3.1 3.1 多维随机变量多维随机变量的联合分布函数. 定义 设为 个随机变量 ,则称为 维随机变量(或 维随机向量).相应地,称 元函数为该 维随机变量的分布函数,或 复变函数教学资料应当强调的是是指随机事件矩形内的概率.合分布函数. 特别地，当 时,称 为二维随机变量,对任意实数 称二元函数为二维随机变量 的分布函数,或 的联同时发生的概率.如果将 解释为坐标平面上的随机点坐标,则 即是对应点落在以点 为顶点的左下方(包括边界)的复变函数教学资料二维分布函数 具有以下性质：成立,当时,成立;且(3)(1)分别对 和 单调不减,即当时, (2)对 和 都是右连续的，即复变函数教学资料或简记为 对于二维随机变量,我们仍分为离散型与连续型两种情况来讨论.(4)对任意实数,成立复变函数教学资料一、二维离散型随机变量及其分布一、二维离散型随机变量及其分布称相应的概率分布列.定义 设二维随机变量 可能取值为为 的分布列，或 的联合 对二维随机变量 ,如果 和 都是离散型随机变量，则称 是二维随机变量. 的分布列也可由以下矩形表格表示: 复变函数教学资料由于遍及所有的可能取值，从而成立反之，如果某非负数列满足 则它定可作为某二维离散型随机变量的分布列。复变函数教学资料解 可能取值为由乘法原理，得：例1 袋中装有四个球,上面依次标有数字1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回的再取一球,假设每次取球时袋中各球被取到的可能性相同,以 表示第一次和第二次取出的球上标有的数字.求 的分布列.复变函数教学资料类似可得：复变函数教学资料从而所求的分布列为：二、二维连续型随机变量及其分布二、二维连续型随机变量及其分布定义 设二维随机变量的分布函数为如果存在一非负可积的二元函数,使对任意实数有复变函数教学资料反之,若某二元函数满足以上两条性质,则它一定可作为某二维连续型随机变量的概率密度.联合概率密度.它满足:则称 是二维连续型随机变量.相应的二元函数 称为 的概率密度,或 的复变函数教学资料容易证明，在 的连续点：即 取值落入 中的概率为以 为底,以 为顶的曲顶柱体体积.并且 取值落入 平面上某区域 内的概率为复变函数教学资料例2 二维随机变量 的概率密度为试求(1) 常数 的值；(2) 取值落入区间中的概率；（3） 的分布函数.复变函数教学资料解 （1）由概率密度的性质：从而复变函数教学资料（3）由分布函数的定义，当当 或或 时，时， 从而从而当当 且且 时，时， 从而从而(2) 取值落入 中的概率为：复变函数教学资料从而所求的分布函数为：下面我们介绍两个常见的二维分布.例3 设 是平面上的有界区域，其面积为 若二维随机变量 具有概率密度:复变函数教学资料则称 在 上服从均匀分布。的面积成正比，而且与 的形状及位置无关。 向平面上有界区域 上任投一质点，若质点落在 内任一小区域 的概率与小区域复变函数教学资料 例4 甲乙两人各自在0,1区间上随机取数,求甲所取数超过乙所取数两倍的概率。上的均匀分布,从而所求概率为: 1 解 用 表示甲所取的数, 表示乙所取的数,则 服从正方形区域复变函数教学资料若二维随机变量 具有概率密度：其中均为常数,且则称 服从参数为的二维正态分布。复变函数教学资料记作：密度函数图形密度函数图形体积为体积为1 均匀分布与正态分布是二维随机变量分布中应用最广泛的两种分布,特别是正态分布,我们将在后面的章节中对每一参数作详细的讨论.复变函数教学资料