两类曲线积分习题课两类曲线积分习题课曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式格林公式曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关1.1.定义定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）2.存在条件：存在条件：3.推广推广一、基本内容一、基本内容第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算推广推广特殊情形特殊情形几何与几何与物理意义物理意义存在条件：存在条件：第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分）推广推广性质性质 对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关. .第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算定理定理特殊情形特殊情形格林公式格林公式2.2.它它是是Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广公式在二重积分情形下的推广.1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间的联系。的联系。定理定理 设设D D 是是单连通域单连通域 , ,在在D D 内内具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,(1)(1)沿沿D D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线L L, ,有有(2)(2)对对D D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L L, ,曲线积分曲线积分(3)(4)4)在在D D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, , 只与起止点有关只与起止点有关. . 函数函数则以下则以下四个条件等价四个条件等价: :在在 D D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 在在第一象限中所围图形的边界第一象限中所围图形的边界.提示提示解解例例二、例题二、例题故故例例其中其中L是圆周是圆周解解因因积分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因因积分曲线积分曲线L关于关于对称性对称性, ,计算计算得得是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴轴对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数例例 计算计算其中其中 为球面为球面解解化为参数方程化为参数方程 例例 计算计算 其中其中L为为 解解圆周圆周: ，方向沿逆时针，方向沿逆时针. 解解例例问问 是否为全微分式是否为全微分式?求其一个原函数求其一个原函数.如是如是,解解在全平面成立在全平面成立所以上式是所以上式是全微分式全微分式. 因而一个原函数是：因而一个原函数是：全平面为单连通域，全平面为单连通域，法一法一(x,y)这个原函数也可用下法这个原函数也可用下法“分组分组”凑出凑出:法二法二因为函数因为函数u满足满足故故从而从而所以所以,问问 是否为全微分式是否为全微分式?求其一个原函数求其一个原函数.如是如是,由此得由此得y的待定函数的待定函数法三法三解：解：选择题选择题：