四四 边边 形形 四四 边边 形形 复复 习习 集集 锦锦平行四边形平行四边形梯梯 形形一一 般般 四四 边边 形形一般的平行四边形一般的平行四边形特特 殊殊 的的平行四边形平行四边形菱菱 形形矩矩 形形正方形正方形一般梯形一般梯形特殊梯形特殊梯形等腰梯形等腰梯形直角梯形直角梯形平平 行行 四四 边边 形形性质性质文字语言叙述文字语言叙述几何符号表述几何符号表述两组对边互相平行两组对边互相平行两组对边分别相等两组对边分别相等一组对边平行且相等一组对边平行且相等两组对角分别相等两组对角分别相等对角线互相平分对角线互相平分在在 ABCD中中四边形四边形ABCD是是 ABCDAB CDAD BCABCDOAB=CDAD=BCA= C B= DOA=OCOB=OD判别判别两组对边分别平行的两组对边分别平行的两组对边分别相等的两组对边分别相等的一组对边平行且相等的一组对边平行且相等的两组对角分别相等的两组对角分别相等的对角线互相平分的对角线互相平分的四四 边边 形形平平 行行 四四 边边 形形在四边形在四边形ABCD中中矩矩 形形定义：定义：有一个内角是有一个内角是直角直角的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形性质性质矩形是特殊的平行四边形，具有矩形是特殊的平行四边形，具有 平平行四边形的所有性质行四边形的所有性质矩形的特殊性质：矩形的特殊性质：矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等矩形是轴对称图形；有两矩形是轴对称图形；有两条对称轴条对称轴判别判别有三个角都是直角的四边形有三个角都是直角的四边形对角线互相平分且相等的四边形对角线互相平分且相等的四边形有一个角是直角的平行四边形有一个角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形矩矩形形ABCDO双基训练：双基训练：1.1.下列命题中错误的是（下列命题中错误的是（ ）A. A. 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等 B. B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形C. C. 矩形的对角线相等矩形的对角线相等 D. D. 对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形2.2.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，若，若OA=2OA=2，则，则 BDBD的长为（的长为（ ）A.4 B.3 C.2 D.1A.4 B.3 C.2 D.1D DA A3.3.如图矩形如图矩形ABCDABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点O O，AOB=60AOB=60，AB=2AB=2，则矩形的对角线则矩形的对角线ACAC的长是（的长是（ ） A.2 B.4 C.2 D.4A.2 B.4 C.2 D.4 第第3 3题图题图 B B4.4.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的对角线互相平分，要使它变为矩的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（形，需要添加的条件是（ ）A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD 第第4 4题图题图 D D5.5.已知已知ABAB、CDCD是是O O的两条直径，则四边形的两条直径，则四边形ADBCADBC一定是（一定是（ ） A. A.等腰梯形等腰梯形 B.B.正方形正方形 C.C.菱形菱形 D.D.矩形矩形 D D6.6.如图，已知矩形如图，已知矩形ABCDABCD中，中，E E是是ADAD上的一点，上的一点，F F是是ABAB上的一点，上的一点，EFECEFEC，且，且EF=ECEF=EC，DE=4cmDE=4cm，矩，矩形形ABCDABCD的周长为的周长为32cm32cm，求，求AEAE的长的长. . 菱菱 形形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质性质菱形是特殊的平行四边形，具有菱形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的所有性质平行四边形的所有性质菱形的特殊性质：菱形的特殊性质：菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分菱形的对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角每一条对角线平分一组对角菱形是轴对称图形；有两菱形是轴对称图形；有两条对称轴条对称轴判别判别四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形对角线互相垂直平分的四边形对角线互相垂直平分的四边形有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形菱菱形形ABCDO双基训练：双基训练：1 1、已知菱形的周长是、已知菱形的周长是12cm12cm，那么它的边长是，那么它的边长是_._.4 4、若菱形的边长为、若菱形的边长为1cm1cm，其中一个内角为，其中一个内角为6060， 则它的面积则它的面积S = S = 。3 3、菱形的两条对角线长分别为、菱形的两条对角线长分别为6cm6cm和和8cm8cm，则菱形的，则菱形的边长是边长是 . .2 2、菱形、菱形ABCDABCD中中BADBAD6060度，则度，则ABDABD_._.4cm4cm60605cm5cmA A对角线相等对角线相等 B B对角线互相平分对角线互相平分 5 5、菱形具有而矩形没有的是（）、菱形具有而矩形没有的是（）C C一组对边平行，另一组对边相等一组对边平行，另一组对边相等 D D对角线互相垂直对角线互相垂直6 6、能判定一个四边形是菱形的条件是（）、能判定一个四边形是菱形的条件是（）D D对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分C C邻边相等邻边相等B B对角线互相垂直且相等对角线互相垂直且相等A A对角线互相平分且相等对角线互相平分且相等D D D D 正正 方方 形形定义：定义：一组邻边相等的矩形叫正方形一组邻边相等的矩形叫正方形有一个内角是直角的菱形叫正方形有一个内角是直角的菱形叫正方形或或性质性质正方形同时具有正方形同时具有菱形的所有性质菱形的所有性质矩形的所有性质矩形的所有性质正方形是轴对称图形；有正方形是轴对称图形；有4条对称轴条对称轴判别判别先判定四边形是矩形；先判定四边形是矩形；再判定这个矩形是菱形再判定这个矩形是菱形先判定四边形是菱形；先判定四边形是菱形；再判定这个菱形是矩形再判定这个菱形是矩形ABCDO双基训练：双基训练：D D两条对角线相等的平行四边形是矩形两条对角线相等的平行四边形是矩形C C两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线相等的四边形是矩形B B对角线垂直且相等的四边形是正方形对角线垂直且相等的四边形是正方形A A两条对角线垂直的四边形是菱形两条对角线垂直的四边形是菱形1.1.下列命题中，真命题是下列命题中，真命题是 （ ）D D对角线垂直且互相平分对角线垂直且互相平分 C C对角线平分一组对角对角线平分一组对角A A四条边都相等四条边都相等B B对角线相等对角线相等2.2.正方形具有而菱形不具有的性质是（）正方形具有而菱形不具有的性质是（）D DD D3 3、如图，边长为、如图，边长为2 cm2 cm的正方形的正方形ABCDABCD的顶点的顶点B B在在x x轴上，轴上，C C在在y y轴上，且轴上，且OBC = 30OBC = 30，求，求A A、D D两点的坐标两点的坐标 。4 4、已知：如图，在、已知：如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADADBCBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CECEANAN，垂足为点，垂足为点E E，（1 1）求证：四边形）求证：四边形ADCEADCE为矩形；为矩形；（2 2）当）当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADCEADCE是一是一个正方形？并给出证明个正方形？并给出证明ABCDMNENMEDCBA5 5、如图，在、如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC边的中点，边的中点，E E、F F分别在分别在ADAD及其延长线上，及其延长线上，CEBFCEBF，连接，连接BEBE、CF CF 。（1 1）求证：）求证：BDFCDEBDFCDE；（2 2）当）当AB=ACAB=AC时，试判断四边形时，试判断四边形BFCEBFCE的形状，的形状，并说明理由。并说明理由。典例典例1 如图，如图，E，F是平行是平行四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC上上的点，的点，CE=AF，请你猜想：，请你猜想：BE与与DF有怎样的关系？有怎样的关系？并对你的猜想加以证明并对你的猜想加以证明ABCDEFABCDEF证法证法1：四边形四边形ABCD是平行四是平行四边形边形BC=AD，1= 2在在BCE与与DAF中中 BC=AD 1= 2 CE=AF BCEDAF BE=DF， 3= 4 BE DFABCDEF1234猜想：BEDF,BE=DF证法证法2： 连接连接BD，交，交AC于点于点O，连接连接DE,BF 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形BO=OD, AO=CO又又AF=CE AE=CF EO=FO 四边形四边形BEDF是平行四边形是平行四边形 BE=DF， BE DFo典例典例2 如图如图1，2所示，将一张长方形的纸片所示，将一张长方形的纸片对折两次后，沿图对折两次后，沿图3中的虚线中的虚线AB剪下，剪下，将将AOB完全展开完全展开(1)画出展开图形，判断其形状，画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；并证明你的结论；(2)若按上述步骤操作，展开图形若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出是正方形时，请写出AOB应满足的条件应满足的条件(1)展开图如图所示，它是菱形展开图如图所示，它是菱形证明：由操作过程可知证明：由操作过程可知OA=OC，OB=OD， 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形又又 OA OB， 即即AC BD， 四边形四边形ABCD是菱形是菱形(2) AOB中，中，ABO=45(或或BAO=45或或OA=OB)典例典例3 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，ABCD，M、N在直线在直线AC上，上，且且MA=NC，问，问BM和和DN存在存在怎样的关系？说明理由。怎样的关系？说明理由。BMAB DN，连接BD交AC于O，连接BN、DM。 CD，四边形ABCD是平行四边形OB=OD，OA=OC，MA=NC OA+MA=OC+NC OM=ON 又又OB=OD四边形MBND是平行四边形，BMDN证明：证明： 把正方形把正方形ABCD绕着点绕着点A，按顺时针，按顺时针方向旋转得到正方形方向旋转得到正方形AEFG，边，边FG与与BC交交于点于点H（如图）。（如图）。试问线段试问线段HG与线段与线段HB相等吗？相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。请先观察猜想，然后再证明你的猜想。 典例4解：解：HG=HB。证法1：连结AH， 四边形ABCD，AEFG都是正方形 B=G=90由题意知AG=AB，又AH=AH RtAGHRtABH（HL） HG=HB证法证法2：连结：连结GB 四边形四边形ABCD，AEFG都是正方形都是正方形 ABC= AGF=90由题意知由题意知AB=AG AGB= ABG ABC- ABG = AGF- AGB 即即HBG= HGB HG=HB认真想认真想 准确填准确填1.两组对角分别相等的四边形是两组对角分别相等的四边形是 。2.对角线互相垂直、平分且相等的对角线互相垂直、平分且相等的四边形是四边形是 。 3.四边形绕其对角线交点旋转四边形绕其对角线交点旋转90度后与原四边形重度后与原四边形重合，这个四边形是合，这个四边形是 。4.用一根较长的绳子怎样检验方桌面是否为矩形？用一根较长的绳子怎样检验方桌面是否为矩形？ 。平行四边形平行四边形正方形正方形正方形正方形仔细观仔细观 细心算细心算1.菱形对角线长为菱形对角线长为4cm、8cm，其边其边长为长为 cm，面积为面积为 cm 2.如图，延长正方形如图，延长正方形ABCD的边的边BC到到E，使，使CE=CA，连接连接AE交交DC于于F，则则E= ，AFC= 。AFEDCB1622.5112.525典例典例5：AC为正方形为正方形ABCD的对角线，的对角线，E为为AC上一点，且上一点，且AB=AE，EFAC交交BC于于F，试，试证：证：EC=EF=FBABCDEF证明：证明： 四边形四边形ABCD是正方形是正方形 B=900 ACB=450 AEF=900 AB=AE， AF=AF ABFAFE（HL） BF=EF 又又FEC=900 EFC=450 EC=EF（等角对等边）等角对等边） BF=EF=EC 典例典例6 已知如图，菱形已知如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC、BD交于点交于点O，AC=6，BD=8，求菱求菱形的高。形的高。ABCDOE解：解：作边作边BC上的高上的高AEAC与与BD垂直平分垂直平分 AC=6， BD=8CO=3，BO=4BC=5BCAE=1/2ACBD5AE=1/268AE=4.8等式左右两边都表示这个菱形的面积 。 典例典例7 如图如图,E为菱形为菱形ABCD边边BC上的一上的一点，点，AB=AE，AE交交BD于于F，DAE=2 BAE(1)求证：求证：EB=FA (2)求求ABC的度数。的度数。ABCDEF(1)证明证明 AD/BC, 1=BAE1AE=AB, 1=ABCABC=DAE=2BAEBAE=DBE=ADBABEDAFBE=AF(2)解：解： 设设BAE为为x，则，则ABE=AEB=2xx+2x+2x=180x=36ABC=72典例典例8、在正方形、在正方形ABCD中，中，F是是CD上的上的点，点，E是是BC延长线上的点，延长线上的点，CE=CF求证：求证：BF=DEABCDEF证明：证明： 四边形四边形ABCD是正方形是正方形BC=DC BCD=DCE又又CF=CEBCFDCEBF=DE典例典例9 过正方形过正方形ABCD对角线对角线BD上的一上的一点点P，作，作PE BC于于E，PF CD于于F求证：求证：AP=EFP ABCDEF证明：证明： 连结连结AC、PC正边正边形形ABCD是正方形是正方形BD垂直且平分垂直且平分ACPA=PC PEBC， PFCD，BCD=90四边形四边形PECF是矩形是矩形EF=PCAP=EF典例典例10、如图，在正方形、如图，在正方形ABCD中，中，M是是BC上一点，上一点，N是是CD上一点，且上一点，且MCN的周长等于正方形周长的一半，的周长等于正方形周长的一半，求求MAN的的度数。度数。ABCDMNF提示：延长提示：延长ND至至F，使得使得 DF=BM，连结连结AF 证明证明ANFANM从而得出：从而得出：FAN=NAM；FAN+NAM=90最后得出最后得出MAN=45