景泰县陈庄中学：沈渭栋二次函数一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与四、图象位置与a a、b b、c c、 的的正负关系正负关系一般地，如果一般地，如果 y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a，b b，c c 是常数，是常数，a0a0) )，那么，那么，y y叫做叫做x x的二次函数。的二次函数。一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与四、图象位置与a a、b b、c c、 的的正负关系正负关系一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与四、图象位置与a a、b b、c c、 的的正负关系正负关系y=ax2+bx+cy=a(x+ )2+ b2a4ac-b24a 对称轴对称轴： x= 顶点坐标顶点坐标：（：（ ， ） b2a4ac-b24a b2a一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与四、图象位置与a a、b b、c c、 的的正负关系正负关系 解析式解析式使用范使用范围围一般式一般式已知任意三个点顶点式顶点式已知顶点（h,k)及另一点两根式两根式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-x1)(x-x2)y=a(x-h)2+kc0c=0c0ab=0ab0=00a0a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00x=-b2a (1)a(1)a确定抛物线的开口方向：确定抛物线的开口方向： (2)c(2)c确定抛物线与确定抛物线与y y轴的交点位置轴的交点位置: : (3)a(3)a、b b确定对称轴确定对称轴 位置位置: :(4)(4)确定抛物线与确定抛物线与x x轴的交点个数：轴的交点个数：xy0例1、已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？2213例1、已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1223解解:（1）a= 0抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y= (x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，-2）222111例1、已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？解：解：(2)由由x=0，得，得y= - -抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，- -） 由由y=0，得，得x2+x- =0 x1=-3 x2=1 与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）22222211333例1、已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？解解0x(3)连线连线 确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2画对称轴画对称轴2213例1、已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3 2xD解解 ：（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB=2 22+4=4 2+4MAB的的面积面积=ABMD=42=41212y2213例1、已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？解解解解0x(0,-)(-3,0)(1,0)3 2:(5)(-1,-2)当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为y最小值最小值=-2当当x-1时，时，y随随x的增大的增大而减小而减小;2213例1、已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？解：0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2x由由图象可知图象可知 当当x1时，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0返回2213巩固练习巩固练习（1 1）二次函数）二次函数y=xy=x2 2-x-6-x-6的图象顶点坐标是的图象顶点坐标是_对称轴是对称轴是_。（2 2）抛物线）抛物线y=-2xy=-2x2 2+4x+4x与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是_（3 3）已知函数）已知函数y=xy=x2 2-x-4-x-4，当函数值，当函数值y y随随x x的的增大而减小时，增大而减小时，x x的取值范围是的取值范围是_（4 4）二次函数）二次函数y=mxy=mx2 2-3x+2m-m-3x+2m-m2 2的图象经过原的图象经过原点，则点，则m= _m= _。（，-）125 24x=12（0，0）（2，0）x12归纳小结：归纳小结：（1）二次函数）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用及抛物线的性质和应用 注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函或函数值数值y的取值范围的取值范围 （2）a，b，c，的正负与图象的位置关系的正负与图象的位置关系 注意：图象与轴有两个交点注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），），B（x2，0）时时AB=|x2-x1|= (x1+x2)2+4x1 x2= 这一结论及推导过程。这一结论及推导过程。|a|能力训练能力训练 二二次次函数的图象如图所示，则在下列各不等式函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是中成立的个数是_1-10xy返回abc0 a+b+c b2a+b=0 =b-4ac 0个