13.3.2 等边三角形（等边三角形（2）含含30角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质在在Rt ABC中，中，C=90若Rt A= 30，AB=a,BC=? ACB复习回顾复习回顾1、等边三角形的概念：、等边三角形的概念：2、等边三角形的性质：、等边三角形的性质：3、等边三角形的判定：、等边三角形的判定：等边三形的三个内角都相等等边三形的三个内角都相等,并且每一个角都等于并且每一个角都等于600.（1）定义法）定义法:三条边都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是有一个角是600的的等腰三角形等腰三角形是等边三角形是等边三角形；ABC三边都相等的三角形。三边都相等的三角形。BACD将两个含有将两个含有30的三角尺如图摆放在的三角尺如图摆放在一起，你能借助这个图形找到一起，你能借助这个图形找到Rt ABC的直的直 角边角边BC与斜边与斜边AB之间的数量关系吗？并证明之间的数量关系吗？并证明 结论结论 在在直角三角形直角三角形中，如果一个锐角等于中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半。那么它所对的直角边等于斜边的一半。 若若 AC BC ，A= 3030 则则BC= ABACB温馨提示 在解有关直角三角形的边的关在解有关直角三角形的边的关系的问题中，常常会用到这条性质，这是系的问题中，常常会用到这条性质，这是一种常用的方法。一种常用的方法。直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理：证明：ABC与ADC关于AC轴对称，在在ABC ABC 中，中，ABAD，B=60 (有一个角是有一个角是60等腰三角形等腰三角形是等边三角形是等边三角形) ABD是等边三角形AB=AD=BD BC=CD= BDBCDC AB你还能用其他方法证明吗?BACD证法证法1：已知：如图，在已知：如图，在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，BAC=30BAC=30求证：求证：BC= ABBC= AB 证法2：分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD 证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，则B=60 延长BC至D，使CD=BC，连接AD ACB=90， ACD=90 AC=AC， ABCADC（SAS） AB=AD（全等三角形的对应边相等） ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）BC=1/2BD=1/2AB 例例1 ：如图，是屋架设计图的一部分，点如图，是屋架设计图的一部分，点D D是斜梁是斜梁ABAB的中点，立柱的中点，立柱BCBC、DEDE垂直于横梁垂直于横梁ACAC，AB=7.4 mAB=7.4 m，A= 3030, ,立柱立柱BCBC、DEDE要多要多长？长？AEDCB解:DEAC, BCAC, A30 可得 2BCAB, 2DEAD BC 7.43.7m 又 AD AB DE AD 3.71.85m答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.12121212AEDCB1、如图，在、如图，在Rt ABC中，中， B=2 A，AB=6cm，则，则BC=_.2、如图，、如图， Rt ABC中，中， A= 3030，AB+BC=12cm，则，则AB= _.ACB3cm8cm3、如图，、如图， Rt ABC中，中， A= 30，BD平分平分ABC，且，且BD=16cm，则，则AC= .D24cm思考：思考： AD=2CD成立成立吗？吗？4、如图，在如图，在ABC中，中， ACB= 90， B= 15，AB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交BC、AB于于D、E。求证：。求证：DB=2ACBEDAC在在Rt ABC中，若中，若 则则A的度数为？的度数为？ BC= ABACBD逆定理逆定理 BC= AB A= 3030 AC BC ， 在在直角三角形直角三角形中，如果一条直角边是斜边的中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对一半，那么这条直角边所对 的锐角是的锐角是3030。ACB反过来怎么样反过来怎么样逆向思维逆向思维在在ABDABD中中,ACB=90,ACB=900 0( (已知已知),),AB=AD(AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).).又又BC=AB/2(BC=AB/2(已知已知),), BC=BD/2( BC=BD/2(作图作图),),AB=BD(AB=BD(等量代换等量代换).).AB=BD=AD(AB=BD=AD(等式性质）等式性质）. .ABDABD是等边三角形是等边三角形( (等边三角形定义等边三角形定义).).B=60B=600 0( (等边三角形定义等边三角形定义).).A=30A=300 0( (直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余).).300ABCD证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.1、如图，、如图， ABC是等边三角形，是等边三角形， AD BC，DE AB，垂足分别，垂足分别是是D、E，如果，如果AB=8cm，则则BD=_, BDE= ，BE=_.AEDCB4cm2cm302、如图，在、如图，在ABC中，中， ACB= 9090，BA的的垂直平分线交边垂直平分线交边CB于于D。若。若AB=10，AC=5，则图中等于，则图中等于 3030的角的个数为（的角的个数为（ ）A.2 B.3C.4 D.5AEDCBB3、如图，在、如图，在ABC中，中， AB=AC，BAC= 120120，AC的的垂直平分线垂直平分线EF交交AC于点于点E，交，交BC于点于点F。求证：。求证：BF=2CF。 AFECB4、如图，、如图， AOB= 3030，P P是角平分线上是角平分线上的点，的点，PM OB于于M，PN/OB交交OA于于N，若若PM=1cm，则，则PN=_.2cmANMPBOE. .如图：已知如图：已知 在在ABC ABC 中，中，A=30A=300 0，C=90C=900 0，BDBD平分平分ABC.ABC.求证：求证：AD=2DCAD=2DC. .如图，在如图，在ABCABC中中,C=90,C=900 0,B=30,B=300 0，DEDE是是ABAB的中垂线，的中垂线，BE=5,BE=5,则则AE=_,EC=_AE=_,EC=_等边三角形的判定等边三角形的判定:定义定义: :有三边相等的三角形是等边三角形有三边相等的三角形是等边三角形. .定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. .特殊的直角三角形的性质:定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. .逆定理逆定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边等于如果一条直角边等于斜边的一半斜边的一半, ,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于30300 0. .小结 拓展等边三角形的性质等边三角形的性质: 三边相等三边相等,三个角都是三个角都是600,”三线合一三线合一”,三条对三条对称轴称轴.