精 品 数 学 课 件2020 学 年 浙 教 版第第5 5章章 特殊平行四边形特殊平行四边形5.2 5.2 菱形（第菱形（第1 1课时）课时）菱形的性质菱形的性质 例1 菱形ABCD中，B=60，点E在边BC上，点F在边CD上. （1）如图1，若E在边BC上，且E为BC中点，AEF=60；求证：BE=DF； （2）如图2，若EAF=60；求证：AEF是等边三角形. 分析：（1）首先连结AC，由菱形ABCD中，B=60，根据菱形的性质，易得ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AEBC，继而求得FEC=CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF； （2）首先由ABC是等边三角形，即可得AB=AC，已求得ACF=B=60，然后利用平行线与三角线外角的性质，可求得AEB=AFC，证得AEBAFC，即可得AE=AF，证得：AEF是等边三角形.解：（1）如图1，连结AC，在菱形ABCD中，B=60，AB=BC=CD，C=180-B=120，ABC是等边三角形，E是BC的中点，AEBC，AEF=60，FEC=90-AEF=30，CFE=180-FEC-ECF=180-30-120=30，FEC=CFE，EC=CF，BE=DF；（2）如图2，连结AC，ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=60，B=ACF=60，ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD，AFC=D+FAD=60+FAD，AEB=AFC，在ABE和ACF中， ABEACF（AAS），AE=AF，EAF=60，AEF是等边三角形.B=B=ACFACF，AEB=AEB=AFCAFC，AB=ACAB=AC， 注意点：菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形. 因此，有关菱形的问题往往可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决. 例2 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.菱形性质的综合应用菱形性质的综合应用（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围. 分析：（1）菱形ABCD的边长为2，因此AE+DE=2且AE+CF=2，从而得到DE=CF. 根据BD=2，可以得到ABD为等边三角形，再根据菱形的性质证明全等；（2）由全等知对应边、对应角相等，再由特殊角判断出BEF的形状；（3）由BEF的形状求出其面积；当BE与BD或AB重合时，边长最大，面积最大. 当BEAD时，边长最小，面积最小.解：（1）菱形ABCD的边长为2，BD=2，ABD和BCD都为等边三角形. BDE=BCF=60，BD=BC. 又AE+DE=AD=2且AE+CF=2. DE=CF. BDEBCF. （2）BEF是等边三角形. 理由如下：由（1）知，BDEBCF，DBE=CBF，BE=BF. DBC=DBF+CBF=60，DBF+DBE=60，即EBF=60. BEF是等边三角形.（3）设BE=BF=EF=x，则S= 当BEAD时，x最小= ，S最小=当BE与AB重合时，x最大=2，S最大= 注意点：有一个角是60的菱形可以看成是两个等边三角形拼成的四边形，等边三角形的面积S= a2（a为菱形的边长）. 错答：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理求得另一条对角线长为 厘米，所以菱形的面积为2 = . 故选D.例1 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2厘米，则菱形的面积为（ ）A. 3平方厘米 B. 4平方厘米C. 平方厘米 D. 平方厘米正答：C 错因：本题前面解的较好，但在求菱形的面积时公式记错了，应该是两条对角线长的积的一半，所以答案应为C.例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是（ ）A. AC=2OE B. BC=2OEC. AD=OE D. OB=OE错答：A、C、D正答：B错因：对菱形的性质，四条边相等及对角线互相垂直理解不清，由三角形中位线可得OE= AB= BC或由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OE= BC.