第十二章 全等三角形 总复习2020/12/151全全等等形形全全等等三三角角形形性质性质应用应用全等三角形对应边（高全等三角形对应边（高线、中线）相等线、中线）相等全等三角形对应角（对全等三角形对应角（对应角的平分线）相等应角的平分线）相等全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等SSSSASASAAASHL解决问题解决问题角角的的平平分分线线的的性性质质角平分线上的一点到角的两边距离相等角平分线上的一点到角的两边距离相等 到角的两边的距离相等的点在角平分线上到角的两边的距离相等的点在角平分线上判定判定条件条件（尺规作图） 判定三角形全等判定三角形全等必须有一组对应边必须有一组对应边相等相等.2020/12/152精品资料2020/12/153你怎么称呼老师？如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？教师的教鞭“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ”“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早”2020/12/154 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为： 三角形全等判定方法三角形全等判定方法1 全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法2020/12/155 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“ “SASSAS” ”) )FEDCBAAC=DFC=FBC=EF2020/12/156A=DAB=DEB=E在在ABC和和DEF中中 ABCDEF（ASA） 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等等等等( (可以简写成可以简写成可以简写成可以简写成“ “角边角角边角角边角角边角” ”或或或或“ “ASAASA” ”）。）。）。）。用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：FEDCBA 三角形全等判定方法三角形全等判定方法32020/12/157 三角形全等判定方法三角形全等判定方法4 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等形全等形全等形全等( (可以简写成可以简写成可以简写成可以简写成“ “角角边角角边角角边角角边” ”或或或或“ “AASAAS” ”）。）。）。）。在在ABC和和DEF中中A=DB=E BC=EF ABCDEF（AAS）2020/12/158 三角形全等判定方法三角形全等判定方法5 有一条有一条有一条有一条斜边斜边斜边斜边和一条和一条和一条和一条直角边直角边直角边直角边对应相等的两个对应相等的两个对应相等的两个对应相等的两个直角三直角三直角三直角三角形角形角形角形全等全等全等全等( (HLHL）。）。）。）。在在RtABC和和RtDEF中中AB=DE （已知（已知 ） AC=DF（已知（已知 ） ABCDEF（HL）ABCDEF2020/12/1591.全等三角形的性质全等三角形的性质: 对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定全等三角形的判定: 知识点知识点一般三角形全等的判定：一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL2020/12/1510知识点知识点3.三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路：2020/12/1511到角的两边的距离相等的点在角的平到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。分线上。 QDOA，QEOB，QDQE（已知）点Q在AOB的平分线上（到角的两边的距到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 (已知） QDQE（角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等）边的距离相等）二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：2020/12/15122.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, , PDAB于于D，PEBC于于EABCPMNDEFPD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PD AB于于D，PE BC于于E，PF AC于于F2020/12/15133.3.如如图图，已已知知ABCABC的的外外角角CBDCBD和和BCEBCE的的平平分分线线相相交于点交于点F F，求证：点，求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM（角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边距离相等）两边距离相等）.又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.FGFH（等量代换）点F在DAE的平分线上2020/12/1514二、全等三角形识别思路复习二、全等三角形识别思路复习 如图，已知如图，已知ABC和和DCB中，中，AB=DC，请补充一个，请补充一个条件条件-，使，使ABC DCB。思路思路1：找夹角找夹角找第三边找第三边找直角找直角已知两边：已知两边： ABC=DCB （SAS）AC=DB （SSS） A=D=90（HL）ABCD2020/12/1515 如图，已知如图，已知C= D，要识别，要识别ABC ABD，需，需要添加的一个条件是要添加的一个条件是-。思路思路2：找任一角找任一角已知一边一角已知一边一角（边与角相对）（边与角相对）（AAS） CAB=DAB或者或者 CBA=DBAACBD2020/12/1516 如图，已知如图，已知1= 2，要识别，要识别ABC CDA，需，需要添加的一个条件是要添加的一个条件是- 思路思路3： 已知一边一角（边与角相邻）：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找夹这条边的另一角找边的对角找边的对角AD=CBACD=CABD=B（SAS）（ASA）（AAS）2020/12/1517 如图，已知如图，已知B= E，要识别，要识别ABC AED，需要，需要添加的一个条件是添加的一个条件是-思路思路4：已知两角：已知两角：找夹边找夹边找一角的对边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或或 DE=BC(ASA)(AAS)2020/12/1518例题选析例题选析例例1：如图，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定ABEACD的是( )AAD=AE B AEB=ADCCBE=CD DAB=ACB例例2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对 D2020/12/1519已知：已知： ACBC，BDAD，AC=BD. 求证：求证：BC=AD.例例3.ABCD2020/12/1520例例4:下面条件中, 不能证出RtABCRtA BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC(C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=ABC2020/12/1521例例5：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB。BE=EH2020/12/1522例例7 7、如图，、如图，ABCABC中，中，ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，BEACBEAC，垂足为，垂足为E E，ADAD、BEBE相交于点相交于点F F。如果。如果BFBFACAC，那么，那么ABCABC的度数是的度数是 （ ）A A、40400 0B B、45450 0C C、50500 0D D、60600 0BF FD DE EB BC CA A2020/12/1523 例例8. 如图，在如图，在ABC中，两条角平分线中，两条角平分线BD和和CE相交于点相交于点O，若，若BOC=1200，那么，那么A的度数的度数是是 .ABCDEO6002020/12/1524例例9、如图：在、如图：在ABC中，中，C C =900，AD平分平分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE= 。12cABDE2020/12/15251010. .如图，如图，ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE于于D D，AD=2.5cm,DE=1.7cmAD=2.5cm,DE=1.7cm。求：。求：BEBE的长。的长。ABCDE2020/12/15261.已知已知BDCD，ABDACD，DE、DF分别垂直分别垂直于于AB及及AC交延长线于交延长线于E、F，求证：，求证：DEDF证明：证明：ABDACD（ ） EBDFCD（ ）又又DEAE，DFAF（已知）（已知） EF900（ ）在在DEB和和DFC中中 DEBDFC（ ） DEDF（ ）全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等AASAAS垂直的定义垂直的定义等角的补角相等等角的补角相等已知已知2020/12/15272.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF，求证：ABCD。证明：2020/12/1528 3 3. . 如图如图CDABCDAB，BEACBEAC，垂足分别为，垂足分别为D D、E E，BEBE与与CDCD相交于点相交于点O O，且，且1 12 2，求证，求证OBOBOCOC。 证明：证明：12CDAB，BEACODOE(角平分线的性质定理角平分线的性质定理)在在OBD与与OCE中中 OBDOCE(ASA) OBOC2020/12/152930 4. 如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，证明DM=DN， ACDBMN2020/12/15305.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD EDCAB证明证明： ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA= DCE=60 BCA+ ACE= DCE+ ACE即即 BCE= DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE= DCA DC=EC ACDBCE (SAS) BE=AD2020/12/1531 6. 如图如图A、B、C在一直线上，在一直线上，ABD，BCE都是等边都是等边三角形，三角形，AE交交BD于于F，DC交交BE于于G，求证：，求证：BFBG。证明：证明：ABD，BCE是等边三角形。是等边三角形。DBAEBC60 A、B、C共线共线DBE60ABEDBC在在ABE与与DBC中中 ABEDBC(SAS)21在在BEF与与BCG中中BEFBCG(ASA)BFBG(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)2020/12/15327：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上， 1= 2， 3= 4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1= 2 3= 4 EB=EB EBC EBD (AAS) BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1= 2 BC=BD ABC ABD (SAS) AC=AD2020/12/153334 8.8.已已知知：ABCABC和和BDEBDE是是等等边边三三角角形形, , 点点D D在在AEAE的延长线上。的延长线上。 求证：求证：BD + DC = AD BD + DC = AD ABCDE分析：AD = AE + ED 只需证：BD + DC = AE + ED BD = ED 只需证DC = AE即可。2020/12/15349 9. .如图如图AB/CD,B=90AB/CD,B=90,E,E是是BCBC的中点的中点,DE,DE平分平分ADC,ADC,求证求证:AE:AE平分平分DABDABCDBAEF证明证明: :作作EFAD,EFAD,垂足为垂足为F FDEDE平分平分ADCADCAB/CD,C=BAB/CD,C=B又又B=90B=90C=90C=90又又EFADEFADEF=CEEF=CE又又E E是是BCBC的中点的中点EB=ECEB=ECEF=EBEF=EBB=90B=90EBABEBABAEAE平分平分DABDABBCDCBCDC2020/12/15353610. 如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，AD，试说明：BFCE ABCDEF2020/12/153611. 求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，已知：如图，AD是是ABC 的中线，求证：的中线，求证：ABCDE证明：延长AD到E，使DEAD，连结BE AD是ABC 的中线BDCD又 DEAD ADC EDB AC = EB在ABE中，AE AB+BEAB+AC即 2AD AB+AC2020/12/153712.如图如图,已知已知AC BD，EA、EB分别平分分别平分 CAB和和 DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）2020/12/153813.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEFBCAFED2020/12/15391414. .已知：如图已知：如图2121，ADAD平分平分BACBAC，DEABDEAB于于E E，DFACDFAC于于F F，DB=DCDB=DC，求证：求证：EB=FCEB=FC2020/12/154015.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证： ADG 为等腰直角三角形。2020/12/154116.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.2020/12/1542 14141414、如如如如图图图图，在在在在ABCABCABCABC中中中中，ADADADAD为为为为BCBCBCBC边边边边上上上上的的的的中中中中线线线线，试试试试说说说说明明明明ABABABABACACACAC与与与与2AD2AD2AD2AD之间的大小关系。之间的大小关系。之间的大小关系。之间的大小关系。解：延长解：延长解：延长解：延长ADADADAD至至至至E E E E，使，使，使，使DEDEDEDEADADADAD在在在在ABDABDABDABD与与与与ECDECDECDECD中中中中BDBDBDBDDCDCDCDC（中线的定义）（中线的定义）（中线的定义）（中线的定义）ADBADBADBADBEDCEDCEDCEDC（对顶角相等）（对顶角相等）（对顶角相等）（对顶角相等）ADADADADDEDEDEDEABDECDABDECDABDECDABDECD（SASSASSASSAS）根据全等三角形对应边相等根据全等三角形对应边相等根据全等三角形对应边相等根据全等三角形对应边相等ABABABABECECECEC在在在在AECAECAECAEC中中中中:AC:AC:AC:ACECECECECAEAEAEAE又又又又AEAEAEAE2AD2AD2AD2ADABABABABACACACAC2AD2AD2AD2AD小结：对于三角形的中线，小结：对于三角形的中线，小结：对于三角形的中线，小结：对于三角形的中线，我们可以通过延长中线的我们可以通过延长中线的我们可以通过延长中线的我们可以通过延长中线的1 1 1 1倍，来构造全等三角形。倍，来构造全等三角形。倍，来构造全等三角形。倍，来构造全等三角形。联想：对于三角形的角平分联想：对于三角形的角平分联想：对于三角形的角平分联想：对于三角形的角平分线，有时我们也可进行翻折线，有时我们也可进行翻折线，有时我们也可进行翻折线，有时我们也可进行翻折构造全等三角形。构造全等三角形。构造全等三角形。构造全等三角形。ED D D DB B B BA A A AC C C C2020/12/154315151515、已知在、已知在、已知在、已知在ABCABCABCABC中，中，中，中，ADADADAD是角平分线，且是角平分线，且是角平分线，且是角平分线，且ACACACACABABABABBD,BD,BD,BD,试说明：试说明：试说明：试说明：BBBB2C2C2C2C解：在解：在解：在解：在ACACACAC上截取上截取上截取上截取AEAEAEAEABABABAB，连结，连结，连结，连结DEDEDEDE在在在在AEDAEDAEDAED与与与与ABDABDABDABD中中中中AEAEAEAEABABABABEADEADEADEADBADBADBADBAD（角平分线的定义）（角平分线的定义）（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADADADADADADADAD（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）AEDABD(SAS)AEDABD(SAS)AEDABD(SAS)AEDABD(SAS)根据全等三角形对应边、对应角相等根据全等三角形对应边、对应角相等根据全等三角形对应边、对应角相等根据全等三角形对应边、对应角相等EDEDEDEDBDBDBDBD，AEDAEDAEDAEDB B B B又又又又AC=AB+BDAC=AB+BDAC=AB+BDAC=AB+BDCE=DECE=DECE=DECE=DE根据等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的两个底角相等C C C CEDCEDCEDCEDC又又又又AEDAEDAEDAEDC C C CEDCEDCEDCEDCAEDAEDAEDAED2C2C2C2CB B B B2C2C2C2CE E E EC C C CA A A AB B B BD D D D2020/12/1544四、小结：四、小结：找夹角（找夹角（SAS）找第三边（找第三边（SSS）找直角（找直角（HL）已知两边已知两边找任一角（找任一角（AAS）已知一边一角已知一边一角 （边与角相邻）（边与角相邻）找夹这个角的另一边（找夹这个角的另一边（SAS）找夹这条边的另一角（找夹这条边的另一角（ASA）找边的对角（找边的对角（AAS）已知两角已知两角找夹边（找夹边（ASA）找一角的对边（找一角的对边（AAS）1、全等三角形识别思路、全等三角形识别思路：3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。（边与角相对）（边与角相对）2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。注意：、注意：、“分别对应相等分别对应相等”是关键；是关键；、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。2020/12/1545