11.2 三角形全等的判定三角形全等的判定(三三)1.什么叫做全等三角形什么叫做全等三角形?2.全等三角形有什么性质全等三角形有什么性质?ACBACB3.我们学过全等三角形的哪几种判我们学过全等三角形的哪几种判定方法定方法? 分别是什么？分别是什么？ 有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)。边边边： 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。边角边：如果知道两个三角形的如果知道两个三角形的两个角两个角及及一条边一条边分分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？别对应相等，这两个三角形一定全等吗？这时应该有几种不同的情况？这时应该有几种不同的情况？（1）两个角及两角的夹边；）两个角及两角的夹边；（2）两个角及其中一角的对边）两个角及其中一角的对边两个三角形ABC和A/B/C/，满足AB=A/B/，A=A/，B=B/ ，这两个三角形全等吗？两角夹边两角夹边CAB三角形全等的判定公理（三）角边角公理三角形全等的判定公理（三）角边角公理如果两个三角形的两个角及其夹边分别如果两个三角形的两个角及其夹边分别对对应应相等，那么这两个三角形全等。相等，那么这两个三角形全等。在在ABC和和 ABC中中A= AAB= ABB= BABC ABC(ASA)ACBACB(ASA)符号语言如果两个三角形有两个角和其中一个如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否全等三角形是否全等?ACBACB两角及其中一角的对边两角及其中一角的对边三角形全等的判定定理（四）角角边三角形全等的判定定理（四）角角边如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等分别对应相等，那么这两个三角形全等.在在ABC和和 ABC中中A= ABC= BCB= BABC ABC(AAS)ACBACB(AAS)符号语言两角和它们的夹边对应相等的两个三角形两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成全等，简写成“角边角角边角”或或“ASA”。两角和其中一角的对边对应相等的两个三两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成角形全等，简写成“角角边角角边”或或“AAS”（ASA）（AAS）例例1 如图，如图，AB、CD相交于相交于O，且，且O是是AB的的中点，中点，A=B，证明：，证明：AOCBOD.ABCDO12例例2 如图，在如图，在ABC 中中 ，B=C，AD是是BAC的角平分线，求证：的角平分线，求证：AB=AC.证明证明: AD是是BAC的角平分线的角平分线 12 （角平分线定义）（角平分线定义） 在在ABD与与ACD中中 1= 2 （已证）（已证） B=C （已知）（已知） AD=AD （公共边）（公共边） ABDACD（AAS） AB=AC（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）1 2ABCD1 2ABCD例例3 如图，如图，1=2，3=4 求证：求证：AC=AD多种方法多种方法56例例4 如如图，在，在ABC中，中，ACB90，ACBC，BECE于于E，ADCE于于D，求，求证：（：（1）BECCDA， （2）BEEDAD.123例例5 如图，如图，ABC中，中，BAC=90，AB=AC， 直线直线MN过点过点A，BDMN于于D，CEMN 于于E。求证：。求证：BDCE=DE。132练一练练一练1.如图，已知如图，已知AB=DE， A =D，B=E，则，则ABC DEF的理由是：的理由是：2.如图，已知如图，已知AB=DE ，A=D，C=F，则，则ABC DEF的理由是：的理由是：ABCDEF角边角（角边角（角边角（角边角（ASAASA）角角边（角角边（角角边（角角边（AASAAS）练一练练一练3.要使下列各对三角形全等，需要增加什么条要使下列各对三角形全等，需要增加什么条件，并指出相应的依据。件，并指出相应的依据。（1） （2）4.如图，如图，ABC=DCB，试添加一个条件，使得试添加一个条件，使得ABCDCB，这个条件，这个条件可以是可以是 ，或或 ，或，或 ，并指出判定全等的相应依，并指出判定全等的相应依据。据。练一练练一练ACBACBDBCDBCA AD DABABDCDC5.如图如图，已知已知OA=OB，应添什么条件就得到：，应添什么条件就得到： AOC BOD（只允许添加一个条件），只允许添加一个条件），并并说明判定说明判定全等的依据全等的依据.OACDB6. 6.如图如图如图如图ACBACB= =DFEDFE，BCBC= =EFEF，根据，根据，根据，根据ASAASA或或或或AASAAS，那么应补充一个直接条件那么应补充一个直接条件那么应补充一个直接条件那么应补充一个直接条件 ，（写出一个即可），才能使（写出一个即可），才能使（写出一个即可），才能使（写出一个即可），才能使ABCABCDEFDEF7. 7.如图，如图，如图，如图，BEBE= =CDCD，1=1=2 2，则，则，则，则ABAB= =ACAC吗？为什么？吗？为什么？吗？为什么？吗？为什么？A AB BC CD DE EF FB B= =E EC CA AB B1 12 2E ED D练一练练一练第6题图第7题图或或或或A A= =D D43例例6 如图，如图，ABCDCB，ACBDBC， 证明：证明：ABC DCB.ADCBOAODO3412例例7 如如图，四，四边形形ABCD的的对角角线AC与与 BD相交于相交于O，12，34， 求求证：（：（1）ABCADC； （2）BODOO例例8 如如图，已知，已知BEAD，CFAD，且，且 BECF，求，求证：BDCD.12例例9 如图，如图，ABCD，ADBC，那么，那么AB=CD 吗？为什么？吗？为什么？AD与与BC呢？呢？ABCD1243证明：证明： ABCD，ADBC（已知（已知 ） 12 34 （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 在在ABC与与CDA中中 12 （已证）（已证） AC=CA （公共边）（公共边） 34 （已证）（已证） ABCCDA（ASA） AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）例例10 如图，已知如图，已知1=2，3=4， BD=CE，求证：，求证：AB=AC多种方法多种方法例例11 已知：如图，已知：如图，ABC ABC，AD、 AD分分 别是别是ABC 和和ABC的高。证明：的高。证明：AD AD， 并用一句话说出你的发现。并用一句话说出你的发现。ABCDABCD全等三角形对应边上的高相等。全等三角形对应边上的高相等。多种方法多种方法例例12 如图，如图，AB/DC，AD/BC，BEAC于于E， DF AC于于F，。证明：，。证明：BEDFABCDEF变形：变形：如图（如图（2）将上题中的条件）将上题中的条件“BEAC，DF AC”变为变为“BE /DF”，结论还成立吗？请说明你的，结论还成立吗？请说明你的理由。理由。ABCDEF例例13 如图，如图，BE和和CD相交于点相交于点O，AB = AC， B = C.求证：求证：BD = CEABCDEO证明：在证明：在ACD和和ABE中中A = A （公共角）（公共角）AC = ABC = B ABEACD（ASA）AD = AE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又AB = AC DBOECO（？）（？）OD = OEOB = OCABADACAE 即即BD = CEOB = OC要证明要证明要证明要证明PAPA= =PCPC可将其放在可将其放在可将其放在可将其放在APBAPB和和和和CPB CPB 中或中或中或中或APDAPD和和和和CPDCPD中考虑中考虑中考虑中考虑已有两条边对应相等已有两条边对应相等已有两条边对应相等已有两条边对应相等 （其中一条是公共边）（其中一条是公共边）（其中一条是公共边）（其中一条是公共边）还缺一组夹角对应相等还缺一组夹角对应相等还缺一组夹角对应相等还缺一组夹角对应相等若能使若能使若能使若能使1=1=2 2或或或或ADPADP= =CDPCDP 即可。即可。即可。即可。创造条件！创造条件！ ？例例14 已知：如图，已知：如图，P是是BD上的任意一点，上的任意一点， AB=CB，AD=CD。求证：。求证：PA=PC例例15 已知：如图，已知：如图， 1= 2 ，3= 4. 求证求证: 5=6自主分析自主分析!练一练练一练FDEACB1.如图已知：如图已知： ABDE， ACDF，BECF， 求证：求证：ABDE。2.如图已知：如图已知：ABCD， AECF，AECF， 求证：求证：BDEF。ABCDEF3.如图已知：线段如图已知：线段AD和和BC相交于点相交于点O， E、F分别在分别在OA、OD上，且上，且BECF， ABDC，ABDC，求证：，求证：BECF练一练练一练124.如图如图，ABAC，ADAE，AFBD交交BD延延 长线于长线于F，AGCE交交CE延长线于延长线于G 求证：求证：AFAG练一练练一练5.如图如图，D为为BC中点，中点，F为为AC上一点，上一点， 过过B点作点作BGAC交交FD的延长线于的延长线于G， DEFD交交AB于于E，求证，求证：（1）BGCF；（2）BECFEF.练一练练一练思考题思考题已知：如图，已知：如图，B是是AC的中点，的中点，AD=CE，AE=CD，求证：，求证：BD=BE. 三步走：三步走：要证什么；要证什么；已有什么；已有什么；还缺什么。还缺什么。拓展训练拓展训练:如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知：ABAB= =ADAD，CB=CDCB=CD，MM、N N分别是分别是分别是分别是ABAB、ADAD的中点。求证：的中点。求证：的中点。求证：的中点。求证：CMCM= =CNCN. .连结连结AC.拓展训练拓展训练:如图，已知：如图，已知：AD=AE，BD=CE，求证，求证:（1）B=C；（2）OD=OE；（3）AO平分平分BAC.1 1、本节课我们主要学习了有关全等三角形的本节课我们主要学习了有关全等三角形的“两两角一边角一边”的判定方法，有两种情况：的判定方法，有两种情况： （1 1）两个角及两角的夹边；）两个角及两角的夹边；）两个角及两角的夹边；）两个角及两角的夹边； （2 2）两个角及其中一角的对边。）两个角及其中一角的对边。）两个角及其中一角的对边。）两个角及其中一角的对边。2 2、注意角角边、角边角中两角与边的区别。注意角角边、角边角中两角与边的区别。3 3、进一步学会用推理证明。进一步学会用推理证明。（1 1）证题前先分析（方法是）证题前先分析（方法是）证题前先分析（方法是）证题前先分析（方法是“ “三步走三步走三步走三步走” ”）（2 2）证明线段或角相等有时需通过两次全等来实现）证明线段或角相等有时需通过两次全等来实现）证明线段或角相等有时需通过两次全等来实现）证明线段或角相等有时需通过两次全等来实现到目前为此，我们共学了几种到目前为此，我们共学了几种判定三角形全等的方法？判定三角形全等的方法？有三边对应相等的两个三有三边对应相等的两个三角形全等。角形全等。边边边边边边: :有两边和它们夹角对应相有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。等的两个三角形全等。边角边边角边有两角和它们夹边对应相有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等。等的两个三角形全等。角边角角边角有两角及其中一个角的有两角及其中一个角的对边对应相等的两个三对边对应相等的两个三角形全等角形全等. .角角边角角边证明三角形全等的注意事项证明三角形全等的注意事项4. SSA和和AAA不能作为判定三角形全等的不能作为判定三角形全等的方法方法.3. 大括号里按照所用公理的边角按顺序写大括号里按照所用公理的边角按顺序写.2. 证明时注意三角形的对应顶点写在对应证明时注意三角形的对应顶点写在对应位置上位置上.1. 所有全等的准备工作放在前面写所有全等的准备工作放在前面写.