血管的三维重建2019年全国大学生数学建模竞赛标题目录问题的提出血管三维重建的背景问题分析模型的假设模型的建立及求解模型的检验问题的提出断面可用于了解生物组织、器官等的形状。例如，将样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下察看该横断面的组织形状构造。假设用切片机延续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片察看。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形状。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的外表是由球心沿着某一曲线称为中轴线的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络构成。 问题的提出现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素pixel。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只需一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为：-256，-256，z-256，-255，z-256，255，z， -255，-256，z-255，-255，z-255，255，z， 255，-256，z 255，-255，z255，255，z。 试计算管道的中轴线与半径，给出详细的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。 问题的提出 Z=1Z=0Z=99Z=98Z=49Z=50血管三维重建的背景这问题的来源于序列图象的计算机三维重建。序列图象的计算机三维重建是运用数学和计算机技术在医学与生物学领域的重要运用之一；是医学和生物学的重要研讨方法，它协助人们由表及里、由浅人深地认识生物体的内部性质与变化，了解其空间构造和形状。血管是血液流通的通路，其在生命活动中的重要性是众所周知，诊断师在临床中经常需求了解血管的分布、走向等重要信息。理想的血管可以看成是粗细均匀的管道，如何建立其数学模型是图象三维重建的重要一环。血管三维重建的背景问题分析我们将说有100张切片按其在空间的位置叠加起来，曾经可以看到大体的血管的三维构造。问题分析将100张图片叠加在XOY平面，构成血管在XOY平面上的投影，可以看出血管是由一系列圆挪动构成的。问题分析对于每一个切片，仔细察看可以发现：切片也是由一系列半径不同的圆挪动构成的。问题分析如今我们可以知道：血管可以看成无穷多个等径并且圆心相距无穷小的球包络面组成。因此，切片上的二维图形就应该是由无穷多个球被截的圆叠加而成。这些圆都是被截球的大圆或者小圆，其半径有一极大值R，R同时也是球的半径。这样一个半径R的圆是球心在切片平面内的球被截而成的，其圆心为中轴线与切片平面的交点。假设，中轴线与每张切片有且只需一个交点，所以每一张切片图上包含且只包含一个半径为R的圆。我们只需找到这个圆，就可以定出中轴线与切片平面交点的坐标，用这些交点坐标我们可以建立起中轴线的空间形状。问题分析由以上分析，做出如下的判别：每个切片中 包含一系列滚球在平面上切出的圆，其中最大的圆为滚球半径，圆心位于血管的中轴线上。血管中轴线在XOY上的投影为一切切片在XOY平面上叠加构成的阴影的中心线。在求得一切切片的最大圆圆心后，拟和这些点构成的曲线就是中轴线。重建后血管外形应和前面100张切片直接构成的外形一致用于进展模型的检验。模型的假设血管粗细均匀，其外表由球心沿某一曲线称为中轴线)且半径固定的球滚动包络而成。假设管道中轴线与每张切片有且只需一个交点，球半径固定，切片间距以及图像象素尺寸均为1。切点间距尺寸为1，那么假设相继切片间延续，即相继的切片与中轴线的交点是延续的。模型的假设(更深一层次血管粗细均匀的充要条件是各法截面圆之间不相交，这样可保证各法截面圆周上的点全落在包络面上 (直观地说，粗细均匀就是过中轴 上的恣意点P处用垂直于 在P点切线方向的刀片切血管得到的截面是以P为圆心以固定的常数r为半径的圆，称此为过P点的法截面圆)。为此要求 满足以下条件：中轴线 上每一点处的曲率半径大于r中轴线最窄处的宽度d大于2r中轴线两端点处的法截面圆不相交。中轴线 上最窄处的宽度d可以这样决议：当 上两点p，q的连线垂直于 在这两点处的切线时，或仅垂直在其中一点处的切线而另一点为 的端点时，称p，q为相关点对。 上可以没有相关点对，也可以不止一对相关点对。假设 上无相关点对，那么以为d为无穷大，否那么取d为相关点对中的两点间间隔的最小值。模型的建立及求解经过以上分析，整个模型的建立分为两个部分：滚球半径确实定和中轴线确实定。确定滚球半径的方法有很多：最笨也是最容易想到的方法就是枚举的方法 求每张切片的图象内的最大内切圆的圆心时，以位于图象内每一个象素为圆心作圆遍历一切象素点后再作确定。此种方法，思想简单，程序简单，但计算量大。1平均法 求出每张横断面团象内的最大内切圆半径，再取r为它们的算术平均值。 2) 抽样法 由于知滚动球半径是常数，取前几片切片图象内的最大内切圆半径的平均值为r的值。 3) 极大似然法 在求得每一片切片图象内的最大内切圆半径后，进展统计，以出现频率最大的值为r的值。模型的建立及求解为了减小搜索的区域，找到切片中血管所在的最小区域，然后在此区域里逐个象素的搜索。模型的建立及求解%先寻觅最小区域M N=size(Im);xmin=1;xmax=N;for j=1:N for i=1:M if(Im(i,j)0) xmax=j; break; end endendfor j=N:-1:1 for i=1:M if(Im(i,j)0) xmin=j; break; end endendymin=1;ymax=M;for i=1:M for j=1:N if(Im(i,j)0) ymax=i; break; end endendfor i=M:-1:1 for j=1:N if(Im(i,j)0) ymin=i; break; end endend模型的建立及求解%在最小区域里搜索最大半径rmin=1;rmax=min(xmax-xmin)/2 (ymax-ymin)/2);flag=1;while(flag0) R=(rmin+rmax)/2; isR,Ox,Oy=isneiqieyuan(Im,xmin,ymin,xmax,ymax,R); if(isR=1) rmin=R;OX=Ox; OY=Oy; else rmax=R; end D=abs(rmax-rmin);if(D0.1) flag=0; R=rmin; endend模型的建立及求解模型的建立及求解确定中轴线的一些方法：平行切线法 切片的图象边境上的两点的连线假好像时垂直边境在这两点处的切线，那么这两点连线有能够是最大内切圆的直径。发现一切具有这样性质的点对，并检验之，以确定最大内切圆的圆心。外推法 利用中轴线的延续性，采用插值外推方法，根据前几片已求得的最大内切圆心位置，推断出新的一片图象包含最大内切圆心的估计位置，然后经过几次迭代求得较正确的圆心位置。 滚球法 让球在血管内滚动，保证球与血管相内切，逐个横断面地定出球心的位置。模型的建立及求解投影法 将各切片的图象叠加在XY平面上，构成血管在XY平面上的投影，其中心线是血管中轴线 在XY平面上的投影。类似地将血管向XZ平面(或YZ平面)投影，也可以求得中轴线 在XZ平面(或YZ平面)的投影。这样做的参赛者为数不少。模型的建立及求解变换法 切片图象包含的最大内切圆位置可以了解为图象与固定半径为r的圆的交的面积到达最大值时图的位置，这可以经过几何方法实现，也可以将其了解为图象的与半径r的圆的卷积到达最大值时的情况，可以运用傅里叶变换及其逆变换计算卷积，特别可以运用快速傅里叶变换的方法。模型的建立及求解值得提到的是：由于数据图形即切片图形为宽、高均为512个象素的图像，所以数据精度最高为一个象素。上述的算法得到的结果却为浮点形的数值，本身存在模型误差，同时有浪费计算时间。运用离散模型能一定程度的防止模型误差。针对图像的离散性质，计算的时候也是运用象素精度，同时做圆的时候也运用Bresenham算法详见来做圆，尽能够的消除数字图像所具有的锯齿景象。模型的建立及求解模型的建立及求解得到的中轴线在各平面的投影：模型的建立及求解模型的建立及求解模型的建立及求解对数据点中轴线坐标的拟和：在求得中轴线 与各切片的交点的近似位置后很多参赛者采用多项式的参数曲线进展拟合逼近，也有的采用参数样条曲线进展拟合，这些方法都是可行的。但要注一点，假设直接拟和三维空间曲线，只能用参数曲线的方式；要用代数曲线的方式，只能分别对空间曲线在两个正交坐标平面上的投影进展拟和，然后将空间曲线表示成两个柱面的交。模型的建立及求解F(x,y,z)=0或z=f(x,y)都表示曲面。 才表示空间曲线。我们可以简单的用两个柱面的交表示空间曲线，即模型的建立及求解模型的建立及求解参数曲线的方式：例如螺旋线：三次B样条曲线：式中V1，V2，V3，V4为特征多边形顶点，亦称控制顶点；t为参数。模型的建立及求解模型的建立及求解模型的建立及求解重建后的血管三维图像：模型的建立及求解模型的建立及求解简易的血管三维图形绘制效果模型的检验此题是应该检验的，不检验只能说完成问题的一半。一方面，无论以何种方式建模，其过程都是近似计算，几经近似，效果如何，检验很必要；另一方面各血管的切面数据知，按指定的空间位置放置，就能构成一段血管，完全可以作为检验的规范。 不论用何种方法建立模型，对照给定血管的切片图像数据，经过检验，发现模型的误差，修正模型，可以提高模型的正确性。模型的检验检验的主要方法有：逐片比较 运用求得的滚动球的半径r和中轴线 ，用球心沿 运动的方法产生一段新的血管：用原来的100张平面截断血管，生成100张新的切片图像，逐一比较新、旧100张切片图像之间的差别。假设差别越小，那么以为称心，否那么要修正模型。这样做的检验效果最好，但缺陷是计算速度慢，时间上能够做不到检验全部100张切片。法平面法 设P为中轴线 上恣意点，过P点作 的法平面与原血管相交，假设该法平面与血管的交与半径为r的圆差别小，那么以为是称心的，否那么修正模型。模型的检验