清华大学清华大学 姜启源姜启源 jiangqytsinghua.edu.cn储油罐的变位识别储油罐的变位识别与罐容表标定与罐容表标定全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛2010年年A题题 题目题目 题目的背景与分析题目的背景与分析 问题（问题（1）的通常做法）的通常做法 问题（问题（2）的通常做法）的通常做法 一种建立储油量模型的新方法一种建立储油量模型的新方法 对学生论文的评述对学生论文的评述 题目的启示题目的启示 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的与之配套的“油位计量管理系统油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表罐容表（即罐内（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定标定。图。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐是罐体横向偏转变位的截面示意图。体横向偏转变位的截面示意图。题题 目目油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图图1 储油罐正面示意图储油罐正面示意图油位探针油位探针 地平线图图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口水平线 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小的小椭椭圆型储油罐圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为斜角为 =4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。（2）对于图）对于图1所示的所示的实际储油罐实际储油罐，试，试建立罐体变位后标定罐容建立罐体变位后标定罐容表的数学模型表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请）之间的一般关系。请利用罐体变利用罐体变位后在进位后在进/出油过程中的实际检测数据出油过程中的实际检测数据（附件（附件2），根据你们所），根据你们所建立的数学模型建立的数学模型确定变位参数确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间，并给出罐体变位后油位高度间隔为隔为10cm的的罐容表标定值罐容表标定值。进一步利用附件。进一步利用附件2中的实际检测数中的实际检测数据来分析检验你们据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性模型的正确性与方法的可靠性。图图3 储油罐截面示意图储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明1150159.022010-08-20 10:32:18(1)罐体无变位进油，罐内油量初值262L；12100176.142010-08-20 10:33:18(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-20 10:34:18(3)D列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明11747.86411.292010-08-19 15:10:2712797.86423.452010-08-19 15:11:2713847.86438.332010-08-19 15:12:3714897.86450.542010-08-19 15:13:27(1)罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.10,罐内油量初值215L；(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值，个别的有小数零头；(3)D列是原罐内油量加入相应油量后油位高度值。附件附件1 实验数据实验数据流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:421)C列进油量,通常进油是一次性连续完成203068.4568.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:412)D列出油量是加油机不同时段的出油量vi2040199.27199.272610.29 60065.11 2010-08-01 08:38:143)E列显示油高是进/出油vi后对应的罐内油位显示高度hi；205070.0570.052606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:084)F列显示油量容积是进/出油vi后,罐内油位5020显示高度为hi时的罐容表显示储油量i。 50360.8160.81469.74 6086.74 51124511242486.21 57704.79 2010-08-08 11:43:402010-08-08 12:52:52一次性补充进油附件附件2 检测数据检测数据来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题. （2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于结果，属于“反问题反问题”。题目背景题目背景问题分析问题分析问题由两部分组成：问题由两部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于表，属于“正问题正问题”。问题（问题（1）的通常做法）的通常做法 根据附件根据附件1 的实验数据画出罐体不变位（的实验数据画出罐体不变位（=0）和罐）和罐体变位（体变位（=4.10）时油位高度）时油位高度h和储油量和储油量V的曲线的曲线.实验数据实验数据表表明，在同样明，在同样的油位高度的油位高度h下，下，罐体罐体变位时储油变位时储油量量V减少减少.zx0z=HabS(H)z=H下的面积下的面积 油位高度油位高度h时时坐标坐标y处处z=H 油位高度油位高度h时坐标时坐标y处的截面面积处的截面面积 罐体变位罐体变位时油位高度时油位高度h和储油量和储油量(体积体积)V的数学模型的数学模型化重积分为定积分化重积分为定积分zyxhyH0L1L油位计油位计L2V(h,)z=H高度高度h与储油量与储油量V的模型的模型D3D2D1yh10L1L2h2y1y2油位计高度高度h与储油量与储油量V的模型的模型 V(h,)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74 =4.10的罐容表的罐容表(部分部分)按照模型讨论变位对罐容表的影响按照模型讨论变位对罐容表的影响与实验数据表与实验数据表示的影响一致示的影响一致.变位后储油量变位后储油量平均约小平均约小200L.模型结果与实验数据的比较模型结果与实验数据的比较 =4.10 =0模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位高度高度h下，下，储油量储油量v的实验数据均比模型结果小的实验数据均比模型结果小.可以有各种解释可以有各种解释.是否要修正、怎样修正模型？是否要修正、怎样修正模型？问题（问题（2）的通常做法）的通常做法1. 罐体变位罐体变位,时油位高度时油位高度h和储油量和储油量V的数学模型的数学模型hD1D2D3整体整体考虑考虑hVxy0z 写出左右球面、圆柱面及油位高度写出左右球面、圆柱面及油位高度h的油平面方程的油平面方程. 将罐体分为将罐体分为3个区域：个区域：D1,D2,D3 在在3个区域中分别写出体积的重积分，个区域中分别写出体积的重积分，并化为（对并化为（对z的）定积分的）定积分.将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（1）考虑）考虑z=H下的面积下的面积 zx0rhhz=H截面面积截面面积S (y,h,) 圆柱体体积圆柱体体积V1 (h,) 0xzyD1D2D3h将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑 精确计算球缺部分体积精确计算球缺部分体积V2 将倾斜角将倾斜角的油平面的油平面近近似为水平面（似为水平面（=0）计算）计算球缺部分体积球缺部分体积V2.直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，一起计算圆柱，一起计算.用各种方法得到罐体体积用各种方法得到罐体体积V (h,) ,一般是积分表一般是积分表达式达式, 给定给定, 可以数可以数值计算算油位高度油位高度h时的储油量时的储油量V.问题（问题（2）的通常做法）的通常做法2. 根据储油量的数学模型根据储油量的数学模型V (h,)和实测数据和实测数据（附件（附件2）辨识罐体变位参数）辨识罐体变位参数,流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集（i =0=0）2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i =1=1hiViuiVi =Vi (hi, 0,0)不能用！不能用！应该用数据应该用数据ui , hi与模型与模型V (h,) 辨识参数辨识参数,确定确定,应应使使储油量的改变储油量的改变Vi 与与出油量出油量ui 相吻合！相吻合！辨识准则辨识准则确定确定,使使Q最小最小 搜索法：按照搜索法：按照, 的可能范围划分区间，逐步搜索的可能范围划分区间，逐步搜索. 直接利用直接利用MATLAB的非线性曲线拟合程序的非线性曲线拟合程序 lsqcurvefit辨识方法辨识方法辨识结果辨识结果ui , hi取进油前的取进油前的300组组数据数据h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17 =2.110, =4.310的修正罐容表的修正罐容表(部分部分)罐体变位后罐体变位后显示显示储油量储油量与与实际储实际储油量油量的比较的比较模型及结果检验模型及结果检验 取进油后的取进油后的300组组数据检验辨识结果数据检验辨识结果, , 的灵敏性检验的灵敏性检验的灵敏度的灵敏度的灵敏度的灵敏度纵向向倾斜角斜角比比横向偏横向偏转角角 对罐容量的影响显著得多！对罐容量的影响显著得多！ 一种建立模型一种建立模型V (h,) 的新方的新方法法xy0zhhYZX0绕绕x轴转动轴转动绕绕z轴转动轴转动T2T1= T1T2 ?hYZX0VVxy0zhLdh-r油浮子坐标油浮子坐标 (0, h-r, L/2-d)过油浮子的油平面方程过油浮子的油平面方程坐标坐标变换变换xy0zhrsRV油位高度油位高度h的的储油区域为储油区域为D油位高度油位高度h时时的储油量的储油量V定义示性函数定义示性函数利用利用MATLAB的三重积分程序计算储油量的三重积分程序计算储油量triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)* cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)* (L/2-d).*(x.2+ y.2 =-s-sqrt(R2-x.2-y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r, r,-(s+R),s+R) triplequad (function, x1,x2, y1,y2, z1,z2)被积函数被积函数 function 在长方体中的三重积分在长方体中的三重积分:用于用于function 是示性函数是示性函数 I(x,y,z)的情况的情况: 计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响. 在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角为负为负(正负无关正负无关). 1）罐体变位后储油量的计算（重积分）：）罐体变位后储油量的计算（重积分）： 两端有油和一端有油区域的划分；两端有油和一端有油区域的划分； 积分限的确定；积分限的确定； 积分顺序的选择。积分顺序的选择。对学生论文缺陷的评述对学生论文缺陷的评述2）用所谓）用所谓“等效高度等效高度”：得出不变位时高度与体积：得出不变位时高度与体积的关系的关系V(h)；变位后根据；变位后根据(主主)截面面积不变得到等效截面面积不变得到等效高度与原高度的关系高度与原高度的关系h =f(h)；将它代入原式；将它代入原式V(h) 得到得到变位后高度与体积的关系变位后高度与体积的关系V (h) 。 3）辨识变位参数所用的数据和准则不对：用附件）辨识变位参数所用的数据和准则不对：用附件2中的中的 “显示油量显示油量”与模型在与模型在“显示油高显示油高”下的下的计算油量作拟合。计算油量作拟合。 如果模型正确，用这种错误方法得到的变位参数应如果模型正确，用这种错误方法得到的变位参数应该是该是=0, =0 。反映对该问题的理解根本错误反映对该问题的理解根本错误4）含混地叙述：）含混地叙述：“用数据和最小二乘得到用数据和最小二乘得到 = , = ”“显示油量显示油量”是罐体未变位时的计量值是罐体未变位时的计量值.5）对问题（）对问题（1）用实验数据修正模型投入的精力过多）用实验数据修正模型投入的精力过多（解释误差、用多项式拟合误差、用比例系数修正模（解释误差、用多项式拟合误差、用比例系数修正模型等）型等）. 6）对问题（）对问题（1）的要求）的要求“罐体变位后对罐容表的影响罐体变位后对罐容表的影响”未作讨论未作讨论.7）对问题（）对问题（2）的参数辨识不做检验和灵敏性分析）的参数辨识不做检验和灵敏性分析 。 8）问题（）问题（1）,（2）未按要求给出罐容表）未按要求给出罐容表.9）从文献中引用工程算法、近似公式的问题）从文献中引用工程算法、近似公式的问题.10）用随机模拟）用随机模拟(Monte-Carlo)方法计算重积分的问题方法计算重积分的问题.题目的启示题目的启示 微积分在工程实际问题中是有用的！微积分在工程实际问题中是有用的！ 熟练地使用软件对有效、快速地求解模型是重要的！熟练地使用软件对有效、快速地求解模型是重要的！ 仔细审题，准确、完整地理解题目的含义和要求是仔细审题，准确、完整地理解题目的含义和要求是做好论文的首要的和关键的一步！做好论文的首要的和关键的一步！