第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答2xyOxyOaxyOaaxyOaxyOa楔形体（尖劈）问题楔形体（尖劈）问题应力函数应力函数的构造小结：的构造小结：xyOPxyOM附附1：曲梁一端受径向集中力作用曲梁一端受径向集中力作用 矩形截面曲梁（单位厚度），内半径矩形截面曲梁（单位厚度），内半径为为 a ，外半径为，外半径为 b ，一端固定，另一端受，一端固定，另一端受径向集中力作用。径向集中力作用。（1）应力函数的确定）应力函数的确定分析：分析：任取一截面任取一截面 m-n ，截面弯矩为，截面弯矩为由材料力学初等理论，可知截面上正应力由材料力学初等理论，可知截面上正应力由此假定：由此假定：再由应力分量与应力函数间的关系，再由应力分量与应力函数间的关系， 可推得：可推得：将其代入相容方程将其代入相容方程 （a）该方程可转变为欧拉方程求解，其解为该方程可转变为欧拉方程求解，其解为 （b）代入应力函数为代入应力函数为 （c）（2）应力分量的确定）应力分量的确定 （d）边界条件：边界条件：代入应力分量得：代入应力分量得：端部条件：端部条件： （e）代入剪应力分量得：代入剪应力分量得： （f）联立求解式（联立求解式（e）、（）、（f），得：），得：其中，其中，代入应力分量式（代入应力分量式（d），有：），有： （f）弹性力学极坐标求解归结为：弹性力学极坐标求解归结为：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）1. 轴对称问题轴对称问题（412）应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）2. 非轴对称问题非轴对称问题(1) 孔边应力集中问题孔边应力集中问题Ab问题问题1baba问题问题2 （4-17） 齐尔西（齐尔西（G. Kirsch）解）解(2) 楔形体问题楔形体问题xyOPxyOM(3) 曲梁问题曲梁问题附附1：曲梁应力函数确定的基本方法曲梁应力函数确定的基本方法思路：思路： 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于与直梁确定应力函数的方法类似，借且于梁截面上梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关应力与内力（弯矩、剪力）的关系系、应力与应力函数间微分关系应力与应力函数间微分关系，来推断，来推断应力函数的分离变量形式。应力函数的分离变量形式。梁截面上的应力内力的关系：梁截面上的应力内力的关系： M、Q为梁截面上的弯矩与剪力。为梁截面上的弯矩与剪力。直梁直梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系：曲梁曲梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。xyq4-11 4-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力PxyO1. 应力分量应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到由楔形体受集中力的情形，可以得到 （4-26） 极坐标极坐标表示的应力分量表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得），可求得 （4-27）或将其改为直角坐标表示，有或将其改为直角坐标表示，有PxyO （4-28）2. 位移分量位移分量 直角坐标直角坐标表示的应力分量表示的应力分量假定为平面应力情形。假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为其极坐标形式的物理方程为将式（将式（4-26）代入）代入 （4-29）由几何方程由几何方程(a)(b)(c)积分式（积分式（a）得，）得，(d)将式（将式（d）代入式（）代入式（b），有），有积分上式，得积分上式，得(e)将式（将式（d）(e) 代入式（代入式（c） 得，得，(d)(e)(c)要使上式成立，须有：要使上式成立，须有：不妨令不妨令=0，可解得：，可解得：代入位移分量式（代入位移分量式（d）（）（e），有），有(d)PxyO式中，常数式中，常数H，I，K 由边界条件确定。由边界条件确定。(f)PxyO常数常数 I 须由铅垂方向（须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。方向）位移条件确定。(f)由式（由式（f）得：）得：(g)由问题的对称性，有：由问题的对称性，有：3. 边界沉陷计算边界沉陷计算PxyOrMM点的下沉量：点的下沉量： 由于常数由于常数 I 无法确定，无法确定， 所以只能求得的相对沉陷量。所以只能求得的相对沉陷量。 为此，在边界上取为此，在边界上取一基准点一基准点B，如图所示。，如图所示。BsM点相对于基准点点相对于基准点B的沉陷为的沉陷为简化后得：简化后得：（4-30）符拉芒（符拉芒（A. Flamant）公式）公式对平面应变情形：对平面应变情形：4-12 4-12 半平面体在边界上受法向分布力半平面体在边界上受法向分布力PxyO1. 应力分量应力分量dP 作用在作用在原点原点O，则有，则有dP 作用在距原点作用在距原点 时，时，将此式在将此式在 AB 区间上积分，得区间上积分，得（4-31）式中，需将分布力集度式中，需将分布力集度 q 表示成表示成 的函数，再进行积分。的函数，再进行积分。2. 边界点的相对沉陷量边界点的相对沉陷量讨论均匀分布的讨论均匀分布的单位力单位力的情形。的情形。dP计算分布力计算分布力中点中点 I 相对于相对于 K 点点的沉陷量：的沉陷量：（a）dP（a）对对 r 积分，即可求得积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。点的相对沉陷量。当基准点当基准点K位于均布力之外时，沉陷量为位于均布力之外时，沉陷量为为简单起见，假定基点为简单起见，假定基点 K 取得很远，即取得很远，即s远大于远大于r，积分时可视其为常数，积分结，积分时可视其为常数，积分结果为：果为：（4-32）其中常数其中常数 C、Fki 的值为：的值为：（b）（c）平面问题极坐标求解方法小结平面问题极坐标求解方法小结一一. 基本方程基本方程1. 平衡方程平衡方程（41）2. 几何方程几何方程（42）3. 物理方程物理方程 平面应力情形平面应力情形（43）4. 边界条件边界条件位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：二、二、按应力求解基本步骤按应力求解基本步骤（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）三、平面三、平面轴对称问题的求解方法轴对称问题的求解方法逆解法逆解法（412）应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）四、非四、非轴对称问题的求解方法轴对称问题的求解方法半逆解法半逆解法1. 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：原问题的转换：问题问题1baba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题2. 楔形体问题楔形体问题 由由因次法因次法确定确定 应力函数的分离变量形式应力函数的分离变量形式（1） 楔顶受集中力偶楔顶受集中力偶xyOPxyOM（2） 楔顶受集中力楔顶受集中力（3） 楔形体一侧受分布力楔形体一侧受分布力3. 曲梁问题曲梁问题其中：其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。分别为梁截面上弯矩与剪力。结合应力分量与应力函数的关系确定结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：应力函数：4. 半平面问题半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO五、叠加法的应用五、叠加法的应用课堂练习：课堂练习：（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪应力与剪应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。长矩形，板厚为一个单位。（2） z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。和位移分量。（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为有一薄壁圆筒的平均半径为 R ，壁厚为，壁厚为 t ，两端，两端受相等相反的扭矩受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半作用。现在圆筒上发现半径为径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？如何？最大应力发生在何处？（4） 已知圆环在已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在的内边界上被固定，在 r = b 的的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。定圆环内的应力与位移。rrrlrrrrrrrrrrarlra取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：作作 业业习题：习题：4 7 ，4 8选做：选做：4 -21作作 业业习题：习题：4 -4，4 5，4 6作作 业业习题：习题：4 -1，4 2，4 3补充题：补充题： 列写下列平面问题的应力边界条件。列写下列平面问题的应力边界条件。弹性力学极坐标求解归结为：弹性力学极坐标求解归结为：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）1. 轴对称问题轴对称问题（412）应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）2. 非轴对称问题非轴对称问题ba问题问题2xyOPxyOM曲梁曲梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。如：如：作作 业业习题：习题：4 -1，4 2，4 3rr补充题补充题1补充题补充题2xyOMP列写图示问题列写图示问题的边界条件的边界条件列写图示问题列写图示问题的边界条件的边界条件 谢谢谢观看谢观看2018.06.10谢谢打赏支持谢谢打赏支持希望本文章对您有所帮助！