5-2 5-2 5-2 5-2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析5-1 5-1 5-1 5-1 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析5-3 5-3 5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据代数稳定性判据代数稳定性判据5-7 5-7 5-7 5-7 系统的相对稳定性系统的相对稳定性系统的相对稳定性系统的相对稳定性5-4 5-4 5-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据5-5 5-5 5-5 5-5 乃氏稳定判据分析延时系统的稳定性乃氏稳定判据分析延时系统的稳定性乃氏稳定判据分析延时系统的稳定性乃氏稳定判据分析延时系统的稳定性5-6 5-6 5-6 5-6 伯德图判据伯德图判据伯德图判据伯德图判据一、稳定性的概念一、稳定性的概念 定义定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。统是稳定的，否则，不稳定。 上述稳定是上述稳定是“渐近稳定渐近稳定”的的“线性线性”系统通常是线性化的系统通常是线性化的因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论总结总结5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性稳定的摆不稳定的摆5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性无限放大直到饱和无限放大直到饱和无输入时因干拢直至饱和无输入时因干拢直至饱和5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。(a)外加扰动注意：以上定义只适注意：以上定义只适用于线形定常系统。用于线形定常系统。稳定性的定义稳定性的定义5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性(b)稳定(c)不稳定注意：控制系统自身的固有特性，取决于注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。系统本身的结构和参数，与输入无关。5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性大范围稳定大范围稳定: :不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性(b)小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。注意：对于线性系统，小范围稳定注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。大范围稳定。5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性(a)不稳定5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化； (2)实际系统参数的时变特性； (3)系统必须具备一定的稳定裕量。5-1 线性系统的稳定性线性系统的稳定性假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号( t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。 稳定的条件：稳定的充要条件稳定的充要条件5-2 5-2 稳定的充要条件稳定的充要条件理想脉冲函数作用下 R(s)=1。对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。5-2 5-2 稳定的充要条件稳定的充要条件由上式知：如 果pi和i均为负值, 当t时,c(t)0。5-2 5-2 稳定的充要条件稳定的充要条件自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关注意：稳定性与零点无关S平面系统特征方程5-2 5-2 稳定的充要条件稳定的充要条件结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。5-2 5-2 稳定的充要条件稳定的充要条件某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。 为被控对象水箱的传递函数；为执行电动机的传递函数；K1为进水阀门的传递系数；Kp为杠杆比；H0为希望水位高；H为实际水位高。由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为令 ,为系统的开环放大系数，则特征方程展开写为为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0 ，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使系统稳定。结构不稳定系统校正装置下一节中劳斯稳定判据回答了这个问题下一节中劳斯稳定判据回答了这个问题 根据以上分析，系统的稳定性判别归结为： 问题：问题： 系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程： 解高阶微分方程求根困难，解高阶微分方程求根困难， 能否不解高阶微分方程可以知道根能否不解高阶微分方程可以知道根分布情况分布情况？ 如果如果 系统的闭环特征根至少有一个根系统的闭环特征根至少有一个根S Si i00 或或 复根时它的实部复根时它的实部 - - k k k k0 0 即即 根平面的右半面有闭环特征根根平面的右半面有闭环特征根， 那麽那麽 系统闭环是不稳定的。系统闭环是不稳定的。5-2 5-2 稳定的充要条件稳定的充要条件系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统 特征根为p1、p2、pn-1、pn各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积全部根具有负实部5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 反之，如果系数反之，如果系数a ai i全部同号则全部同号则不能确定不能确定系统是稳定的；系统是稳定的；进入第二步继续判别；进入第二步继续判别；闭环特征方程：闭环特征方程：1 1、闭环特征方程如果系数、闭环特征方程如果系数a ai i不是全部同号或有等于不是全部同号或有等于零的项（缺项），则系统零的项（缺项），则系统不稳定不稳定； 5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 一、劳斯判据一、劳斯判据分母都是第一列分母都是第一列的元素，的元素， 如第三行第二列如第三行第二列劳斯阵列表劳斯阵列表: : 2 2、建立劳斯阵列表、建立劳斯阵列表 3 3、判别劳斯阵列表第一列系数、判别劳斯阵列表第一列系数 第一列元素全部同号且不为零时系统稳定；第一列元素全部同号且不为零时系统稳定； 否则，系统不稳定。否则，系统不稳定。 5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 注：通常注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。1175816015513.3 05例：例：5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 例：例：1 1、闭环特征方程系数全部大于零，、闭环特征方程系数全部大于零， 系统稳定与否继续第二步；系统稳定与否继续第二步；2 2、建立劳斯阵列表、建立劳斯阵列表 因为第一列中，各元素因为第一列中，各元素不同号，故系统不稳定。不同号，故系统不稳定。又：由于第一列的元素又：由于第一列的元素变号两次，应有两个极变号两次，应有两个极点在点在S S平面的右半面。平面的右半面。该系统有五个根：该系统有五个根：-2.0461 -2.0461 -0.7105 0.8922i -0.7105 0.8922i 5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 2 2、建立劳斯阵列表、建立劳斯阵列表 1 1、闭环特征方程系数全部大于零，继续第二步；、闭环特征方程系数全部大于零，继续第二步；该系统四个根：该系统四个根： -1.8832 -0.5310 -1.8832 -0.5310 + +0.2071 0.9783i 0.2071 0.9783i 第一列元素等于零时，系统不稳第一列元素等于零时，系统不稳定。用定。用代替，可继续计算确定代替，可继续计算确定右半面的极点个数。右半面的极点个数。由于由于2-2/02-2/0，故认为变号，故认为变号两次，有两个极点在两次，有两个极点在S S平面平面的右半面。的右半面。+ +- -+ +5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 劳思劳思(routh)判据的特殊情况判据的特殊情况 特殊情况特殊情况1：第一列出现：第一列出现0 特殊情况特殊情况2：某一行元素均为：某一行元素均为0特殊情况：第一列出现0。各项系数均为正数解决方法：用任意小正数代之。 特殊情况1：第一列出现05-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 特殊情况：某一行元素均为0解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:例如： 特殊情况2：某一行元素均为05-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 二、二、 劳斯判据的其他应用劳斯判据的其他应用1 1、确定系统稳定时的参数取值范围、确定系统稳定时的参数取值范围2 2、确定系统稳定裕量、确定系统稳定裕量 用用(S-)(S-)代代替替S S，如如果果用用ROTHROTH判判据据判判断断仍仍能能稳定，则表明该系统至少有稳定裕量稳定，则表明该系统至少有稳定裕量 带带参参数数计计算算ROTHROTH阵阵列列表表第第一一列列元元素素；令令含含参参数数的的元元素素大于大于零，得到系统稳定时的参数取值范围零，得到系统稳定时的参数取值范围5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 估计稳定裕量例4S3 1 17S2 7 11S1 0S0 11 0j j 0 oo设 S=S 0 ，若0 =1,用S=S 1代入此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。5-3 5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 5-4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 系统的开环频率特性系统的开环频率特性Gk(j)G(j)H(j)来来判断系统特征方程判断系统特征方程1+G(s)H(s)0的特征根是否具的特征根是否具有全部负实部的根有全部负实部的根 用分析或实验的方法来求得系统的频率特性，用分析或实验的方法来求得系统的频率特性，另外在用另外在用Nyquist判据我们还能指出系统稳定性的判据我们还能指出系统稳定性的储备储备即相对稳定，因此利用它来判断系统的即相对稳定，因此利用它来判断系统的稳定性稳定性 一、米哈伊洛夫定理一、米哈伊洛夫定理 1.1.定理：设定理：设n n次多项式次多项式D(s)D(s)有有p p个零点位于复平面的个零点位于复平面的右半平面，右半平面，q q个零点在原点上，其余个零点在原点上，其余n-p-qn-p-q个零点个零点位于左半平面，则当以位于左半平面，则当以s=js=j代入代入D(s)D(s)并令并令从从0 0时，时，D(j)D(j)的角增量为：的角增量为：5-4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据则当以则当以s=j代入代入D(s)并令并令从从0时，时，D(j)的角增量为：的角增量为：实根情形1.n-p-q个零点位于左半平面个零点位于左半平面共轭虚根情形(01)设根位于左半s平面当由0变化到时，j+p1的相角变化范围：-0 /2变化量：/2+ 0 j+p2的相角变化范围：0 /2变化量：/2- 0 共轭虚根情形(00由此可知，由此可知，Gk(j)不包围（不包围（-1, j0）点，又点，又Gk(j)的极点在右平面为零，即的极点在右平面为零，即P=0，所以系统无论，所以系统无论T1、T2、K为何值，为何值，该闭环系统均稳定且绝对稳定该闭环系统均稳定且绝对稳定 一阶、二阶惯性一阶、二阶惯性环节闭环稳定环节闭环稳定=0时，时，Ak()=K， k()=0= 时，时，Ak()=0， k()=-90它的图形取决于它的图形取决于K和和T1、T2、T3、 1、 2的大小的大小 但当但当T1、T2、T3较大而较大而 1、 2较小时，其较小时，其 k()在高频时可能达在高频时可能达-180 以上，它有可能包含以上，它有可能包含（-1,j0）点）点 例例2： 由此可知，对于由此可知，对于0型型系统，只有开环传系统，只有开环传递函数分母的阶次递函数分母的阶次在三阶以上时，才在三阶以上时，才有可能使闭环系统有可能使闭环系统不稳定。不稳定。G(j )H(j )例： 解：该例与惯性环节有相似的地方，其Nyquist图为位于左下平面的半圆，属开环不稳定当K1时，从0曲线包围（-1，j0）点1/2圈，则系统稳定； 当K1系统闭环后，系统闭环后，r(t)-b(t)越来越大，系统不稳定越来越大，系统不稳定G(s)c(t)r(t)H(s)b(t)系统稳定必须：系统稳定必须：A( )=1 时时 ( ) -180 ( )= -180时时 A( )11前向通道串联延时环节2前向通道并联延时5-5 5-5 乃氏判据分析延时系统的稳定性乃氏判据分析延时系统的稳定性对稳定性不利对稳定性不利5-6 5-6 伯德图判据伯德图判据利用开环频率特性的极坐标图利用开环频率特性的极坐标图(Nyquist图图)来判别闭环系统稳定性的方法是来判别闭环系统稳定性的方法是Nyquist判判据的方法据的方法 若将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，若将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即即Bode图，也同样可以利用它来判别系统的图，也同样可以利用它来判别系统的稳定性这种方法有时称为对数频率特性判稳定性这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或据，简称对数判据或Bode判据，它实质上是判据，它实质上是Nyquist判据的引申判据的引申.乃氏曲线和乃氏曲线和Bode图的对应关系图的对应关系L()=0 K=1Bode图实轴增益为零，对应乃氏曲线是单位圆-180极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的-180线，L(L( ) ) ( ( ) )-180乃氏曲线和乃氏曲线和Bode图的对应关系图的对应关系增益为零时的频率称幅值穿越频率相角=-180时的频率称相角穿越频率如何代如何代数方法数方法求取求取?练习练习1曲线顺时针包围点(-1，j0)，即曲线先 在时交于交于单位圆，后在 时才负实轴练习练习1对数幅频特性先在时 交于0分贝线 对数相频特性后在 时交于-180线，练习练习2曲线顺时针包围点(-1，j0)，即曲线先 在时交于负实轴，后在 时才交于单位圆 练习练习2对数相频特性先在 时交于-180线，对数幅频特性后在 时交于0分贝线对数判据可表述如下对数判据可表述如下 在P=0时， 若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即 0时，正穿越和负穿越-180轴线的次数之差为p/2时，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。注意几点：注意几点：1）正、负穿越次数之差；2）当有多个幅频穿越c1、c2、c3等时，、要以最大的c3作用考虑相频图中的正、负穿越次数，且应考虑L()0；3）对数相频特性从一开始就为180时，为半次穿越；4）在P=0，且c, g只有一个时，cKf时包围时包围(-1, j0)点，点， 使系统不稳定使系统不稳定KKf c相对稳定性用两个参数来衡量：相对稳定性用两个参数来衡量：1) 在在 = c处，处，|G(j )|=1, 若系统稳定若系统稳定 =180+ (j ), 应应02) 在在 = g处，处， (j ) = -180, 若系统稳定若系统稳定 Kg=1/A( ), 应应1 称为相角稳定裕度称为相角稳定裕度 （ 越大越大相对稳定性相对稳定性越好）越好） Kg称为幅值稳定裕度（称为幅值稳定裕度（ Kg越大越大相对稳定性相对稳定性越好）越好） g幅值穿越频率幅值穿越频率相角穿越频率相角穿越频率相对稳定性是用两个参数来衡量的，相对稳定性是用两个参数来衡量的，稳定性度大，稳定性度大， 必须两个参数都要大必须两个参数都要大在在Bode图中，图中，稳定裕度描述如图：稳定裕度描述如图： 稳定裕度稳定裕度在在BodeBode图中的描述图中的描述cgKg(dB) 因为，在对数幅频特因为，在对数幅频特 性图中，纵坐标是用性图中，纵坐标是用增益刻度，所以，幅增益刻度，所以，幅值稳定裕度值稳定裕度Kg用用 Kg(dB) = 20lg(1/A( )来表示来表示,因此，和因此，和Kg一致，一致，h 越大，则相对稳定裕越大，则相对稳定裕度就越大度就越大上图系统 0, h0,闭环是稳定的相角稳定裕度相角稳定裕度 &幅值稳定裕度幅值稳定裕度对于闭环系统来说，若稳定，则和Kg(db)均为正 二、注意事项二、注意事项为使这样的系统具有满意的稳定性储备：一般希望r=3060；Kg(dB)6db 即Kg2 。在实际中两者都要有一定的储备，如P138例16 必须同时考虑相位裕量和幅值裕量Kg，见书上P139例题。对数判据有以下优点：对数判据有以下优点： Bode图易作，且可通过渐近线粗略估计稳定性。很容易判别各环节对系统稳定性的影响，有利于对参数进行合理选择或校正。调整增益K时，只需将对数幅频特性曲线上、下平移即可，因此，很容易得到满足系统稳定要求的增益值K。右图系统闭环不稳定： 0, h0, h0使系统稳定。使系统稳定。如果：如果：减少系统的传递减少系统的传递系数系数K K，稳定性，稳定性将如何变化？将如何变化？h例5-21作业：作业：5-65-65-105-105-165-165-225-22总结总结稳定性概念代数判据-劳斯,赫尔维茨-解决稳定性判断几何判据-奈氏,伯德,增加相对稳定性判断.奈氏判据：通过奈氏判据：通过特征式特征式建立开闭环多项式的联系，建立开闭环多项式的联系，是由是由开环稳定性开环稳定性判断闭环稳定与否的基础。判断闭环稳定与否的基础。米哈伊洛夫米哈伊洛夫定理为基础定理为基础稳定或稳定或不稳定不稳定