数据资料年利润额数据资料y2004预测y2005预测6某商场某种商品过去9个月的销量y11预测Y10预测7y2004预测y2005预测某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料8趋势外推法概述趋势外推法概述某一些客观事物（如：经济现象）的发展相对于时间推某一些客观事物（如：经济现象）的发展相对于时间推移，常常有一定的规律。这时，若预测对象变化无明显的季移，常常有一定的规律。这时，若预测对象变化无明显的季节波动，又能找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势，即节波动，又能找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势，即可建立其趋势模型：可建立其趋势模型：当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来的某当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来的某个个 t 值就可得到相应时序未来值，这就是趋势外推法。值就可得到相应时序未来值，这就是趋势外推法。9假设条件假设条件：1.技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去技术的技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去技术的发展，而且在很大程度上决定了其未来的发展。即某发展，而且在很大程度上决定了其未来的发展。即某项技术在其过去、现在、未来的发展过程中，内、外项技术在其过去、现在、未来的发展过程中，内、外因相对保持不变。因相对保持不变。2.其变化属渐进式变化，而不属于跳跃式变化。其变化属渐进式变化，而不属于跳跃式变化。惯性原理惯性原理103.1 直线趋势外推法直线趋势外推法n适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。的情形。n此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。11例例3.13.1 某某家家用用电电器器厂厂1993199320032003年年利利润润额额数数据据资资料料如如表表3.13.1所示。试预测所示。试预测20042004、20052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份1993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利润额利润额y yt t20020030030035035040040050050063063070070075075085085095095010201020 ？ ？12?二、拟合直线方程法13最小二乘法最小二乘法n离差与离差平方ee最小拟合程度最好1415最小二乘原理n简单讲，使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而求得模型参数的方法。n法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。n最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。16 x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13代入相应的x，得出的y作为预测值17例例3.13.1 某某家家用用电电器器厂厂1993200319932003年年利利润润额额数数据据资资料料如如表表3.13.1所示。试预测所示。试预测20042004、20052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份1993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利润额利润额2002003003003503504004005005006306307007007507508508509509501020102018年份年份利润额利润额yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780490060007650950011220预测值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.310186650665064900019x 对称编号 ?x 的编号的影响：n对预测结果没有影响n对斜率b没有影响n对截距a有影响20拟合直线方程法的拟合直线方程法的特点特点n 只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。n 对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。n 用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使趋势值都落在拟合的直线上。使趋势值都落在拟合的直线上。213.2 加权拟合直线方程法加权拟合直线方程法n拟合直线方程法拟合直线方程法的基本思想是要使的基本思想是要使预测结果预测结果与与实际数实际数据据的误差的的误差的平方和平方和达到达到最小最小。n离差平方和离差平方和 是每期的实际值是每期的实际值 与该期与该期的预测值的预测值 的偏差值的平方和，意味着：中的偏差值的平方和，意味着：中的每一项都有同样的的每一项都有同样的重要性重要性，即无论这个误差是近期，即无论这个误差是近期的或是远期的，都赋予的或是远期的，都赋予同等的权重同等的权重。n 实际上，对于预测精度来说，实际上，对于预测精度来说，近期的误差近期的误差比比远期的远期的误差误差更为重要。更为重要。22n在实践中，要按照在实践中，要按照时间先后时间先后，本着，本着重今轻远重今轻远的原则，对离差的原则，对离差平方和进行平方和进行赋权赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到到最小最小，求出，求出加权拟合直线方程加权拟合直线方程。n由近及远由近及远的离差平方和的权重分别为其中的离差平方和的权重分别为其中 ，说明对最近期数据赋予最大权重为，说明对最近期数据赋予最大权重为 1 ，而后由近及远，而后由近及远，按按 比例递减。比例递减。n各期权重衰减的速度取决于各期权重衰减的速度取决于 的取值。的取值。加权拟合直线方程法加权拟合直线方程法衰减速度越慢衰减速度越慢衰减速度越快衰减速度越快？23加权拟合直线方程法的数学模型加权拟合直线方程法的数学模型24加权拟合直线方程法的数学模型加权拟合直线方程法的数学模型？25例例3.13.1 某某家家用用电电器器厂厂1993200319932003年年利利润润额额数数据据资资料料如如表表3.13.1所示。试预测所示。试预测20042004、20052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份199319931991994 4199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利润额利润额2002003003003503504004005005006306307007007507508508509509501020102026年份年份x xt t利润额利润额y yt tn-tn-ta a(n-t(n-t) )a a(n-1)(n-1) y yt ta a(n-1) (n-1) x xt ty yt ta a(n-1) (n-1) x xt ta a(n-1) (n-1) x xt t2 2199319931 120020010100.1074 0.1074 21.474836521.4748365 21.4748364821.474836480.1073740.1073740.1073741820.107374182199419942 23003009 90.1342 0.1342 40.265318440.2653184 80.530636880.53063680.2684350.2684350.5368709120.536870912199519953 33503508 80.1678 0.1678 58.72025658.720256176.160768176.1607680.5033160.5033161.509949441.50994944199619964 44004007 70.2097 0.2097 83.8860883.88608335.54432335.544320.8388610.8388613.35544323.3554432199719975 55005006 60.2621 0.2621 131.072131.072655.36655.361.310721.310726.55366.5536199819986 66306305 50.3277 0.3277 206.4384206.43841238.63041238.63041.966081.9660811.7964811.79648199919997 77007004 40.4096 0.4096 286.72286.722007.042007.042.86722.867220.070420.0704200020008 87507503 30.5120 0.5120 384384307230724.0964.09632.76832.768200120019 98508502 20.6400 0.6400 544544489648965.765.7651.8451.842002200210109509501 10.8000 0.8000 760760760076008 88080200320031111102010200 01.0000 1.0000 10201020112201122011111211214.5705 4.5705 3536.5769 3536.5769 31302.7410 31302.7410 36.7180 36.7180 329.5381 329.5381 27预测模型为：2829结论分析n由于时间序列线性趋势比较明显，又由于加权系数较大(0.8)，使得，加权与不加权拟合结果相近。n加权的重近轻远原则，使其预测结果更接近于实际观察值。303.3 拟合直线方程的特殊运用拟合直线方程的特殊运用n在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势更为在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势更为复杂的问题。复杂的问题。例：例：某商品的过去九年的市场总需求量时间（年）123456789总需求量（件）165270450740122020103120546090003132某公司某公司19912003年销售额（单位：万元）年销售额（单位：万元）333.3 拟合直线方程的特殊运用拟合直线方程的特殊运用n在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势更为复杂的在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势更为复杂的问题。问题。n在某些情况下，可以通过适当的变量变换，将变量间的在某些情况下，可以通过适当的变量变换，将变量间的关系式化为线性的形式。关系式化为线性的形式。n例如：例如：变量满足变量满足 的关系，其中，的关系，其中，a、b，均为与，均为与 t 无关的未知参数，只要令无关的未知参数，只要令 ，即可，即可化为化为 的线性形式。的线性形式。34n同理：同理：对于模型对于模型变换变换常用模型分析常用模型分析35常用模型分析常用模型分析对于上式两边取对数：令：则有：36常用模型分析常用模型分析运用拟合直线方程法，可求得：正负编号法37某公司某公司19932005年产品的销售额如下表，年产品的销售额如下表，试预测试预测2006年的产品销售额。年的产品销售额。观察期销售额19931819947219959019962101997270199839019995702000900200115002002231020034050200448002005540038 观察期观察期销售额销售额xtxt2lnytxt lnyt199318-6362.890 -17.342 199472-5254.277 -21.383 199590-4164.500 -17.999 1996210-395.347 -16.041 1997270-245.598 -11.197 1998390-115.966 -5.966 1999570006.346 0.000 2000900116.802 6.802 20011500247.313 14.626 20022310397.745 23.235 200340504168.306 33.226 200448005258.476 42.382 200554006368.594 51.565 SUM18282.162 81.907 设：该趋势线的模型为：39观察期观察期销售额销售额xt199318-63.620 37.334 199472-54.070 58.553 199590-44.520 91.833 1996210-34.970 144.029 1997270-25.420 225.892 1998390-15.870 354.283 199957006.320 555.649 200090016.770 871.466 2001150027.220 1366.787 2002231037.670 2143.636 2003405048.120 3362.027 2004480058.570 5272.922 2005540069.020 8269.924 200679.470 12970.350 设：该趋势线的模型为：40预测2006年的销售额：413.4 曲线趋势外推预测法曲线趋势外推预测法n变量间的关系由于受到众多因素的影响，其变动趋势并非总是变量间的关系由于受到众多因素的影响，其变动趋势并非总是一条直线方程，往往会呈现出不同的形态的曲线变动趋势。一条直线方程，往往会呈现出不同的形态的曲线变动趋势。n曲线趋势外推法：曲线趋势外推法：根据时间序数据资料的散点图走向趋势，选根据时间序数据资料的散点图走向趋势，选择恰当的曲线方程，利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和择恰当的曲线方程，利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和法）等来确定待定的参数，建立曲线预测模型，并用它进行预法）等来确定待定的参数，建立曲线预测模型，并用它进行预测的方法。测的方法。42常用的曲线趋势外推预测法常用的曲线趋势外推预测法假设曲线趋势外推预测模型为：假设曲线趋势外推预测模型为：第第t 期某变量的预测值（因变量）期某变量的预测值（因变量）时间变量（自变量）时间变量（自变量）二次曲线法二次曲线法生长曲线法生长曲线法三次曲线法三次曲线法43二次曲线趋势外推预测法二次曲线趋势外推预测法n二次曲线趋势外推预测法二次曲线趋势外推预测法：研究时间序列观察值数：研究时间序列观察值数据随时间变动呈现一种由据随时间变动呈现一种由高高到到低低再到再到高高（或由（或由低低到到高高再到再到低低）的趋势变化的曲线外推预测法。）的趋势变化的曲线外推预测法。n由于时间序列观察值的散点图呈现由于时间序列观察值的散点图呈现抛物线抛物线形状，故形状，故也称之为二次抛物线预测模型。也称之为二次抛物线预测模型。n二次曲线趋势外推预法的待定系数也可以根据其误二次曲线趋势外推预法的待定系数也可以根据其误差最小的标准确定的。差最小的标准确定的。441、用最小二乘法确定待定参数第 t 期的时间序列的观察值第 t 期的时间序列的预测值第 t 期的离差离差平方和二次曲线外推预测法的模型：45Q值为最小，分别对a、b、c求偏导，并令之为0。46采用正负编号后：47解方程组得：48例：某公司某公司19972005年的商品销售收入如下表，试预测年的商品销售收入如下表，试预测该公司该公司2006年的销售收入。年的销售收入。年份年份199719981999200020012002200320042005销售收入销售收入5456417649231107132215681836214049绘制散点图50计算待定参数，建立预测模型年份年份销售收入销售收入1997-45451998-36411999-27642000-1923200101107200211322200321568200431836200542140年份年份销售收入销售收入1997545199864119997642000923200111072002132220031568200418362005214051年份年份销售收入销售收入1997-454516256-21808720543.9 1998-3641981-19235769640.7 1999-2764416-15283056766.9 2000-192311-923923922.4 20010110700001107.3 2002113221113221322 1321.5 20032156841631366272 1565.0 200431836981550816524 1837.9 20054214016256856034240 2140.2 SUM10846607081197276826预测2006年的销售收入：522、用三点法确定待定系数用三点法确定待定系数思路：思路：n 在二次曲线模型上选取在二次曲线模型上选取远、中、近远、中、近三点坐标作为预测三点坐标作为预测模型待定参数模型待定参数a、b、c的估计值。的估计值。53具体做法n使时间序列的总项数使时间序列的总项数 n 为奇数（若为偶数，可删去最初的一为奇数（若为偶数，可删去最初的一个观察期数据）；个观察期数据）；n如果如果 n 15 ，则在时间序列的远、中、近三期各取，则在时间序列的远、中、近三期各取5个数据个数据项，用权数项，用权数 =1，2，3，4，5 由远及近分别赋权并进行加由远及近分别赋权并进行加权平均；权平均；n如果如果9 n 15 ，则在时间序列的远、中、近三期各取，则在时间序列的远、中、近三期各取3个数个数据项，用权数据项，用权数 =1，2，3 由远及近分别赋权并进行加权平由远及近分别赋权并进行加权平均；均；n以此三个加权平均值作为该二次曲线预测模型上以此三个加权平均值作为该二次曲线预测模型上远、中、近远、中、近三点的纵坐标的数值。三点的纵坐标的数值。54n即假设远、中、近三期的坐标分别为即假设远、中、近三期的坐标分别为M1 (t1，R)、 M2 (t2，S)、 M3 (t3，T) ；n时间序列总项数时间序列总项数 n 为奇数，且中间项为为奇数，且中间项为d = (n+1) / 2，则当，则当 n 15 ，取远期，取远期5个观察值个观察值 y1、y2、y3、y4、y5，其加权平均，其加权平均值为：值为：n取中期取中期5个观察值个观察值 yd-2、yd-1、yd、yd+1、yd+2，其加权平均值为：，其加权平均值为：n取中期近个观察值取中期近个观察值 yd-2、yd-1、yd、yd+1、yd+2，其加权平均值，其加权平均值为：为：55n要对远、中、近三点的横坐标要对远、中、近三点的横坐标 x1，x2，x3 作权数作权数（1，2，3，4，5）相同加权平均值。）相同加权平均值。56以以 15 项观察值作加权平均后项观察值作加权平均后三点坐标三点坐标分别为：分别为：将三点代入二次曲线预测模型：57关于三点法的几点说明关于三点法的几点说明1.三点法的特点是不需要数列的全部数据，计算相对而言三点法的特点是不需要数列的全部数据，计算相对而言比较简单。比较简单。2.对选取的数据比较敏感，即便是取加权平均值，也会受对选取的数据比较敏感，即便是取加权平均值，也会受到一定的影响。到一定的影响。3.一般而言，每一组里的数据相对较多时，模型可能更接一般而言，每一组里的数据相对较多时，模型可能更接近于实际。近于实际。4.每一组里的数据要求是奇数，是从计算的角度而言的。每一组里的数据要求是奇数，是从计算的角度而言的。5.此种运算方法在生命曲线趋势预测法里将发挥更大的作此种运算方法在生命曲线趋势预测法里将发挥更大的作用。用。58二次曲线外推预测法的特点二次曲线外推预测法的特点二次曲线趋势外推法预测法适用于时间序列数二次曲线趋势外推法预测法适用于时间序列数据呈抛物线形状据呈抛物线形状上升上升或或下降下降，且曲线仅有，且曲线仅有一个极点一个极点（极大值或极小值点）的情况。（极大值或极小值点）的情况。593.5 趋势外推预测模型的识别趋势外推预测模型的识别n图形识别法：图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间序列的数据绘制成以时间 t 为横轴，时序观察值为为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。60趋势外推预测模型的识别趋势外推预测模型的识别n差分法：差分法：差分是数学中的一个概念。如果对于序列差分是数学中的一个概念。如果对于序列 t 和函数和函数 yt ，如，如果果yt= yt yt-1，则称，则称yt为为yt 的一阶差分。的一阶差分。由于模型种类很多，为根据历史数据正确选择模型，常利由于模型种类很多，为根据历史数据正确选择模型，常利用差分法把原序列转换为平稳序列，即利用差分法把数据修匀，用差分法把原序列转换为平稳序列，即利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。将时间序列的差分与各类模型的使非平稳序列达到平稳序列。将时间序列的差分与各类模型的差分特点比较就可以选择适宜的模型。差分特点比较就可以选择适宜的模型。61年份利润额ytyt1993200199430010019953505019964005019975001001998630130199970070200075050200185010020029501002003102070一阶向后差分可以表示为：某家用电器厂某家用电器厂1993199320032003年利润额数据资料年利润额数据资料62月份销售量ytyt2yt11021883257-1430.55.5-1.55354.5-16383-1.57402-1839.5-0.5-2.5938-1.5-1二阶向后差分可以表示为：63 差分法识别标准：差分法识别标准：差分特性差分特性使用模型使用模型一阶差分相等或大致相等一阶差分相等或大致相等一次线性模型一次线性模型二阶差分相等或大致相等二阶差分相等或大致相等二次线性模型二次线性模型三阶差分相等或大致相等三阶差分相等或大致相等三次线性模型三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型修正指数曲线模型643.6 生长曲线（生长曲线（S曲线）预测法曲线）预测法n技术和经济的发展过程类似于技术和经济的发展过程类似于生物的发展过程生物的发展过程，经历，经历发生发生、发展发展、成熟成熟三个阶段。三个阶段。n每一阶段的发展速度是不一样的。一般地，在每一阶段的发展速度是不一样的。一般地，在发生发生阶段，变阶段，变化速度较为化速度较为缓慢缓慢；在；在发展发展阶段，变化速度阶段，变化速度加快加快；到；到成熟成熟阶段，阶段，变化速度又趋于变化速度又趋于缓慢缓慢，n按照这按照这三个阶段三个阶段发展规律得到的事物变化发展曲线，通常称发展规律得到的事物变化发展曲线，通常称为为生长曲线生长曲线或或增长曲线增长曲线，亦称，亦称逻辑增长逻辑增长曲线。曲线。n由于此类曲线常似由于此类曲线常似“ S ”形，故又称形，故又称 S 曲线曲线。n现在，现在，S曲线已广泛应用于描述及预测生物曲线已广泛应用于描述及预测生物个体生长发育个体生长发育及某及某些些技术技术、经济特性经济特性的发展领域中。的发展领域中。651、皮尔模型：K 为常数（某种耐用品饱和状态时的普及率）2、林德诺模型3、龚帕兹模型66预测步骤67小结n直线趋势外推预测法n加权拟合直线趋势外推法n拟合直线方程的特殊运用n二次曲线外推预测法n生长曲线预测法68补充作业n某公司 19962005年产品销售额如下表所示，试预测2006年的产品销售额。观察期销售额ytlnyt199620.69 199731.10 199831.10 199941.39 2000112.40 2001203.00 2002263.26 2003584.06 2004724.28 20051505.01 参考模型：69