第十一章第十一章 能量原理与变分法能量原理与变分法要点：要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想的基本思想 最小势能原理、里兹（最小势能原理、里兹（Ritz）法、法、伽辽金（伽辽金（Galerkin）法法（2）位移变分法）位移变分法（3）应力变分法）应力变分法 最小余能原理、卡氏最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理定理（4）位移变分法、应力变分法的应用）位移变分法、应力变分法的应用11-1 11-1 弹性体的形变势能弹性体的形变势能主主主主 要要要要 内内内内 容容容容 11-2 11-2 位移变分方程位移变分方程11-3 11-3 位移变分法位移变分法11-4 11-4 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题11-5 11-5 应力变分方程应力变分方程11-6 11-6 应力变分法应力变分法11-7 11-7 应力变分法应于平面问题应力变分法应于平面问题11-8 11-8 应力变分法应于扭转问题应力变分法应于扭转问题11-9 11-9 解答的唯一性解答的唯一性11-10 11-10 功的互等定理功的互等定理11-0 11-0 引引 言言1. 弹性力学问题的弹性力学问题的微分提法微分提法及其及其解法解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）几何方程）几何方程（3）物理方程）物理方程（4）边界条件）边界条件应力边界条件；应力边界条件；位移边界条件；位移边界条件；定定解解问问题题求解方法求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移为基本未知量以位移为基本未知量的的平衡微分方程平衡微分方程;（2）按应力求解）按应力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程；平衡微分方程；（b）边界条件。边界条件。（b） 相容方程；相容方程；（c） 边界条件。边界条件。（a） 归结为归结为求解联立的微求解联立的微分方程组分方程组；求解特点：求解特点：（b） 难以求得难以求得解析解解析解。 从研究从研究微小单元微小单元体入手，考察其体入手，考察其平衡平衡、变形变形、材料性质材料性质，建立基本方程：，建立基本方程：2. 弹性力学问题的弹性力学问题的变分提法变分提法及其及其解法解法：基本思想基本思想： 在在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。弹性力学中的变分原理弹性力学中的变分原理 能量原理能量原理 直接处理直接处理整个弹性系统整个弹性系统，考虑系统的，考虑系统的能量关系能量关系，建立一些泛函的，建立一些泛函的变分方程变分方程，将弹性力学问题归结为，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题值的变分问题。（变分解法也称（变分解法也称能量法能量法）（a）以以位移位移为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小势（位）能原理最小势（位）能原理等。等。（b）以以应力应力为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小余能原理最小余能原理等。等。（c）同时以同时以位移、应力、应变位移、应力、应变为未知量，为未知量，得到得到 广义（约束）变分原理。广义（约束）变分原理。 位移法位移法 力法力法 混合法混合法 有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等数值解法数值解法的理论基础。的理论基础。求解方法求解方法：里兹（里兹（Ritz）法，法，伽辽金（伽辽金（Galerkin ）法，法， 加权残值（加权残值（ 余量）法等。余量）法等。3. 弹性力学问题的弹性力学问题的数值解法数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想： 将将导数导数运算近似地用运算近似地用差分差分运算代替；运算代替；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。典型软件：典型软件：FLAC实质：实质：将将变量离散变量离散。（b）对对变分方程变分方程进行数值求解进行数值求解 有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等典型软件：典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等； 基于有限元法的分析软件；基于有限元法的分析软件；UDEC 基于离散元法的分析软件；基于离散元法的分析软件；基本思想：基本思想：将求将求解解区域离散区域离散， 离散成有限个小区域（离散成有限个小区域（单元单元），），在小区域（单元）上假设在小区域（单元）上假设可能解可能解，最后由能量原理最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。（变分原理）确定其最优解。 将问题转变为将问题转变为求解求解大型大型的线性方程组的线性方程组。11-1 11-1 弹性体的形变势能弹性体的形变势能1. 形变势能的一般表达式形变势能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：单向拉伸：PlOPl外力所做的功：外力所做的功： 由于在静载（缓慢加载）条件下，由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的化杆件的形变势能（形变势能（变形能变形能）U：杆件的体积杆件的体积令：令： 单位体积的变形能，单位体积的变形能，称为称为比能比能。三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态： xyz三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态： xyz 由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序次序无关无关，只取决于最终的状态。，只取决于最终的状态。 假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的此时，单元体的形变比能形变比能：（a）整个弹性体的整个弹性体的形变势能：形变势能：（b）（c）若用张量表示：若用张量表示：形变比能：形变比能：整体形变势能：整体形变势能：2. 形变势能的应力分量表示形变势能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程（在线弹性的情况下，由物理方程（8-17） ：代入式（代入式（a），），整理得形变势能的表达式：整理得形变势能的表达式：（d）（e）代入式（代入式（b），），有：有：（11-1）将式（将式（e）分别对分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：（11-2）表明：表明：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。3. 形变势能的应变分量表示形变势能的应变分量表示用应变表示的物理方程（用应变表示的物理方程（8-19）：）：（f）或：或：代入式（代入式（a）：）：（a）并整理可得：并整理可得：（g）（11-3） 0 1/2 ， U 0 即弹性体的形变势能是非负的量。即弹性体的形变势能是非负的量。 将上式对将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17）比较，可得：比较，可得：（11-4）将几何方程（将几何方程（8-9）代入上式，得：）代入上式，得：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。 格林公式格林公式4. 形变势能的位移分量表示形变势能的位移分量表示表明：表明：（11-5）11-2 11-2 位移变分方程位移变分方程1. 泛函与变分的概念泛函与变分的概念（1）泛函的概念）泛函的概念函数：函数：x 自变量；自变量；y 因变量，或称自变量因变量，或称自变量 x 的函数。的函数。泛函：泛函：x 自变量；自变量；y 为一变函数；为一变函数；F 为函数为函数 y 的函数，的函数，称为称为泛函泛函。例例1：P1 弯矩方程弯矩方程梁的形变势能：梁的形变势能：ABlx 泛函泛函例例2：例例2：因为因为所以，所以，U 被称为被称为形变势能泛函形变势能泛函。（2）变分与变分法）变分与变分法设：设：当自变量当自变量 x 有一增量：有一增量：函数函数 y 也有一增量：也有一增量： dy 与与 dx ，分别称为自变量分别称为自变量 x 与函数与函数 y 的的 微分。微分。 微分问题微分问题P1ABlx设：设：函数函数 y 有一增量：有一增量：泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：P1ABlx设：设：函数函数 y 也有一增量：也有一增量：泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量： 函数的增量函数的增量y 、泛函的增量泛函的增量 U 等等称为变分称为变分。 研究研究自变函数的增量自变函数的增量与与泛函的增量泛函的增量 间关间关系称为系称为变分问题变分问题。例如：例如：Pcr （1）压杆稳定问题）压杆稳定问题 寻求压杆形变势寻求压杆形变势能能 U 达到达到最大值最大值时时的压力的压力 P 值。值。 （2）球下落问题）球下落问题12 球从球从位置位置1下下落至落至位置位置2，所需，所需时间为时间为T，当当 最速下降问题最速下降问题 泛函的变分问题泛函的变分问题（3）变分及其性质）变分及其性质定义：定义：泛函泛函增量：增量：函数函数连续性：连续性：称函数称函数 z 在在 x0 点连续。点连续。当当有有称泛函称泛函 U 在在 y0 (x) 处零阶接近。处零阶接近。当当有有称泛函称泛函 U 在在 y0 (x) 处一阶接近。处一阶接近。当当有有称泛函称泛函 U 在在 y0 (x) 处二阶接近。处二阶接近。泛函泛函函数函数微分：微分：当当x0时，时， 0，则则 z 可可用其线性主部表示其微分。即用其线性主部表示其微分。即 U 增量的线性主部增量的线性主部变分：变分：当当 max|y|0时，时，max 0，则则 U 可用其线性主部表示可用其线性主部表示, 即即极值：极值：若若在在 x0 处有极值，处有极值，则有：则有：若若 Uy(x) 在在 y0(x) 处有极值，处有极值，条件：条件： 一阶变分为零一阶变分为零。当当取得极值取得极值 称为称为强极值强极值当当取得极值取得极值 称为称为弱极值弱极值极值：极值：（4）变分的运算）变分的运算变分与微分运算：变分与微分运算：变分运算与微分运算互相交换变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换变分运算与积分运算互相交换。复合函数的变分：复合函数的变分：其中：其中：一阶变分：一阶变分：复合函数的变分：复合函数的变分：其中：其中：一阶变分：一阶变分： 自变量自变量 x 的变分的变分 x 0二阶变分：二阶变分： 二阶变分用于判别驻值点是取得二阶变分用于判别驻值点是取得极大值极大值还是还是极小值极小值。2. 位移变分方程位移变分方程建立：弹性体的建立：弹性体的形变势能形变势能与与位移位移间间变分变分关系关系 位移变分方程位移变分方程qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：边界：位移场：位移场：应力场：应力场：满足：平衡方程、几满足：平衡方程、几何方程、物理何方程、物理方程、边界条方程、边界条件。件。 称为称为真实解真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：）任给弹性体一微小的位移变化：满足两个条件：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。）不破坏约束条件，即为约束所允许。任给弹性体一微小的位移变化：任给弹性体一微小的位移变化：满足两个条件：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为）不破坏约束条件，即为约束所允许。约束所允许。qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su变化后的位移状态：变化后的位移状态： 称为称为位移的变分位移的变分，或，或虚位移虚位移。（2）考察弹性体的能量变化）考察弹性体的能量变化：由能量守恒原理：由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。（在没有温度改变、动能改变的情况下）（在没有温度改变、动能改变的情况下）设：设： 表示弹性变形势能的增量；表示弹性变形势能的增量； 表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。势能的减少。则有：则有：外力的虚功：外力的虚功：体力：体力：面力：面力： 外力外力代入前式：代入前式：（11-6）表明：表明：物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。 式（式（11-6）称为）称为位移变分方程位移变分方程，也称，也称 Lagrange 变分方程变分方程。3. 虚功方程虚功方程由式（由式（b）:两边求变分两边求变分:将将 U1 视为应变视为应变分量的函数分量的函数由格林公式由格林公式:（11-4）表示表示： 实际应力在虚应变上所做的虚功实际应力在虚应变上所做的虚功 内力的虚功内力的虚功将上式代入位移变分方程（将上式代入位移变分方程（11-6），有），有（11-7）虚功方程虚功方程表明表明表明表明：如果如果在虚位移发生前，弹性体处于在虚位移发生前，弹性体处于平衡平衡状态，状态，则则在虚位移发生过程在虚位移发生过程中，中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。虚功方程虚功方程 是是有限单元法有限单元法的理论基础，也是许多的理论基础，也是许多变分原理变分原理的基础。的基础。4. 最小势能原理最小势能原理 也是位移变分方程的一个应用也是位移变分方程的一个应用由位移变分方程：由位移变分方程： 由于虚位移为由于虚位移为微小的微小的、为约束所允许为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。 于是，有：于是，有：以以为零势能状态，为零势能状态，并用并用 V 表示任意状态的外力势能，则表示任意状态的外力势能，则外力在外力在可能位移可能位移上所做的功上所做的功W，即即代入前式，有代入前式，有其中：其中： 形变势能与外力势能的总和，形变势能与外力势能的总和， 称为称为系统的总势能系统的总势能表明：表明：表明：表明： 在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。变分为零。等价于总势能等价于总势能 U+V 取驻值。取驻值。 极值势能原理极值势能原理平衡状态：平衡状态：（1）稳定平衡状态；）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；）不稳定平衡状态；（3）随宜平衡状态；）随宜平衡状态；稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随宜平衡随宜平衡 势能取势能取极小值极小值 势能取势能取极大值极大值 不定不定最小势能原理最小势能原理最小势能原理最小势能原理： 在给定的外力作用下，满足位移边界条在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于统的总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡稳定平衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。时，总势能取极小值，通常也为最小值。实际存在的实际存在的位移应满足：位移应满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（3）应力边界条件。）应力边界条件。（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）位移变分方程。）位移变分方程。因而，有：因而，有： 位移变分方程位移变分方程（1）平衡方程；）平衡方程；（2）应力边界条件。）应力边界条件。（可互相导出）（可互相导出）（最小势能原理）（最小势能原理）5. 伽辽金变分方程伽辽金变分方程 由虚功方程建立当位移分量满足：由虚功方程建立当位移分量满足：位移边界条件位移边界条件、应力边界条应力边界条件件时，弹性体的时，弹性体的位移变分应满足的条件。位移变分应满足的条件。 将将虚应变虚应变用虚位移表示：用虚位移表示：（c）将其代入虚功方程将其代入虚功方程：（11-7） 同理，可得到其余各项的结果：同理，可得到其余各项的结果： 将其代入虚功方程左边，有：将其代入虚功方程左边，有：（11-7） 将其代入虚功方程，并整理有：将其代入虚功方程，并整理有： 当应力边界条件满足时，当应力边界条件满足时，000 上式可简化为：上式可简化为：（11-7）（10-8） 伽辽金（伽辽金（Galerkin）变分方程变分方程表明：表明：表明：表明：当所取位移分量当所取位移分量同时满足同时满足：位移边界条件、应力边界条件时，：位移边界条件、应力边界条件时，其位移变分需满足的方程。其位移变分需满足的方程。（11-6）（1）位移变分方程）位移变分方程（2）虚功方程）虚功方程（11-7）位移变分方程小结：位移变分方程小结：也称也称 Lagrange 变分方程变分方程：（3）最小势能原理）最小势能原理说明：说明：说明：说明：（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）对虚功方程，也适用）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。如：塑性材料、非线性弹性材料等。（4）伽辽金（）伽辽金（Galerkin）变分方程变分方程要求要求：可能（虚）位移满足：可能（虚）位移满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）应力边界条件。）应力边界条件。（10-8）11-3 11-3 位移变分法位移变分法1. 里兹里兹（Ritz）法法基本思想：基本思想：设定位移函数设定位移函数的表达形式，使其的表达形式，使其满足位移边界条件满足位移边界条件，其中含，其中含有若干待定常数，然后有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数利用位移变分方程确定这些常数，即，即得位移解。得位移解。设取位移的表达式如下：设取位移的表达式如下：（11-9）其中：其中：为为互不相关的互不相关的 3m 个系数；个系数；为为设定的函数，且在边界上有：设定的函数，且在边界上有：为为边界上为零边界上为零的设定函数的设定函数 显然，上述显然，上述函数满足函数满足边界条件边界条件。此时，位移的变分此时，位移的变分只能由系数只能由系数 Am、Bm、 Cm的变分来实现。的变分来实现。与变分无关。与变分无关。（a）位移的变分：位移的变分：形变势能的变分：形变势能的变分：由式（由式（11-5），可知：），可知：（b）将式（将式（a）、（）、（b）代入位移变分方程，有：代入位移变分方程，有：（11-5）将上式整理、移项、合并，可得：将上式整理、移项、合并，可得：完全任意，且互相独立，完全任意，且互相独立， 要使上式成立，则须有：要使上式成立，则须有：（11-10） Ritz 法方程法方程或称或称 Rayleigh- Ritz 法方程法方程说明：说明：（1）由由 U 的位移表达式（的位移表达式（11-5）可知，）可知，U 是系数是系数的二次函数，的二次函数，因而，方程（因而，方程（11-10）为各系数的）为各系数的线性方程线性方程 组组。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）求出了系数求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等就可求得其它量，如位移、应力等（3）在假定位移函数时，须保证其在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件满足全部位移边界条件。2. 伽辽金伽辽金（Galerkin）法法设取位移的表达式如下：设取位移的表达式如下：（11-9）同时满足：同时满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）应力边界条件；）应力边界条件；位移的变分：位移的变分：将其代入伽辽金变分方程（将其代入伽辽金变分方程（10-8）：）：得到：得到：完全任意，且互相独立，完全任意，且互相独立， 要使上式成立，则须有：要使上式成立，则须有：将物理方程和几何方程代入，有将物理方程和几何方程代入，有（11-11） 伽辽金（伽辽金（Galerkin）法方程法方程说明：说明：（1）与与 Ritz 法类似，得法类似，得 3m 阶的线阶的线方程组，可求出方程组，可求出3m个系数。个系数。（2）伽辽金（伽辽金（Galerkin）法与法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时，法的区别：在于设位移函数时，前者要求前者要求同时满足应力、位移边界条件同时满足应力、位移边界条件，而后者，而后者只要求满足位移只要求满足位移边界条件边界条件。位移变分法的应用：位移变分法的应用：（1）求解弹性体的近似解；）求解弹性体的近似解；（2）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；11-4 11-4 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题1. 形变势能表达式形变势能表达式对于平面应变问题：对于平面应变问题：且且由由式（式（11-5）（11-12）对于平面应力问题：对于平面应力问题：（11-13）（11-5）2. 位移函数设定位移函数设定 由于，两种平面问题中，都不必考虑由于，两种平面问题中，都不必考虑 z 方向的位移方向的位移w，所以位移所以位移分量可设为：分量可设为：（11-14）式中：各系数的含义和以前相同。式中：各系数的含义和以前相同。3. 变分法方程变分法方程Ritz 法方程：法方程：（在（在 z 方向取单位长度）方向取单位长度）（11-15）Galerkin 法方程：法方程：Galerkin 法方程：法方程：（11-16） 适用于适用于平面应变问题平面应变问题式中：式中：对于对于平面应力问题平面应力问题：（11-17）例例：图示薄板，宽为图示薄板，宽为 a，高度为高度为 b，左边和下边受左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力连杆支承，右边和上边分别受有均布压力 q1和和 q2 作用，不计体力。试求薄板的位移。作用，不计体力。试求薄板的位移。解解：（1）假设位移函数）假设位移函数（a）满足边界条件：满足边界条件：试在试在式（式（a）中只取两个系数：中只取两个系数：A1、B1 ，即即（b）（2）计算形变势能）计算形变势能 U将式（将式（b）代）代入（入（11-13），有），有（平面应力情形下形变势能公式）（平面应力情形下形变势能公式）积分得：积分得：（c）（c）（3）代入）代入Ritz 法方程求解法方程求解体力体力有有在在右边界：右边界：在在上边界：上边界：于是有：于是有：将将式（式（c）代入，得代入，得（11-15）联立求解，得：联立求解，得：（f）代入位移表达式（代入位移表达式（b），），得：得：（g）讨论：讨论：（1）如果在位移式（如果在位移式（a）中再多取一中再多取一此系数如：此系数如：A2、B2等，但是经计等，但是经计算，这些系数全为零。算，这些系数全为零。（2）位移解（位移解（g）满足几何方程、平满足几何方程、平衡方程和边界条件。衡方程和边界条件。表明：表明：位移解（位移解（g）为问题的为问题的精确解精确解。例例：图示矩形薄板，宽为图示矩形薄板，宽为2 a，高度为高度为2 b，左右两左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：边和下边均被固定，而上边的给定位移为：（h）不计体力。试求薄板的位移和应力不计体力。试求薄板的位移和应力。解解：（1）假设位移函数）假设位移函数取取 m =1, 将位移分量设为：将位移分量设为：（i）显然，可满足位移边界条件：显然，可满足位移边界条件：（2）代入）代入Galerkin 法法方程求解方程求解该问题中，无应力边界条件，式（该问题中，无应力边界条件，式（i）满足全满足全部条件。部条件。可用伽辽金（可用伽辽金（Galerkin）法求解。法求解。X=Y=0，m=1，伽辽金法方程变为：伽辽金法方程变为：（11-17）（j） 将将其其代代入入伽伽辽辽金金方方程程（j）, 可可求得：求得：代回位移式（代回位移式（h）, 有：有：代回位移表达式（代回位移表达式（h）, 得位移解答：得位移解答：当当 b = a，取取 = 0.2时，上述解答成为时，上述解答成为：（3）求应力分量）求应力分量应用几何方程及物理方程，可求得应力为：应用几何方程及物理方程，可求得应力为：在在处，处， 相应的面力：相应的面力：例例：如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 PABlxy解解：（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为（取一项）：设位移试探函数为（取一项）：式中：式中：a 为待定常数。为待定常数。（2）计算：）计算：（ a）（ b）显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件满足端点的位移边界条件:（3）代入）代入Ritz 法方程，求解法方程，求解（ c）（ d）PABlxy讨论：讨论：（1）中点的挠度：中点的挠度：（ e）而材料力学的结果：而材料力学的结果：两者比较：两者比较：式（式（a）的结果偏小的结果偏小2%。如果取如下位移函数：如果取如下位移函数：式中项数式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。取得越多，则求得精度就越高。（2）所取的所取的位移函数位移函数必须满足位移边界条件必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：位移函数选取不是唯一的，如：PABlxy例例：如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解解：（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数式中：式中：A1、A2 为待定常数。为待定常数。显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件满足端点的位移边界条件:（2）计算：）计算：梁的形变势能梁的形变势能:（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:PABlxy例例：如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解解：位移函数位移函数（a）（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:所求挠曲线方程所求挠曲线方程:PABlxy所求挠曲线方程所求挠曲线方程:中点挠度中点挠度:而材料力学的结果：而材料力学的结果：说明：说明：（1）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；（2）亦亦可用可用最小势能原理最小势能原理求解上述问题。求解上述问题。例例：如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 PABlxy解解：（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为：设位移试探函数为：式中：式中：a 为待定常数。为待定常数。（2）求系统的总势能）求系统的总势能（ a）（ b）（ c）将式（将式（a）代入，计算得代入，计算得显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件满足端点的位移边界条件:（3）由最小势能原理确定常数）由最小势能原理确定常数（ d）PABlxy说明：说明：（1）（ e）与与 Ritz 法结果相同；法结果相同；（2）所取的所取的位移函数位移函数必须满足位移边界条件必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：位移函数选取不是唯一的，如：例例：如图所示，一端固定，另一端有弹性支承如图所示，一端固定，另一端有弹性支承的梁，跨度为的梁，跨度为 l ，抗弯刚度为抗弯刚度为EI，弹簧的刚弹簧的刚度为度为 k ，梁上作用有分布载荷梁上作用有分布载荷q(x)，试用最试用最小势能原理导出梁的弯曲微分方程和边界小势能原理导出梁的弯曲微分方程和边界条件。条件。 解解：（1）求系统的总势能）求系统的总势能系统的总势能系统的总势能= 梁的弯曲变形能梁的弯曲变形能 + 弹簧的变形能弹簧的变形能 + 外力势能外力势能(a)式中：式中：w 为梁的挠度。为梁的挠度。由最小势能原理：由最小势能原理：(b)分部积分：分部积分：（2）对总势能求变分）对总势能求变分将其代入式（将其代入式（b），），有有梁的左端固定，梁的左端固定，有有代入上式，有：代入上式，有：的任意性与相互独立性，的任意性与相互独立性，有有（3）利用位移边界条件和变分的任意性确）利用位移边界条件和变分的任意性确定所需的结果。定所需的结果。 弯曲微分方程弯曲微分方程 力的边界条件力的边界条件表明：表明：最小势能原理最小势能原理等价于等价于平衡微分方程和力的边界条件；平衡微分方程和力的边界条件；Ritz 法解题步骤：法解题步骤：（1）假设位移函数，使其假设位移函数，使其满足边界条件满足边界条件；（2） 计算形变势能计算形变势能 U ；（3）代入代入Ritz 法方程求解待定系数法方程求解待定系数；（4）回回代求解位移、应力等。代求解位移、应力等。用最小势能原理解题步骤：用最小势能原理解题步骤：（1）假设位移函数，使其假设位移函数，使其满足边界条件满足边界条件；（2） 计算系统的总势能计算系统的总势能 ；（3） 由最小势能原理：由最小势能原理： =0 ，确定待定系数；，确定待定系数；（4）回回代求解位移、应力等。代求解位移、应力等。图示简支梁，两端受轴向压力图示简支梁，两端受轴向压力P 作用，在距左端距离作用，在距左端距离 c处受集中力偶处受集中力偶 M 作用，梁的跨度为作用，梁的跨度为 l 。试用最小势能原理求的梁的挠曲线方程。试用最小势能原理求的梁的挠曲线方程。 例：例：设梁的挠曲线方程可设为：设梁的挠曲线方程可设为：解：解：设定梁的挠曲线函数求系统的总势：设定梁的挠曲线函数求系统的总势：代入总势能计算公式：代入总势能计算公式：由最小势能原理求出待定系数由最小势能原理求出待定系数：由于，由于，Am不能等于零，可求得：不能等于零，可求得：梁的挠曲线方程为：梁的挠曲线方程为：梁的最小失稳载荷为：梁的最小失稳载荷为：11-5 11-5 应力变分方程应力变分方程1. 形变余能形变余能Pxl0lO（1）单向应力状态）单向应力状态设：设： 一般的应力应变关系一般的应力应变关系形变势能（比能）：形变势能（比能）：dd00 单位体积的形变势能（比能）单位体积的形变势能（比能）形变余能（比能）：形变余能（比能）： 单位体积的形变余能单位体积的形变余能（比余能）（比余能）对线弹性体，显然有：对线弹性体，显然有：形变形变势能势能（比能）等（比能）等于形变于形变余能余能（比余能）（比余能）表明：形变表明：形变比余能比余能在数值上等于图中矩形面积减在数值上等于图中矩形面积减去去 U1 后余下的面积。后余下的面积。（2）三向应力状态）三向应力状态对线弹性体，有：对线弹性体，有：物体形变余能：物体形变余能：对线弹性体对线弹性体：物体形变余能常用应力表示：物体形变余能常用应力表示：（3）形变余能的变分）形变余能的变分对照形变余比能的表达式，有：对照形变余比能的表达式，有：由应力表示的卡氏（由应力表示的卡氏（ Castigliano）定理定理代入形变余比能的变分表达式，有：代入形变余比能的变分表达式，有：若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：代入形变余比能的变分表达式，有：代入形变余比能的变分表达式，有：2. 应力变分方程应力变分方程设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别为：设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别为： 实际的应力和位移实际的应力和位移建立：物体建立：物体形变余能的变化形变余能的变化与与应力变分应力变分之间的之间的关系关系。（1）应力的变分）应力的变分假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分：假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分： 常称为常称为虚应力虚应力满足：满足：（1）平衡微分方程；）平衡微分方程；（2）应力边界条件）应力边界条件 （即：在应力边界上变分应为零）。（即：在应力边界上变分应为零）。变化后应力状态：变化后应力状态：（2）应力变分方程）应力变分方程都都满足平衡方程满足平衡方程并并作用于同样的体力，作用于同样的体力， 将其将其分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：（a）张量表示张量表示在在位移给定位移给定的边界上，的边界上，由于应力的变分必然引起该边界上面力的变分：由于应力的变分必然引起该边界上面力的变分：由边界上应力与边界面间关系，在位移给定边界上，应有：由边界上应力与边界面间关系，在位移给定边界上，应有：（b）张量表示张量表示由形变余能的变分：由形变余能的变分：利用奥利用奥-高公式，将上式每一项作变换，高公式，将上式每一项作变换，如：如：将其代入应变余能的变分，并整理有：将其代入应变余能的变分，并整理有：000得到：得到：（11-18）上式表明：上式表明：由于应力的变分，由于应力的变分，形变余能的变分形变余能的变分等于等于面力的变分在实际位面力的变分在实际位移上所做的功移上所做的功（虚功）。（虚功）。 应力变分方程，应力变分方程，也称也称Castigliano变分方程。变分方程。说明：说明：（1） 要求应力的变分满足：要求应力的变分满足：平衡微分方程；平衡微分方程；应力边界条件；应力边界条件；（2）由位移变分方程：由位移变分方程：可得；右边的积分仅当在给定可得；右边的积分仅当在给定非零位移的边界非零位移的边界上才不为零；上才不为零；而在而在应力边界应力边界和和固定位移边界固定位移边界均为零。均为零。（3）实际存在的实际存在的应力应力应满足：应满足：（1）平衡方程；）平衡方程；（2）相容方程；）相容方程；（3）应力边界条件；）应力边界条件；（4）位移边界条件。）位移边界条件。（1）平衡方程；）平衡方程；（2）应力边界条件；）应力边界条件；（3）应力变分方程）应力变分方程可见：可见： 应力变分方程应力变分方程（1）相容方程；）相容方程；（2）位移边界条件。）位移边界条件。特别当位移边界为特别当位移边界为固定边界固定边界时，时， 应力变分方程应力变分方程等价于等价于相容方程，相容方程，且有：且有：3. 最小余能原理最小余能原理将应力变分方程：将应力变分方程：改写为：改写为：（c）在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，上式可写为上式可写为（d）式式中：中：U * 为形变余能；为形变余能； 外力余能；外力余能； 总余能；总余能；于是式（于是式（d）可写成：可写成：（d）（d）（d）或：或：上式上式表明：表明：在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。 最小余能原理最小余能原理最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的相容方程相容方程与与位移边界条件位移边界条件。说明：说明：应力变分方程应力变分方程或或最小余能原理最小余能原理，仅限于单连体问题。，仅限于单连体问题。对于多连体问题，还需考虑对于多连体问题，还需考虑位移单值条件，位移单值条件，而在应力变分方程中而在应力变分方程中考虑位移单值是考虑位移单值是非常复杂的问题非常复杂的问题。11-6 11-6 应力变分法应力变分法1. 应力分量的设定应力分量的设定 以应力为未知量的近似解法以应力为未知量的近似解法满足平衡微分方程；满足平衡微分方程；应力分量设定的要求：应力分量设定的要求：满足应力边界条件。满足应力边界条件。帕普考维奇帕普考维奇应力分量设定：应力分量设定：（11-19）其中：其中：（1）Am 为互不相关的为互不相关的 m 个系数；个系数；平衡方程与应力边界条件的设平衡方程与应力边界条件的设定函数；定函数；为满足为满足（2）（3）为满足为满足“没有没有面力与体力面力与体力作用时的作用时的平平衡方程衡方程与与应力边界条件应力边界条件”的设的设定函数；定函数； 此时应力的变分仅由系此时应力的变分仅由系数数 Am 的变分实现。的变分实现。2. 应力变分法方程应力变分法方程（1）弹性体的）弹性体的位移边界为固定边界位移边界为固定边界此时，应力变分方程为：此时，应力变分方程为：将设定应力分量代入形变余能表达式将设定应力分量代入形变余能表达式将设定应力分量代入形变余能表达式将设定应力分量代入形变余能表达式：将其代入将其代入应力变分方程，有：应力变分方程，有：由于由于 Am为互相独立，且任意为互相独立，且任意，有：，有：（11-20）由此得到由此得到 m 个线性方程，个线性方程， 可确定可确定m个系数个系数Am。（2）弹性体具有）弹性体具有给定给定的的非零位移边界条件非零位移边界条件（2）弹性体具有）弹性体具有给定给定的的非零位移边界条件非零位移边界条件此时，应力变分方程为：此时，应力变分方程为：（a）式中：式中：u、v、w 为已知函数；为已知函数；而非零位移边界条件上的面力变分：而非零位移边界条件上的面力变分：可可由边界上应力应满足的条件确定：由边界上应力应满足的条件确定：（b）将设定的应力分量式（将设定的应力分量式（11-19）代入上式，并积分式（）代入上式，并积分式（a）的右边，得：的右边，得：（c）式式中：中：Bm 为积分所得的常数。为积分所得的常数。而式（而式（a）左边为：左边为：（d）由式（由式（c）、（）、（d）、（）、（a）可得：可得：由于由于 Am为互相独立，且任意为互相独立，且任意，所以有：，所以有：（e）式（式（c）仍为）仍为一一 m 阶的线性方程组，可求解出阶的线性方程组，可求解出 m 个系数个系数 Am，将系数将系数 Am代回应力分量设定式（代回应力分量设定式（11-19），即得所求的应力。），即得所求的应力。说明：说明：（1）如果无位移被给定，且不等于零的边界，则所有的如果无位移被给定，且不等于零的边界，则所有的 Bm 都为都为零，此时式（零，此时式（e）简化为：简化为：（2）要求设定的应力分量要求设定的应力分量既满足平衡微分方程既满足平衡微分方程、又、又满足应力边满足应力边界条件界条件，往往比较困难。，往往比较困难。 但若某些问题存在应力函数，但若某些问题存在应力函数，由于应力函数表示的应力分量已由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程满足平衡微分方程，所以，所以，假设的应力分量假设的应力分量只需满足应力边界条件只需满足应力边界条件即可。即可。11-7 11-7 应力变分法应于平面问题应力变分法应于平面问题1. 应力函数的设定应力函数的设定对于平面问题，如果体力为常量，则存在应力函数对于平面问题，如果体力为常量，则存在应力函数，使得应力表示为：，使得应力表示为：（a） 根据问题的根据问题的应力边界条件应力边界条件、及、及应力分量与应力函数应力分量与应力函数 的关系的关系，可将，可将应力函数应力函数 设为：设为：（11-21）其中：其中：Am 为互不相关的为互不相关的 m 个系数；个系数； 0 给出应力分量实际满足的给出应力分量实际满足的 应力边界条件；应力边界条件； m 给出应力分量满足的无面力的应力边界条件；给出应力分量满足的无面力的应力边界条件；2. 形变余能的计算形变余能的计算（1）平面应力问题）平面应力问题对于平面应力问题，有：对于平面应力问题，有：且不随坐标且不随坐标 z 变化。变化。 限于考虑线弹性问题限于考虑线弹性问题在在 z 方向取单位厚度，则有：方向取单位厚度，则有：（11-22）（2）平面应变问题）平面应变问题（11-23）（3）平面）平面单连体单连体问题问题 无论是平面应力问题还是平面应变问题，两者的应力分量无论是平面应力问题还是平面应变问题，两者的应力分量x 、 y 、xy 均与材料常数无关均与材料常数无关 ，不妨取不妨取 = 0，此时平面问题的形，此时平面问题的形变余能可用统一的形式：变余能可用统一的形式：将上式中的应力分量用应力函数将上式中的应力分量用应力函数 表示，有表示，有（11-24）3. 应力变分方程应力变分方程对于应力边界条件问题，面力的变分恒为零，所以有：对于应力边界条件问题，面力的变分恒为零，所以有：将式（将式（11-24）代入，得）代入，得（11-25） 单连体、应力边界条件问题应力变分方程单连体、应力边界条件问题应力变分方程由上述方程可决定全部的待定系数由上述方程可决定全部的待定系数 Am 。例例：图示矩形板或长柱，体力不计，在两对图示矩形板或长柱，体力不计，在两对边上受有按抛物线分布的拉应力，其最边上受有按抛物线分布的拉应力，其最大集度为大集度为 q ，其边界条件为：其边界条件为：求弹性体中的应力。求弹性体中的应力。解解：设定应力函数设定应力函数先设：先设：则：则： 显然，显然，0 可以可以满足全部满足全部的应力边界条件的应力边界条件。 为使为使m 满足无面力的应满足无面力的应力边界条件，可取力边界条件，可取m具有具有因子：因子：或：或： 为使为使m 满足无面力的应力边界条件，可满足无面力的应力边界条件，可取取m具有因子：具有因子：或：或：显然有：显然有：由此可知，应力函数由此可知，应力函数 可取：可取： 若在式只取一个系数，若在式只取一个系数，则则 为：为：（b）（c）（c）由应力变分方程或最小余能原理，确定待定常数由应力变分方程或最小余能原理，确定待定常数将式（将式（c）代入，积分得：代入，积分得：对对正方形正方形的薄板或长柱，取的薄板或长柱，取 b/a=1，可求得：可求得：将其代入式（将其代入式（c），），并取并取 b/a=1，可求得应力分量：可求得应力分量：（11-25）薄板或长柱中心（薄板或长柱中心（x = y =0）处的应力：处的应力：较精确的解约为较精确的解约为: 若要求得较精确的解，需在式若要求得较精确的解，需在式（b）中取较多系数项。中取较多系数项。解题步骤小结：解题步骤小结：（1）确定应力函数确定应力函数 的形式的形式由由应力边界条件应力边界条件、应力函数与应力函数与应力分量间的关系应力分量间的关系来设定。来设定。（2）确定应力函数确定应力函数 中的待定系数中的待定系数由由应力变分方程应力变分方程或或最小势能原最小势能原理理确定。确定。（3）计算应力分量计算应力分量例例：设平面应力问题设平面应力问题，全部边界上为给定应力边界条件，不计体力。试全部边界上为给定应力边界条件，不计体力。试用最小余能原理证明用最小余能原理证明Airy应力函数应力函数（x，y）满足双调和方程：满足双调和方程：证证：计算系统的总余能：计算系统的总余能： 因为，全部边界为应力边界条件，不计体力，所以其外力余能为零。因为，全部边界为应力边界条件，不计体力，所以其外力余能为零。系统的总余能就等于物体的形变余能：系统的总余能就等于物体的形变余能：（a）（a）计算总余能变分，并使其等于零计算总余能变分，并使其等于零在应力边界上，有：在应力边界上，有：即：即：利用奥利用奥高公式，有：高公式，有：对上式中每一项进行分部积分，有：对上式中每一项进行分部积分，有：因为在边界上，有：因为在边界上，有：在域内，在域内，所以，有，所以，有，11-8 11-8 应力变分法应于扭转问题应力变分法应于扭转问题1. 扭转应力变分方程扭转应力变分方程等等截面直杆的扭转问题中，存在应力截面直杆的扭转问题中，存在应力函数函数 ，横截面剪应力可表示为：横截面剪应力可表示为：形变余能形变余能 及其变分及其变分式中：函数式中：函数 为为 Prandtl 应力函数。应力函数。将其代入形变余能计算式：将其代入形变余能计算式：应力函数应力函数 仅为仅为x、y 的函数，的函数，可将上述积分变为：可将上述积分变为：其中：其中：L为杆的长度；为杆的长度；G为剪切弹性为剪切弹性模量。模量。（a）外力的功及其变分外力的功及其变分 扭转杆件侧面上无外力，因而不存在面力的功。在两端作用有方向相反扭转杆件侧面上无外力，因而不存在面力的功。在两端作用有方向相反的两扭矩的两扭矩 M，两端的相对转角为：两端的相对转角为：KL ，则面力在位移上的功为：则面力在位移上的功为：W=MKL 由上一章的结果：由上一章的结果：得外力的功为：得外力的功为：外力的功的变分为：外力的功的变分为：（b）扭转变分方程扭转变分方程将式（将式（a）（）（b）代入变分方程，有：代入变分方程，有：扭转变分方程扭转变分方程将式（将式（a）（）（b）代入变分方程，有：代入变分方程，有：或：或：（c）以上两式即为以上两式即为扭转问题的变分方程扭转问题的变分方程或或最小余能原理最小余能原理。（1）式（）式（c）中：中： 扭转问题的总余能扭转问题的总余能说明：说明：（2）式（）式（c）中的应力函数中的应力函数 已满足了两端的边界条件。已满足了两端的边界条件。2. 扭转问题的变分方法扭转问题的变分方法由于扭转应力函数由于扭转应力函数 要求在边界上的值等于零，其形式可设为：要求在边界上的值等于零，其形式可设为：其中：其中：Am 为互不相关的为互不相关的 m 个系数。个系数。 为使应力函数为使应力函数 在边界上的值等于零，必须要求函数在边界上的值等于零，必须要求函数 m 都在横截面都在横截面的边界上的值为零。的边界上的值为零。将将 代入扭转变分方程，注意到其变分是由系数代入扭转变分方程，注意到其变分是由系数 Am 的的变分来实现的，所以有：变分来实现的，所以有：（11-26）得到一得到一 m 阶的线性方程组，恰好可用来阶的线性方程组，恰好可用来 m 个系数个系数 Am 。例例：图示矩形扭转杆，材料的剪切弹模为图示矩形扭转杆，材料的剪切弹模为G。试求其单位长度扭转角，剪应力等。试求其单位长度扭转角，剪应力等。yxOAa/2a/2解解：设定扭转应力函数设定扭转应力函数矩形四根边界线的方程：矩形四根边界线的方程：为满足为满足 在边界上的值为零，可取：在边界上的值为零，可取：（d） 由截面的对称性，或薄膜比拟，应力函数由截面的对称性，或薄膜比拟，应力函数 应为应为 x、y 的偶数，所以，的偶数，所以，式中式中 m、n 都只需取为偶数。都只需取为偶数。 对正方形截面杆（对正方形截面杆（ b = a ），），若在（若在（d）中只取一项（中只取一项（ m = n =0）, 则有则有 对正方形截面杆（对正方形截面杆（ b = a ），），若在若在（d）中只取一项（中只取一项（ m = n =0）, 则有则有yxOAa/2a/2代入式（代入式（11-26）有：）有：（11-26）代入扭转变分方程确定待定系数代入扭转变分方程确定待定系数经积分运算，得：经积分运算，得：从而，有：从而，有：（e）由公式（由公式（10-5）：）：有：有：由此求得：由此求得：对照式（对照式（10-21）：）：有：有： 的精确值的精确值：0.141，相差相差：0.14%。两者仅两者仅将求得的将求得的 K 代入式（代入式（e），），有：有：（10-2）对照式（对照式（10-22）：）：由公式（由公式（10-2），可求得应力分量：），可求得应力分量：精确值为：精确值为：0.208,相差：相差：6.8%。两者两者 如果要得更精确的解，如果要得更精确的解，需在式（需在式（d）中较多的系数中较多的系数项。如：项。如： 进行与上相同的运算，得到：进行与上相同的运算，得到： 由此算出的单位扭转角由此算出的单位扭转角 K 比精确值只小比精确值只小0.14%；最大剪应力；最大剪应力max比精确值只大出比精确值只大出4%。11-9 11-9 解答的唯一性解答的唯一性1. 问题的提出问题的提出弹性力学问题的求解方法与途径：弹性力学问题的求解方法与途径：（1）解析解：）解析解：就就所取未知量所取未知量，有：，有： 按应力求解；按应力求解； 按位移求解；按位移求解；就就所用坐标系所用坐标系，有：，有： 直角坐标求解；直角坐标求解； 极坐标求解；极坐标求解；就就解的函数形式解的函数形式，有：，有： 多项解；多项解； 级数解；级数解； 其它函数解；其它函数解；复变函数解；复变函数解；（2）数值解：）数值解：有限差分解（有限差分解（FDM）；）；有限单元法（有限单元法（FEM）；）；边界单元法（边界单元法（BEM）；）；离散单元法（离散单元法（UDEC） ；不同方法、不同途径得到的不同形式的解，其数值是否唯一？不同方法、不同途径得到的不同形式的解，其数值是否唯一？2. 解答的唯一性及其证明解答的唯一性及其证明相应于一定的体力和边界条件，某一弹性力学问题的解是唯一的相应于一定的体力和边界条件，某一弹性力学问题的解是唯一的。 也称解的唯一性定理。也称解的唯一性定理。解的唯一性定理证明：解的唯一性定理证明： （反证法）（反证法）假设：假设：在一定的体力、面力、边界条件下，某个弹性力学问题存在两组解：在一定的体力、面力、边界条件下，某个弹性力学问题存在两组解：（1）（2）考察这两组解是否相同考察这两组解是否相同？它们都为同一问题的解，它们都为同一问题的解，应满足相的平衡方程和边界条件。应满足相的平衡方程和边界条件。对于第一组解对于第一组解，有：，有：对于第一组解对于第一组解，类似有：，类似有：将上述两组不同的解方程两边分相减，有：将上述两组不同的解方程两边分相减，有：可见：两组不同的解的差，对应的状态为：可见：两组不同的解的差，对应的状态为： 这就证明了弹性力学解的唯一性。这就证明了弹性力学解的唯一性。等价于：该弹性体无外力作功，总形变势能为零，即：等价于：该弹性体无外力作功，总形变势能为零，即：因为，物体的形变势能恒为非负，所以，因为，物体的形变势能恒为非负，所以，两组解的差对应的是零解两组解的差对应的是零解。表明：表明： 上述两组解答必须相同。上述两组解答必须相同。该弹性体不受体力、面力、边界位移均为零的状态。该弹性体不受体力、面力、边界位移均为零的状态。11-10 11-10 功的互等定理功的互等定理1. 功的互等定理功的互等定理设某一弹性体（位移边界条件相同），具有两种受力状态。设某一弹性体（位移边界条件相同），具有两种受力状态。第第一一种种状状态：态：外力：外力：应力：应力：应变：应变：位移：位移：第第二二种种状状态：态：外力：外力：应力：应力：应变：应变：位移：位移：计算第一种状态的外力，在第二种状态位移上所做的功计算第一种状态的外力，在第二种状态位移上所做的功：（a）利用利用应力边界条件应力边界条件，有，有利用利用奥奥高公式高公式，有：，有：将其它各项也作类似处理，有：将其它各项也作类似处理，有：将其它各项也作类似处理，有：将其它各项也作类似处理，有：代入式（代入式（a）：）：（a）000（c）同理，可计算第二种状态的外力，在第一种状态位移上所做的功同理，可计算第二种状态的外力，在第一种状态位移上所做的功：（d）计算第一种状态的外力，在第二种状态位移上所做的功计算第一种状态的外力，在第二种状态位移上所做的功：（c）同理，可计算第二种状态的外力，在第一种状态位移上所做的功同理，可计算第二种状态的外力，在第一种状态位移上所做的功：（d）将以上两式均用应变分量表示：将以上两式均用应变分量表示：其中：其中：比较以上两式，显然有：比较以上两式，显然有：表明：表明： 第一状态的外力，在第二种状态的位移上所作的功，等于第二种第一状态的外力，在第二种状态的位移上所作的功，等于第二种的外力在第一种状态的位移上所作的功。的外力在第一种状态的位移上所作的功。 称为功的互等定理称为功的互等定理2. 功的互等定理的应用功的互等定理的应用 主要用于某些弹性体的整体变形主要用于某些弹性体的整体变形如：求图（如：求图（a）中杆的伸长。中杆的伸长。杆的抗拉刚度：杆的抗拉刚度：EA，泊松比：泊松比： 。21由功的互等定理，有：由功的互等定理，有：而而由此可求得：由此可求得：需要指出的是：需要指出的是： 此杆的伸长量与杆的截面形状无关；与杆的长度无关。此杆的伸长量与杆的截面形状无关；与杆的长度无关。如：求图示弹性体，在一对力如：求图示弹性体，在一对力P作用下，体积的作用下，体积的变化。（弹性模量变化。（弹性模量 E、泊松比泊松比 已知）。已知）。由功的互等定理，有：由功的互等定理，有：在三向等压状态下，在三向等压状态下，V的值：与物体的的值：与物体的形状无关形状无关，仅与力，仅与力 P 作用点间的距离作用点间的距离 l 有关有关,与物体的与物体的材料常数材料常数有关。有关。本本 章章 小小 结结一、基本概念与基本量一、基本概念与基本量（1）形变势能）形变势能U、比能比能U 1；（2）形变余能）形变余能U *、比余能比余能U *1；（3）总势能）总势能；（4）总余能）总余能 *；上述各量的计算。上述各量的计算。二、变分方程与变分原理二、变分方程与变分原理（1）位移变分方程；位移变分方程；虚功方程；虚功方程；最小势能原理；最小势能原理；伽辽金变分方程；伽辽金变分方程；（2）应力变分方程；应力变分方程；最小余能原理；最小余能原理；三、求解弹性力学问题的变分法三、求解弹性力学问题的变分法（1）Ritz 法；法；（2）最小势能原理；）最小势能原理；（3）伽辽金法；）伽辽金法；（1）应力变分法；）应力变分法；（2）最小余能原理；）最小余能原理；如何设定位移函数如何设定位移函数？如何设定应力函数如何设定应力函数 ？四、弹性力学两个基本定理四、弹性力学两个基本定理（1）解的唯一性定理；）解的唯一性定理；（2）功的互等定理；）功的互等定理；Ritz 法解题步骤：法解题步骤：（1）假设位移函数，使其位移边界条件；假设位移函数，使其位移边界条件；（2） 计算形变势能计算形变势能 U ；（3）代入代入Ritz 法方程求解待定系数法方程求解待定系数；（4）回回代求解位移、应力等。代求解位移、应力等。用最小势能原理解题步骤：用最小势能原理解题步骤：（1）假设位移函数，使其位移边界条件；假设位移函数，使其位移边界条件；（2） 计算系统的总势能计算系统的总势能 ；（3） 由最小势能原理：由最小势能原理： =0 ，确定待定系数；，确定待定系数；（4）回回代求解位移、应力等。代求解位移、应力等。用用应力变分法解题步骤：应力变分法解题步骤：（1）假设满足应力边界条件的应力函数假设满足应力边界条件的应力函数 ；（2）计算系统的形变余能）计算系统的形变余能U *；（3）代入应力变分法方程确定待定系数；）代入应力变分法方程确定待定系数；（4）回代求出应力分量。）回代求出应力分量。在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程：在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程：用最小余能原理解题步骤：用最小余能原理解题步骤：（1）假设满足应力边界条件的应力函数假设满足应力边界条件的应力函数 ；（2）求系统的总余能）求系统的总余能 * ；（3） 由最小余能原理：由最小余能原理： * = 0 ，确定待定系数；，确定待定系数；（4）回回代求解出应力。代求解出应力。 总势能；总势能； 总余能；总余能；作作 业业113， 114 ，115作业：作业：1111. 试利用位移变分方程或最小势能原理，导出平面应力问题的平衡微分方试利用位移变分方程或最小势能原理，导出平面应力问题的平衡微分方程和应力边界条件。程和应力边界条件。 EI图示简支梁，受均布载荷图示简支梁，受均布载荷 q 作用，试作用，试求的梁的挠曲线方程。求的梁的挠曲线方程。 取近似挠曲线方程：取近似挠曲线方程：2.补充题：补充题：（11-10） Ritz 法方程法方程（11-11） 伽辽金（伽辽金（Galerkin）法方程法方程（11-6）位移变分方程位移变分方程，也称，也称 Lagrange 变分方程变分方程：虚功方程：虚功方程：（11-7）最小势能原理最小势能原理伽辽金（伽辽金（Galerkin）变分方程变分方程