圓的方程 我們知道，平面內與定點距離等於定長的點的集合（軌跡）是圓。定點就是圓心，定長就是半徑。 根據圓的定義，我們來求圓心是C（a , b），半徑是 r 的圓的方程。 如圖如圖，設M（x , y）是圓上任意一點，根據定義，點M到圓心C的距離等於r ，所以圓心C就是集合由兩點間的距離公式，點M適合的條件可表示為 方程 就是圓心為C（a , b），半徑為r的圓的方程。我們把它叫做圓的標準方程圓的標準方程。 如果圓心在坐標原點，這時a=0 ，b=0，那麼圓的方程就是把 兩邊平方，得例1 求C(1,3) 為圓心，并和直線 3x-4y-7=0相切的圓的方程。 解：已知圓心是C(1,3) ，那麼只要再求戔圓的半徑r ，就能寫出圓的方程。 因為圓C和直線 3x-4y-7=0相切，所以半徑 r 等於圓心C到直線的距離。根據點到直線的距離公式，得因此，所求的圓的方程是例2 己知圓的方程 ，求經過圓上一點 的切線的方程。 解：如圖如圖，設切線的斜率為k ，半徑OM的斜率為k 。因為圓的切線垂直於過切點的半徑，於是，。經點M的切線方程是因為點 在圓上，所以 ，所求切線方程是當點M在坐標軸上時，可以驗上面方程同樣適用。例3 如圖，是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m ，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度(精確到0.01m)。 解：建立坐標系如圖中所示。圓心在y軸上。設圓心的坐標是(0,b) ，圓的半徑是r ，那麼圓的方程是下面用待定系數法確定b和r的值。因為P、B都在圓上，所以它們的坐標(0,4) 、(10,0)都是這個圓的方程的解。於是得到方程組解得 ，所以這個圓的方程是圖圖把點 P2 的橫坐標 x = -2代入這個圓的方程，得，（因為P2的縱坐標 y 0，所以方根取正值）。於是答：支柱A2P2的長度約為3.86m。把圓的標準方程展開，得可見，任一個圓的方程都可以寫成下面的形式：反過來，我們來研究形如 的方程的曲線是不是圓。將 的左邊配方，得(1) 當 時，比較方程 和圓的標準方程，可以看出方程 表示以 為圓心、 為半徑的圓；(2) 當 時，方程 只有實數解 、 ，所以表示一個點 ；(3) 當 時，方程 沒有實數解，因而它不表示任何圖形。因此，當 時，方程 表示一個圓，方程 叫做圓的一般方程圓的一般方程。例:求二元二次方程 圓的標準方程的優點在於它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：(1) 和 的系數為1；(2) 沒有 xy 這樣的二次項。必要條件1. 和 的系數相同，不等於0； 2.沒有 xy 這樣的二次項。表示圓的必要條件，及充分條件。結論結論: 要求出圓的一般方程，只要求要求出圓的一般方程，只要求出個系數出個系數D、E、F就可以了。就可以了。充分條件:1. 和 的系數相同，不等於0； 2.沒有 xy 這樣的二次項。3.充要條件為 ?例4 求過三點O( 0 , 0 )、M1( 1 , 1 )、M2( 4 , 2 )的圓的方程，并求圓的半徑和圓心坐標。解：設求的圓的方程為 用待定系數法，根據所給條件來確定D、E、F。 因為O、M1、M2在圓上，所以它們的坐標是方程的解。把它們的坐標依次代入上面的方程，得到關於D、E、F的三元一次方程組解這個方程組，得F=0，D=-8，E=6。於是得到所求圓的方程由前面討論可知，所求圓的半徑 ，圓心坐標是( 4 , -3 )。如圖例5 已知一曲線是與兩個定點O( 0 , 0 )、A( 3 , 0 )距離的比為 的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。 解：在給定的坐標系里，設點M( x , y )是曲線上的任意一點，也就是點M屬於集合由兩點間的距離公式，點M所適合的條件可以表示為方程兩邊平方，得化簡，得這就是所求的曲線方程。把方程 的左邊配方，得所以方程 的曲線是以C( -1 , 2 )為圓心，2為半徑，如圖所示如圖所示。