结构力学结构力学主讲：钱长照主讲：钱长照第九章第九章 渐渐 近近 法法1 1、线性代数方程组的解法、线性代数方程组的解法: :直接法直接法渐近法渐近法2 2、结构力学的渐近法、结构力学的渐近法力学建立方程，数学渐近解力学建立方程，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。突出的优点是每一步都有明确的物理意义。3 3、位移法方程的两个特点、位移法方程的两个特点: :(1)(1)每个方程最多是五项式；每个方程最多是五项式；(2)(2)主系数大于副系数的总和，即主系数大于副系数的总和，即 kii kii kij kij， 适于渐近解法。适于渐近解法。4 4、不建立方程组的渐近解法有：、不建立方程组的渐近解法有：(1)(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。(2)(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。(3)(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位移法的渐近解法。它们都属于位移法的渐近解法。kiikikkijkirkis9-1 概述9-2 9-2 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念力矩分配法力矩分配法理论基础：位移法；理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上在数值上 = = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长及远端支承有关一、转动刚度一、转动刚度S S：分配系数分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i二、分配系数二、分配系数 设设A A点有力矩点有力矩M M，求，求MABMAB、MACMAC和和MADMADCABDiABiACiADM如用位移法求解：如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得于是可得三、传递系数三、传递系数MAB = 4 iAB AMBA = 2 iAB AMAB = 3iABAMAB= iABAMBA = - iAB A 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端近端远端远端ABAAAB基本运算基本运算ABCMABMBAMBCABCMABPMBAPMBCPMBMBMBAMBCMB= MBA+ MBCABC-MB0-MB+=最后杆端弯矩：最后杆端弯矩：MBA =MBAP+MBC = MBCP+MAB=MABP+然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号固端弯矩带本身符号解解 （1 1计算结点计算结点B B处各杆端的分配系数处各杆端的分配系数由由SBA=4i SBA=4i ， SBC=3i SBC=3i 有分配系数为有分配系数为一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结点结点B B的不平衡力矩为的不平衡力矩为 （2计算固端弯矩查表计算固端弯矩查表8-1） （3进行弯矩分配与传递进行弯矩分配与传递 9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架分配系数分配系数47 37 固端弯矩固端弯矩27 -27-900分配与传递分配与传递36 27 最后弯矩最后弯矩180留意：结点留意：结点B B应满足平衡条件。应满足平衡条件。将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。-963-6309-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续梁的弯矩图。梁的弯矩图。 思索：用力矩分配法计算的只有一个刚结点结思索：用力矩分配法计算的只有一个刚结点结构的结果是精确解吗？构的结果是精确解吗？9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 二、具有多个结点转角的多跨连续梁二、具有多个结点转角的多跨连续梁1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩；先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩； 2.轮流放松各流放松各刚结点，每次只放松一个点，每次只放松一个结点，点，其他其他结点仍点仍暂时固定，固定，这样把各把各刚结点的不平衡点的不平衡力矩力矩轮流流进行分配与行分配与传递，直到，直到传递弯矩小到可弯矩小到可略去略去时为止。止。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。 只需依次对各结点使用上述方法便可求解。只需依次对各结点使用上述方法便可求解。步骤步骤: :3. 最后累加固端、分配和传递得结果。最后累加固端、分配和传递得结果。9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。EI=EI=常数常数 解解: (1) : (1) 首先引用刚臂将两个刚结点首先引用刚臂将两个刚结点1 1、2 2固定。固定。(2)计算结点计算结点1、2处各杆端的分配系数。处各杆端的分配系数。 结点结点1 1的分配系数为的分配系数为结点结点2 2的分配系数为的分配系数为9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架(3) 计算固端弯矩计算固端弯矩(4) 计算结点的不平衡力矩计算结点的不平衡力矩结点结点1的不平衡力矩为的不平衡力矩为结点结点2的不平衡力矩为的不平衡力矩为 (5) 按轮流放松结点，按轮流放松结点，进行弯矩分配与传递。进行弯矩分配与传递。9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架固端弯矩固端弯矩MFMF -300+300 -600+60000结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递最后弯矩最后弯矩+150 +150+75+75-386 -2890-193+96.5 +96.5+48.2+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9 +6.9+3.4+3.4-1.9 -1.5-1.0+0.5 +0.5+0.2+0.2-0.1 -0.1-173.2+553.9 -553.9+311.3 -311.309-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 (6) 计计算算杆杆端端最最后后弯弯矩矩最最后后，将将各各杆杆端端的的固固端端弯弯矩矩和和历历次次所所得得到到的的分分配配弯弯矩矩和和传传递递弯弯矩矩总总和和加加起起来来，便便得得到到各各杆杆端端的的最最后后弯弯矩矩，根根据据各各杆杆杆杆端端的的最最后后弯弯矩矩作作弯矩图弯矩图(略略)。本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架。本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架。9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架例：例： 用力矩分配法做图示结构的弯矩图。各杆用力矩分配法做图示结构的弯矩图。各杆EI=EI=常数。常数。 此结构有两个对称轴，根据对称轴处的变形情况可此结构有两个对称轴，根据对称轴处的变形情况可简化为取简化为取1/41/4结构进行计算。原结构杆件结构进行计算。原结构杆件DBDB的弯矩可由静力的弯矩可由静力平衡方程求出。平衡方程求出。 解解: :9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架1. 计算结点计算结点“1的分配系数的分配系数 令令EI=6 传递系数传递系数2. 求固端弯矩求固端弯矩9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 4. 将将固固端端弯弯矩矩和和分分配配弯弯矩矩、传传递递弯弯矩矩的的结结果果相相加加得得最最后后弯弯矩矩，根根据据各各杆杆杆杆端端的的最最后后弯弯矩矩利利用用叠叠加加法法作作出出刚刚架的弯矩图。架的弯矩图。3. 进行分配、传送进行分配、传送 9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架0.222111ABCDFEBCmBA= 40kNm mBC= - 41.7kNm mCB= 41.7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3 -13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5 -0.7-0.50.15 0.150.2-4.651.65-0.250.0743.45 3.45 -46.924.4-9.8 -14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图例例2.2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2i SCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.4150.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图kN.m) (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，的，即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。然后再令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。 (2)实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法的最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载的最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法和变形各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固则是经循环运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，定、放松，才使各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修正到精确值。杆端力矩也就逐步修正到精确值。力矩分配法与位移法的比较力矩分配法与位移法的比较9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 （2 2结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，为结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集中正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求出力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡弯矩以逆时针旋转为正。不平衡力矩，不平衡弯矩以逆时针旋转为正。几种情形下约束力矩的计算几种情形下约束力矩的计算 （1 1带悬臂的结构。求图带悬臂的结构。求图a a 所示连续梁结点所示连续梁结点B B 的不平衡力矩，可将悬臂端的的不平衡力矩，可将悬臂端的F F 等效平移到支座等效平移到支座C C上上图图b b），杆），杆BC BC 的的C C 端弯矩为端弯矩为M M，B B 端的传递弯矩为端的传递弯矩为M/2M/2，得，得B B 端的约束力矩端的约束力矩MB=Fl/8+M/2MB=Fl/8+M/2。9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 例：求图例：求图a a所示连续梁结点所示连续梁结点B B的不平衡力矩。的不平衡力矩。解：由图解：由图b b可得结点可得结点B B的不平衡力矩为的不平衡力矩为9-3 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架ABC1m5m1mEI=常数D50kN5/6 1/65025-20.8 -4.2-20.8 +20.8+50例例3. 3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。带悬臂杆件的结构的力矩分配法。50kNmABMM/2ABC1m5m1mEI=常数D50kN4EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作用力矩分配法计算，作M M图。图。取取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.52kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF2.85结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01M01.4227.8024.96 19.940.560.29k计算之前计算之前, ,去掉静定伸臂去掉静定伸臂, ,将其上荷载向结点作等效平移。将其上荷载向结点作等效平移。k有结点集中力偶时有结点集中力偶时, ,结点不平衡力矩结点不平衡力矩= =固端弯矩之和结点集中固端弯矩之和结点集中k 力偶力偶( (顺时针为正顺时针为正) )习题1求 作 图 示 结 构 的 M 图 。 已 知 分 配 系 数 。 （ 计 算 二 轮 ） 习题2 求 作 图 示 结 构 的 M 图 。