18.1 勾股定理勾股定理(1)(1)数形结合之美你想知道吗你想知道吗? 国庆节前，为了更好观看阅兵式，国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部42英寸英寸（106厘米厘米）的电视机的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有现屏幕只有85厘米厘米长和长和64厘米厘米宽，他觉宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？法吗？你能解释这是为什么吗？探索勾股定理数数学学故故事事链链接接 相相传传两两千千五五百百年年前前，一一次次毕毕达达哥哥拉拉斯斯去去朋朋友友家家作作客客，发发现现朋朋友友家家用用砖砖铺铺成成的的地地面面反反映映直直角角三三角角形形三三边边的的某某种种数数量量关关系系，同同学学们们，我我们们也也来来观观察察下下面面的的图图案案，看看看看你你能能发发现现什什么么？探探索索勾勾股股定定理理数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？SA+SB=SCABC探索勾股定理ABCABC A的面积的面积（单位面积）（单位面积） B的面积的面积（单位面积）（单位面积） C的面积的面积（单位面积）（单位面积）图图1-1图图1-291625163652探索勾股定理ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2abca2+b2=c2设：直角三角形的三边长分别是设：直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？SA+SB=SC探索勾股定理 如果直角三角形的两条直角边如果直角三角形的两条直角边长分别为长分别为a,ba,b，斜边长为，斜边长为c c，那么，那么c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .abc勾勾股股弦弦探索勾股定理bacs2s1试一试试一试? 请利用此图象，证明勾股定理：请利用此图象，证明勾股定理： a2+b2=c2探索勾股定理走进数学史美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回应用勾股定理 已知已知ABC的三边分别是的三边分别是a，b，c，若若B=90度，则有关系式（度，则有关系式（ ）A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2ABC选一选选一选应用勾股定理讲一讲讲一讲86ABC求图中直角三角形的未知边的长度。求图中直角三角形的未知边的长度。1517ABC勾股定理，想得再多一点（1）若）若a=5，b=12， 则则c =_.在在RtABC中，中，（2）若）若c=4，b= 2 ，则则a =_.C=900 .做一做做一做勾股定理，想得再多一点 如图，如图，受台风莫拉克影响，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面一棵树在离地面4 4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3 3米处，这棵米处，这棵树树折断前折断前有多高？有多高？4米米3米米勾股定理，想得再多一点 国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部妈妈买了一部42英寸英寸（106厘米厘米）的电视机）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85厘米厘米长和长和64厘米厘米宽，他觉得一定是售货员宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？为什么吗？回头再看看回头再看看内容总结：内容总结：（1）运用勾股定理的条件是什么？）运用勾股定理的条件是什么？（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？（3）勾股定理有什么用途？）勾股定理有什么用途？方法总结：方法总结：用直角三角形三边表示三个正方形面积用直角三角形三边表示三个正方形面积观察归观察归纳发现勾股定理纳发现勾股定理任意画一个直角三角形，再验任意画一个直角三角形，再验证自己的发现。证自己的发现。家庭作业：家庭作业：课课本本P55 习题习题2 补充：补充： 1、求下列直角三角形中未知、求下列直角三角形中未知边边的的长长: 补充：补充： 1、求下列直角三角形中未知、求下列直角三角形中未知边边的的长长: 2 2、如、如图图所示，一棵大所示，一棵大树树在一次在一次强强烈台烈台风风中于离地面中于离地面10米米处处折断倒下，折断倒下， 树顶树顶落在离落在离树树根根24米米处处.大大树树在折断之前高多少？在折断之前高多少？ 再见再见勾股定理的由来这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为“商高定理商高定理”，在外国称为，在外国称为“毕达哥拉毕达哥拉斯定理斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经周髀算经中记中记录着商高同周公的一段对话。商高说：录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修勾广三，股修四，经隅五四，经隅五。“什么是什么是”勾、股勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。商高那。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，径隅（就是弦）则为（长边）时，径隅（就是弦）则为5 5。以后人们就简单地把这个事。以后人们就简单地把这个事实说成实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作话中，所以人们就把这个定理叫作 商高定理商高定理 。毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，纪的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几。希腊另一位数学家欧几里德（里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人）在编著是公元前三百年左右的人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百百牛定理牛定理”）走进数学史勾股定理的证明方法证法一证法二证法三（邹元治证明）（邹元治证明）（赵爽证明）（赵爽证明） 赵爽赵爽:我国古代数学家我国古代数学家走进数学史勾股定理的证明方法证法四证法五证法六（加菲尔德证明）（加菲尔德证明） 加菲尔德加菲尔德:第二十任总统第二十任总统（梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 梅文鼎梅文鼎:清代天文、数学家清代天文、数学家（项明达证明）（项明达证明） 项明达项明达:清代数学家清代数学家走进数学史勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500500余种，仅我国余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 现在在网络上看到较多的是现在在网络上看到较多的是1616种种, ,包括前面的包括前面的6 6种种, ,还有还有: : 欧几里得证明欧几里得证明、 利用相似三角形性质证明利用相似三角形性质证明、 杨作玫证明杨作玫证明、 李锐证明李锐证明、 利用切割线定理证明利用切割线定理证明、 利用多列米定理证明利用多列米定理证明、 作直角三角形的内切圆证明作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明利用反证法证明、 辛卜松证明辛卜松证明、 陈杰证明陈杰证明。走进数学史应用勾股定理abc确定斜边确定斜边c2= a2+b2？acb确定斜边确定斜边b2= a2+c2？bca确定斜边确定斜边a2= b2+c2？应用勾股定理 c2=a2 +b2abcb2= c2 - a2a2= c2 - b2灵活运用灵活运用