第六讲第六讲有限与无限的问题我们有时停留在认识“有限”，对“无限”的认识还不足教学内容：教学内容： 第三节有限与无限的问题第三节有限与无限的问题教学目标：教学目标：1.了解了解“初等数学初等数学”中的中的“有限有限”和和“高等数学高等数学”中的中的“无限无限”。2.进一步认识进一步认识“有限有限”与与“无限无限”，体会，体会“有限有限”与与“无限无限”的本质区别和联系的本质区别和联系3. 能从能从“有限与无限有限与无限”的数学角度分析有关的的数学角度分析有关的问题问题4 一、什么是悖论一、什么是悖论 悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。 5 例如：1.“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；这是正确的前提。2.“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”这两个命题，数一数它们的字数，这是正确的推理，又均是对的，这就是悖论。6 3.“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。（因为.“万物皆数”学说时，还没有“无理数”，当然也没有“有理数”概念，只是任何数都可表为整数的比）7 二、芝诺悖论二、芝诺悖论 芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。 1. 四个芝诺悖论之一：四个芝诺悖论之一： 阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯追不上乌龟。 A1A2A3A4Ana2a1a4a392. 症结：症结： 无限段长度的和，可能是有限的；无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。无限段时间的和，也可能是有限的。例：例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”，每天取得的产度构成无穷，每天取得的产度构成无穷递缩等比数列递缩等比数列an ,1/4,1/8,1/16,1/32,其和：其和：+1/4+1/8+1/16+1/32+=1 3. 芝诺悖论的意义：芝诺悖论的意义： 1）促进了严格、求证数学的发展）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的）较早的“反证法反证法”及及“无限无限”的思想的思想(关于关于“反证法反证法”，我们在前面已经经历过几次了，如，我们在前面已经经历过几次了，如“猜帽子的颜色猜帽子的颜色”；证明；证明“病狗的条数病狗的条数”等，这是重要的数学推理证明方法）等，这是重要的数学推理证明方法） 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：）尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？空间和时间有没有最小的单位？10 芝诺的前两个悖论是反对芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连空间和时间是连续的续的”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和时间是离空间和时间是离散的散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，以，“运动只是假象，不动不变才是真实运动只是假象，不动不变才是真实”。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。不说是巨大的贡献。11 三、三、“有无限个房间有无限个房间”的旅馆的旅馆 1. “客满客满”后又来后又来1位客人位客人 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 12 2. 客客 满满 后后 又又 来来 了了 一一 个个 旅旅 游游 团团 ， 旅旅 游游 团团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 13 3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 14 4. 思考题思考题 该旅馆客满后又来了无该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？人，还能否安排？15思考题解答思考题解答16 答答 ：能。能。 法法I. I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进入入1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，各号房间顺序入住，则所有人都有各号房间顺序入住，则所有人都有房间住。房间住。 一团：一团： 1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 1.2 1.3 1.4 二团：二团： 2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 三团：三团： 3.1 3.2 3.3 3.4 3.1 3.2 3.3 3.4 17 法II. 让每个旅游团占据某固定素数的方幂 由于素数有无穷多个，正整数又 “唯一析因”， 知，能安排住下，且还有空房， 一团 二团 三团 附：证明“素数有无穷多个”（反证法）18 思思 该旅馆第一天恰有一个客人，该旅馆第一天恰有一个客人，第二天这个客人离开，又来了两位客第二天这个客人离开，又来了两位客人，以后每天都有一位人，以后每天都有一位 客人离开，又客人离开，又来了两位客人，无穷多天之后，旅店来了两位客人，无穷多天之后，旅店老板发现旅店里一个客人都没有了，老板发现旅店里一个客人都没有了，这种情况可能发生吗？这种情况可能发生吗？19 答答 ：可能发生。可能发生。 将所有客人按将所有客人按1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，的次序编号，先到的客人编号的次序编号，先到的客人编号在前。如果编号在前的客人先离在前。如果编号在前的客人先离开，则第开，则第n n号客人在第号客人在第n+1n+1天离开，天离开，于是无穷多天之后旅店里就没有于是无穷多天之后旅店里就没有客人了。客人了。20 思思 构造一个无穷多个运动员百米赛跑构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：不能跑进实际：不能跑进9 9秒）秒）21解答运动员1234百米成绩10秒9.9秒9.89秒9.889秒另解22 思思 ：构造一个构造一个“部分到整体的一部分到整体的一一对应一对应”：从：从0 0，1 1）0 0，+）。）。23 答答 ： 即即 24 的图像25 四、无限与有限的区别和联系四、无限与有限的区别和联系 1. 区别区别 1 1） 在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全体部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，（这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。部分总是小于全体。26 当初的当初的伽利略悖论伽利略悖论，就是因为没有看到，就是因为没有看到 “无限无限”的这一个特点而产生的。的这一个特点而产生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由元素个数相等；但由“部分小于全体部分小于全体”，又推，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。 27伽利略（Galileo Galilei，1564-1642），意大利物理学家、天文学家和哲学家，近代实验科学的先驱者。 28 2. 2.） “有限有限”时成立的许多命题，对时成立的许多命题，对“无无限限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法的结合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律的情况下，加法结合律 成立成立: : ( (a+b)+ca+b)+c = = a+(b+ca+(b+c) ) ， a a，b b， c c 29 在在“无限无限”的情况下，加法结合律不的情况下，加法结合律不再成立。如再成立。如30 有限半群若满足消去律则一定是群。有限半群若满足消去律则一定是群。 无限半群若满足消去律则一定是群。无限半群若满足消去律则一定是群。 31 （2 2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。 是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。 则不是个确定的数。称为该则不是个确定的数。称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。32 有限多个无穷小量的乘积一定还是无穷有限多个无穷小量的乘积一定还是无穷小量。小量。( (所以，高等数学中学习所以，高等数学中学习“无穷小量无穷小量”性质时应性质时应注意注意“有限个有限个”的条件）的条件） 无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量（甚至可以是无穷大量）。（甚至可以是无穷大量）。33 2. 2. 联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段，往间建立联系的手段，往往很重要。往很重要。 1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。题对无限个自然数均成立。 2）极限）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。通过有限的方法，描写无限的过程。 如：如： ； 自然数自然数N N，都，都 ，使，使 时，时， 。 34 3）无穷级数）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如 4）递推公式）递推公式 , a a1 1 = *= * 5）因子链条件）因子链条件（抽象代数中的术语） 35 3. 数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1 1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）（整体看又是圆的）( (大家的经验：公园中通幽的大家的经验：公园中通幽的“曲径曲径”是是“条石条石”修成的；修成的；圆形的石拱桥；家中弧形的拱形装饰）圆形的石拱桥；家中弧形的拱形装饰） 2 2）锉刀锉一个光滑零件：）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的）（许多刀合在一起的效果又是光滑的）（微积分中有（微积分中有“局部以直代曲局部以直代曲”微分思想）微分思想）以下几个近似计算公式就是在“局部以直代曲”微分思想下所得的结果当 很小时，有：37 3 3） 不规则图形的面积：不规则图形的面积：大家都会求：正方形的面积，长方形的面积，三角形的面积，多边形的面积，圆大家都会求：正方形的面积，长方形的面积，三角形的面积，多边形的面积，圆面积。面积。但是，怎样求不规则图形的面积？但是，怎样求不规则图形的面积？法法.用方格套（想像成透明的）。通过数方格数计算出面积的近似值。用方格套（想像成透明的）。通过数方格数计算出面积的近似值。方格越小，所得面积越准方格越小，所得面积越准 （小学数学中让小学生数方格，不足一格当半个小学数学中让小学生数方格，不足一格当半个 ） 北师大小学数学五年级上册P2339法法.（高等数学中的方法：分割、求和、取极限（高等数学中的方法：分割、求和、取极限定积定积分分）首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形若干个曲若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，矩边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，矩形面积之和形面积之和 曲边梯形面积；曲边梯形面积； 越小，就越精确；再取极越小，就越精确；再取极 限限 ，就得到曲边梯形的面积。就得到曲边梯形的面积。 = 40 五、五、 潜无限与实无限潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。种方式，不是一个实体。41 从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集正整数集是无限的是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如，来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1 1，2 2，3 3，写起，每写一张，就把该纸条装进一写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。 因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。可能的，它只能存在于人们的思维里。42 但康托不同意这一观点，他很愿意把这个但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。和待遇都不太好。 43康托康托Georg Ferdinand Philip Cantor (18451918) 德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。 44 2无限集合也有无限集合也有“大小大小” 从从“一一对应一一对应”说起说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的有不同的“大小大小”。 正整数集合是最正整数集合是最“小小”的无限集合。的无限集合。 实数集合比正整数集实数集合比正整数集“大大”。实数集合上全体连续函。实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大。数的集合又比实数集合更大。 不存在最不存在最“大大”的无限集合（即对于任何无限集合，的无限集合（即对于任何无限集合，都能找到更都能找到更“大大”的无限集合）。的无限集合）。45 这需要这需要“一一对应一一对应”的观点。的观点。 1 1）“一一对应一一对应”双射（单射双射（单射+ +满射）满射） 2 2）集合的势）集合的势|A|A|集合中元素的多少集合中元素的多少 3 3）|N| =|N| =可数无穷势可数无穷势 a ， |Q|= |Q|= a 4 4）|R| =|R| =不可数无穷（称连续统势不可数无穷（称连续统势 c c）, , ：无理数比有理数多得多。：无理数比有理数多得多。46 5 5）无穷集合可能有不同的势，其中最小的）无穷集合可能有不同的势，其中最小的势是势是 a a ；不存在最大的势。；不存在最大的势。 6 6）“连续统假设连续统假设”长期未彻底解决长期未彻底解决 “连续统假设连续统假设”：可数无穷：可数无穷 a a 是无限集中最小的是无限集中最小的势，连续统势势，连续统势 c c 是（否？）次小的势。是（否？）次小的势。 ？47 康托康托1882年曾认为他证明了这一假设，后来发现证年曾认为他证明了这一假设，后来发现证 明有错。明有错。 19001900年希尔伯特提出的年希尔伯特提出的2323个问题里，连续统假设是个问题里，连续统假设是第一个问题。第一个问题。19381938年哥德尔证明了连续统假设对年哥德尔证明了连续统假设对ZFZF公理公理集合论是相容的，集合论是相容的，19631963年科恩证明了连续统假设对年科恩证明了连续统假设对ZFZF公公理集合论是独立的。这样，在理集合论是独立的。这样，在ZFZF公理集合论中，既不能公理集合论中，既不能证明也不能否定连续统假设。证明也不能否定连续统假设。 直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。48分球怪论 1924年巴拿赫（左）和塔斯基（右）首次提出这一定理。49分球怪论 在选择公理成立的前提下可以将一个三维实心球分成有限多块，然后仅仅通过旋转和平移将这有限多块重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。这不是真正的悖论，只不过意味着选择公理可以导致某些违反直觉、令人惊讶的结果。 50 六哲学中的无限六哲学中的无限 1哲学对哲学对“无限无限”的兴趣的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提出哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无无限限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：现在我们知道哲学中有下边一些命题： 51 物质是无限的；时间与空间是无限的；物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。物质的运动形式是无限的。 一个人的生命是有限的；一个人对客一个人的生命是有限的；一个人对客观世界的认识是有限的。观世界的认识是有限的。52 2数学对数学对“无限无限”的兴趣的兴趣 数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。本讲作业1.你现在怎样从数学的角度看“部分”与“整体”的关系？你相信“部分可以等于整体”吗？如果相信，请举1个例子。2.你现在怎样从数学的角度看“直”与“曲”？请举1个“局部以直代曲”的例子55本节结束谢谢57 抓三堆：抓三堆： 有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、300粒），甲、粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后 一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？58提示：提示： 二进制二进制59“抓三堆”的二进制解法 用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，列的加法定义为列的加法定义为 这就是这就是模模2 2加法加法。（只要是。（只要是2 2的倍数，就记为的倍数，就记为0 0） 关于关于模模2 2加法加法，可以推广；比如推广为，可以推广；比如推广为 模模7 7加法：加法： 例例1 1：1 1号是星期一，问号是星期一，问 2727号是星期几？号是星期几？ 解答解答：2727号与号与1 1号相差号相差2626天，因为天，因为 ，说明过去，说明过去3 3个个7 7天之后，天之后，再过再过5 5 天，这样天，这样2727号这天就是星期一再加上号这天就是星期一再加上5 5天，即星期六。（事实上，天，即星期六。（事实上，这里只要是有这里只要是有7 7的倍数，就都可以记为的倍数，就都可以记为0 0。）。） 例例2 2：1 1号是星期三，问号是星期三，问 2727号是星期几？（答：星期一）号是星期几？（答：星期一） 60思思：9月 号是星期 ， 问 9月 号是星期几？61 我们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写我们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写成三行，将位数对齐，成三行，将位数对齐，各列模各列模2 2相加相加，若和全为，若和全为0 0，则后抓者有必胜策略；，则后抓者有必胜策略； 若和中出现若和中出现1 1，则先，则先抓者有必胜策略。抓者有必胜策略。 和中出现和中出现1 1时，先抓者的具体策略是：先抓者时，先抓者的具体策略是：先抓者从最左边的从最左边的1 1所在的所在的列列，寻找某堆的谷粒数中相，寻找某堆的谷粒数中相应的列也有应的列也有1 1，就从该堆中抓走适当个数，使得，就从该堆中抓走适当个数，使得抓完后各列的和（抓完后各列的和（模模2 2）为）为0 0。62“抓三堆”中的数学思想1. 1.由于谷粒数越来越少，最后，先抓者可以使得后由于谷粒数越来越少，最后，先抓者可以使得后抓者抓者始终始终面临各列模面临各列模2 2之和为（之和为（0 0，0 0，0 0）状）状态，这意味着先抓者获胜。态，这意味着先抓者获胜。2. 2.后抓者只要抓，谷粒就将减少，因此该行中至少后抓者只要抓，谷粒就将减少，因此该行中至少有一个有一个1 1变为变为0 0（如果（如果1 1都不变为都不变为0 0，只会使谷粒数，只会使谷粒数增加或不变），从而该列模增加或不变），从而该列模2 2之和将为之和将为1 1。于是先。于是先抓者就不会面临（抓者就不会面临（0 0，0 0， ， 0 0）状态。）状态。3. 3.先抓者的正确抓法，应使得各列模先抓者的正确抓法，应使得各列模2 2之和均为之和均为0 0。 即，即，先抓者应总是抓成（先抓者应总是抓成（0 0，0 0， ， 0 0）状态）状态。63 例1：设原始状态（2，3，4），则先抓者胜。 例2：设原始状态（5，8，13），则后抓者胜。 例3：设原始状态（5，12，13），则先抓者胜。64象棋残局中的数学文化